第二節(jié)　n階行列式的性質(zhì)

由行列式的定義可知，當(dāng)行列式階數(shù)n較大時(shí)，直接用定義計(jì)算行列式較為煩瑣。下面介紹行列式的一些性質(zhì)，以此簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。

設(shè)n階行列式

把D中的行與列互換，所得到的行列式記為D'（或DT），即

稱(chēng)行列式D'為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式（Transposed determinant）。

性質(zhì)1.1　行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

證　對(duì)行列式的階數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。

（1）當(dāng)n=2時(shí)，命題顯然成立；

（2）現(xiàn)假設(shè)對(duì)階行列式命題成立，下證對(duì)n階行列式命題也成立。事實(shí)上，若將D和D’分別按第一行和第一列元素展開(kāi)，有

　　 （1.11） 　　

　　 （1.12） 　　

式中，A1k，M1k是D的第一行元素的代數(shù)余子式和余子式；Bk1，Nk1是D'的第一列元素的代數(shù)余子式和余子式。

M1k，Nk1都是n-1階行列式，而且顯然可看出Nk1是M1k的轉(zhuǎn)置行列式。由歸納法假設(shè)知Nk1=M1k，?k=1，2，…，n成立，從而由式（1.11）、式（1.12）得D=D'，即命題對(duì)n階行列式也成立。

綜合上述，命題得證。

性質(zhì)1.2　說(shuō)明，行列式中行和列的地位是對(duì)稱(chēng)的。行列式關(guān)于行成立的性質(zhì)對(duì)于列也同樣成立。反之亦然。

性質(zhì)1.3　互換行列式中兩行（或互換兩列），行列式變號(hào)。

證　設(shè)行列式

互換第i行與j行（1≤i，j≤n，i≠j），得

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明=-D。

（1）當(dāng)n=2時(shí)

顯然=-D。

（2）假設(shè)對(duì)階數(shù)小于n的行列式，結(jié)論皆成立，下證對(duì)n（≥3）階的行列式命題結(jié)論也成立。

注意到行列式D與中除去第i行與第j行的位置互換外，其余各行均相同。取定一個(gè)k（k≠i，j），并將行列式D與都按第k行展開(kāi)，由第一節(jié)定理1.1的結(jié)論，得到

　　 （1.13） 　　

　　 （1.14） 　　

式中，Akl，Mkl是D的第k行元素的代數(shù)余子式和余子式；Bkl，Nkl是的第k列元素的代數(shù)余子式和余子式。

Mkl，Nkl都是n-1階行列式，而且Nkl與Mkl除去兩行的元素互換外，其余各行都相同。由歸納法假設(shè)知Nkl=-Mkl，?l=1，2，…，n成立，從而由式（1.13）、式（1.14）知=-D，即命題對(duì)n階行列式也成立。

綜合上述，命題得證。

推論1.1　如果行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則此行列式為零。

性質(zhì)1.4　行列式中的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式，即

證　將等號(hào)左、右兩邊的行列式分別記為與D，并將行列式按第i行展開(kāi)，得

推論1.2　行列式中某一行（列）中所有元素的公因數(shù)k，可以提取到行列式符號(hào)的前面來(lái)。

推論1.3　如果行列式中某行（列）的元素全為零，則此行列式為零。

推論1.4　如果一個(gè)行列式的兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零。

性質(zhì)1.5　如果行列式中某行（列）的各元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式就可拆分為兩個(gè)行列式之和。即

證　與性質(zhì)1.4的證明類(lèi)似，將等式左邊的行列式按第i行展開(kāi)即可。

性質(zhì)1.6　把行列式的某一行（列）的元素的k（k ∈ R）倍加到另一行（列）上去，行列式的值不變。即

證　由性質(zhì)1.5和推論1.4即可證得。

性質(zhì)1.7　行列式D的某一行（列）的元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即

或

證　作行列式（把原行列式中的第j行元素也換為與第i行相同的元素）

首先由性質(zhì)1.3的推論可知，當(dāng)i≠j時(shí)，=0；

再將它按第j行展開(kāi)（注意到行列式與行列式D僅有第j行的元素不同，因而它們第j行的元素的代數(shù)余子式一定是相同的），則又有

兩種算法，所得結(jié)果應(yīng)該是一致的。從而有

命題得證。

本章第一節(jié)中定理1.1與性質(zhì)1.7的結(jié)論可以合并為統(tǒng)一的一個(gè)式子

　　 （1.15） 　　

式中克羅內(nèi)克（Kronecker delta）函數(shù)是

上述結(jié)論非常重要，它是證明許多其它命題的基礎(chǔ)。對(duì)行列式的列來(lái)說(shuō)也有同樣的性質(zhì)成立。而克羅內(nèi)克函數(shù)δij在電子電路或數(shù)字信號(hào)處理等學(xué)科中，也經(jīng)常用到。