第三節　行列式的計算

現在我們利用行列式的定義與性質，來計算行列式的值。

【例1.6】　計算行列式

解　這個行列式的特點是各行元素的和都是6，所以可以把第2，3，4行同時加到第1行上去，提出公因子6，然后各行再減去第一行。

至此，利用行列式性質將它化為了通常我們所希望得到的上三角行列式，于是

D=6×1×23=48

【例1.7】　計算4階行列式

解　與例1.6不同，這個行列式的元素沒有多少規律性。這時可以利用行列式的性質1.6，在行列式的某一行（列）中“制造”出許多零來。具體說來，我們可把行列式第三行元素的-2倍，1倍和-3倍分別加到行列式的第一行、第二行和第四行上去，并且把變化后的行列式按照其第一列來展開，則有

把行列式化為上三角行列式，或者在行列式的某一行（列）中“造零”，這是計算低階數值行列式時常用的方法。至于對一般的字母符號行列式的計算問題，情況又會有所不同。

【例1.8】　計算行列式

解　把第一列的負1倍加到第二、第三、第四列后，再把第二列的負2倍加到第三列、負3倍加到第四列，即有

【例1.9】　計算n+1階的行列式

解　注意到該行列式每行元素之和結果都是一樣的，所以我們利用行列式性質1.6，把行列式的第1～n列的各列元素的1倍都加到最后一列上去，行列式的值不改變。即

從最后一列提取公因式，有

再把最后一列的-ai（i=1，2，…，n-1）倍分別加到它前面的每個第i列上去，則得

行列式已經化為了上三角形式，于是

【例1.10】　計算n階行列式

解　先把第二行的負1倍加到第三行及其以后的各行上去，再從第二行提取公因子2，然后把第一行的負1倍加到第二行，則有

【例1.11】　證明n階范德蒙（Vandermonde）行列式

證　對階數n用數學歸納法。

（1）當n=2時，

結論成立。

（2）假設對n-1階行列式結論成立，要證對n階范德蒙行列式結論也成立。

為此，設法把Dn降階，將Dn從最后一行開始，自下而上每一行減去上一行的a1倍（注意，為什么必須是這樣做呢？），這種方法我們通常稱之為輾轉相減法，并由此得到

將上面的行列式按第一列展開，然后把每列的公因子（ai-a1）（i=1，2，…，n）提取出去，就有

上式右端的行列式是n-1階的范德蒙行列式，由歸納法假設，它等于，所以

綜合上述，結論得證。