第五節　矩陣的初等變換與初等矩陣

在本章第一節中，我們曾經指出，對方程組施行初等變換相當于對方程組的系數與常數項構成的增廣矩陣施行類似的初等變換。對矩陣施行的這些類似的變換，稱之為矩陣的初等變換。

矩陣的初等變換不僅用于求解線性方程組，而且還將被用于求逆矩陣、矩陣的秩、以及求向量組的極大無關組等。同時，與初等變換有關的初等矩陣，也是線性代數理論中的一個重要的分析工具。

一、矩陣的初等變換

下面給出矩陣的初等變換的定義。

定義2.8　對矩陣的行（列）施行的下列三種變換，稱為矩陣的初等變換（Elementary transformation of matrices）：

（1）交換矩陣中兩行（列）元素的位置；

（2）用一個非零常數乘以矩陣的某一行（列）中的每個元素；

（3）將矩陣的某一行（列）的元素乘以同一個數，并加到矩陣的另一行（列）上去。

矩陣的以上三種初等行變換通常分別記為ri?rj，k×ri或ri+l×rj。對初等列變換也可給出相應的記號。

定理2.3　設A是任意m×n矩陣，通過初等行變換和第一種列變換總能把矩陣A化為

的形式。進一步地，再通過初等行變換還可把A1化為

其中，A1的左上角是一個r階的上三角矩陣，A2的左上角是一個r階的單位矩陣，r≥0且r≤m，r≤n。A1，A2中的“*”代表元素，不同位置上的元素“*”不必相同。

下面通過實際例子說明具體化法。

【例2.13】　用初等行變換和第一種列變換把矩陣A化為A1，A2的形式

解　首先將第1行與第2行對調，然后用左上角的非零元素a11把第1列的其它元素化為零，即

接著對矩陣B的第2行到第4行，第2列到第5列的元素構成的子矩陣施行同樣的初等行變換，并以此方式進行下去，則得

即通過一些列的初等行變換，矩陣化為階梯形矩陣。接著

在對調前一矩陣的第3列與第4列的元素以后，矩陣A已化為A1的形式。再作兩步初等行變換還可以進一步將矩陣A1化為A2的形式

可見，經過一些列的初等行變換與第一種初等列變換以后，任意矩陣都可以化成形如A1的階梯形或者形如A2的簡化階梯形矩陣的形式。

這個結論以及將任意矩陣，利用初等行變換方法化為階梯形或者簡化階梯形矩陣，這在線性方程組的求解，計算向量組與矩陣的秩（見第三章第三、四節與第四章）等許多代數問題中都將起到很重要的作用。

此外，如果我們對簡化階梯形矩陣A2繼續作初等列變換，又能將其化成什么更簡潔的形式呢？

推論2.2　設A為任一m×n階矩陣，通過初等行、列變換（不只限于第一種列變換！）則可以將A化為

的形式，稱A3為矩陣A的規范形（Normal form of a matrix）。

例如，在例2.13中，經過一系列的初等行變換與第一種列變換，已得

接著再做下面的列變換：將第2列的1倍加到第4列，以及將第1列的-7倍，第2列的5倍和第3列的-2倍加到最后一列上去，則可將矩陣A化為規范形。

最后特別強調一下，經過初等變換變化前后的矩陣是不同的矩陣，所以我們用一個“箭頭線”表示前后兩個矩陣之間的這種變化關系。有些“粗心”的學習者，把變換前后的矩陣關系誤認為是相等的關系，這顯然是不對的。

雖然經過初等變換變化前后的矩陣是不相等的矩陣，但是無論在線性方程組求解，下一章中將要討論到的求向量組或者矩陣的秩，甚至在更多的其他代數相關問題中，這樣的兩個矩陣之間都具有很多的“等價性”。只有理解了這種等價性，才能更明了對矩陣施行初等變換的意義與作用之所在。

二、初等矩陣

矩陣的初等變換也可以用矩陣的運算來等價地描述。為此要介紹初等矩陣的概念。

定義2.9　由單位矩陣經過一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣（Elementary matrix）。

初等矩陣都是方陣，它有三種類型

和

初等矩陣有下面的兩個重要性質。

性質2.7　設A是m×n的任意矩陣，在A的左邊乘上一個m階初等矩陣就相當于對矩陣A作相應的初等行變換；在A的右邊乘上一個n階初等矩陣則就相當于對矩陣A作相應的初等列變換。即

（1）E（i，j））A相當于交換A的i，j兩行；

（2）E（i（k））A相當于A的i行乘以非零常數k；

（3）E（i，j（l））A相當于把A的j行的l倍加到i行上去；

同樣還有：

（4）AE（i，j）相當于交換A的i，j兩列；

（5）AE（i（k））相當于A的i列乘以非零常數k；

（6）AE（i，j（l））相當于把A的i列的l倍加到j列上去。

其中乘在左邊的初等矩陣都是m階的，乘在右邊的初等矩陣都是n階的。我們尤其提請大家注意左乘與右乘的差別［比如性質2.7結論中的（3）與（6）］。

性質2.7　可以直接驗證。例如

其它各條性質可同樣驗證。

性質2.8　每一種初等矩陣都是可逆的，且

E（i，j）-1=E（i，j）

E（i，j（l））-1=E（i，j（-l））

即初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣，并且每一種初等矩陣的逆矩陣還是同一種初等矩陣。

證　只證明上面的第三個結論。事實上，因為

E（i，j（-l））E（i，j（l））E=E（i，j（-l））E（i，j（l））=E

這是由于上式最左邊一項可以理解為對單位矩陣E依次左乘兩個初等矩陣E（i，j（l））和E（i，j（-l）），而左乘一個初等矩陣相當于對單位矩陣E做一次初等變換。對單位矩陣E，先后將其第j行的l倍與-l倍分別加到它的第i行上去以后，結果當然仍然是單位矩陣E本身。所以

E（i，j（l））-1=E（i，j（-l））

其余兩個性質也不難類似證明。請讀者自己完成。

利用初等矩陣的概念，本節的定理2.3及其推論2.2又可進一步表述為：

定理2.4　設A是任一m×n的矩陣，則必定存在一系列的m階初等矩陣P1，P2，…Pk以及n階初等矩陣Q1，Q2，…，Ql使得