第四節　克萊姆（Cramer）法則

本節討論有n個未知量也有n個方程的線性方程組

　　 （1.16） 　　

稱上式為n元線性方程組。這是我們前面討論的二元、三元線性方程組的更一般情形。

若右端的常數b1，b2，…，bn不全為零，則稱式（1.16）為非齊次線性方程組；而當b1，b2，…，bn全為零，則稱式（1.16）為齊次線性方程組。記

稱D為線性方程組的系數行列式，又記

Dj是用方程右端的常數項b1，b2，…，bn來替換系數行列式D中的第j列的元素而得到的行列式。

定理1.2　［克萊姆（Cramer）法則］如果線性方程組（1.16）的系數行列式D≠0，則方程組有唯一解

　　 （1.17） 　　

證　先證式（1.17）是方程組（1.16）的解。為此只要驗證式（1.17）滿足方程組（1.16）中的每一個方程，即要證對任意i（1≤i≤n）有

或　　ai1D1+ai2D2+…+ainDn=bi·D　　（1.18）

現將每個Dj（j=1，2，…，n）按第j列展開為

注意到系數行列式D與行列式Dj僅第j列的元素不相同，所以在上述展式中，Dj的第j列元素的n個代數余子式A1j，A2j，…，Anj也就是系數行列式D的第j列對應元素的代數余子式。

現將這些展開式代入式（1.18）的左邊，即有

把上面的和式按照常數項b1，b2，…，bn重新整理，得

式中最后一個等式應用了本章第二節中式（1.15）（關于行列式展開）的結論。

再證方程組解的唯一性。

設x1=λ1，x2=λ2，…，xn=λn為方程組（1.16）的任一解，我們證明必有

　　 （1.19） 　　

因為λ1，λ2，…，λn是式（1.16）的一個解，所以它滿足式（1.16），即

ai1λ1+ai2λ2+…+ainλn=bi，i=1，2，…，n

從而由行列式的性質1.4和性質1.6知

再把從第2列開始的每一個第j列的λj倍（j=2，…，n）都加到第一列上去，有

同理可證j=2，…，n時，λj·D=Dj，即。所以方程組（1.16）的解是唯一的。證畢。

【例1.12】　求解線性方程組

解　方程組的系數行列式

由克萊姆法則知它有唯一解。又因為

所以方程組的解是

在上面的解題過程中，為了避免四階行列式的復雜計算，也可以利用國際知名的數學與工程軟件MATLAB來計算這些行列式的值（關于MATLAB及其基本使用方法可以參見第二章的第八節）。例如對行列式D1，在MATLAB的命令窗口輸入：

?D1=det（［1 1 2 3；-4 -1 -1 -2；-6 3 -1 -1；-4 2 3 -1］）％矩陣記號［…］可參見第二章回車，即可得到其值。

線性方程組（1.16）每個未知數的值都等于零的解稱為零解。反之，至少有一個未知數不等于零的解稱為非零解。

任何齊次線性方程組總是有解的，因為它至少有零解。那么齊次線性方程組在什么情況下才有非零解呢？

由克萊姆法則可知，方程個數與未知量個數相等的齊次線性方程組，當它的系數行列式D≠0時，方程組有唯一零解，所以齊次線性方程組有非零解的必要條件是系數行列式D=0。以后還可以證明D=0也是齊次線性方程組有非零解的充分條件。

【例1.13】　討論λ為何值時，線性方程組

有唯一解，并求出其解。

解　方程組的系數行列式

由此可知，當λ≠1且λ≠-2時，方程組有唯一解，又

此時方程組的（唯一）解是

兩點注意：

（1）上面解題過程中要計算4個帶有符號參數λ的3階行列式的值，工作量也不小，對此同樣可以利用MATLAB來計算這些行列式的值。例如對系數行列式D，在MATLAB的命令窗口輸入

?syms t　　　　　　　　　　　　　　　　％　將符號參數λ換為英文字母符號t

?D=det（［t 1 1；1 t 1；1 1 t］）　　　％　矩陣記號［…］可參見第二章

?D=factor（D）　　　　　　　　　　　　　％　因式分解

即得D=（t+2）*（t-1）^2。

（2）對于例1.13中的方程組，當λ=1時，方程組的系數行列式D=0，方程組與下列方程同解

x1+x2+x3=1

從而方程組有無窮多組解；而當λ=-2時，原方程組即為

這是個不相容方程組，即矛盾方程組（把第一、第二個方程加到第三個方程上去，得到的是一個矛盾方程），所以方程組此時無解。

值得指出的是，在實際生產決策過程中由于數據統計誤差等原因，使得某種決策方案所對應的線性方程組為矛盾方程組，這是經常會發生的。因而矛盾方程組往往也是需要求解的，這就是所謂的“最小二乘解”。需要了解這方面知識的讀者，可參見本書附錄部分的案例二。在該案例中，還同時介紹了“多項式曲線擬合”問題。

克萊姆法則是線性方程組理論中的一個重要結果，它不僅給出了線性方程組（1.16）有唯一解的條件，方程組解的具體表達式，并且還揭示了方程組的解與系數和常數項之間的關系，這在方程組的更一般問題的研究中將起到很重要的作用。

當然，從前面的例子我們也看到，用克萊姆法則求解有n個未知量n個方程的線性方程組時，需要計算n+1個n階行列式，這個計算量是很大的。所以在實際求解高階線性方程組時，一般不用克萊姆法則。

此外，在實際問題中還會碰到系數行列式D=0，以及方程個數m與未知數個數n不相等的線性方程組。在第四章中，我們將對最一般形式的線性方程組作進一步的研究。