第六節(jié)　方陣求逆·齊次線性方程組有非零解的判定

在本節(jié)中，我們將在上一節(jié)有關(guān)初等變換理論的基礎(chǔ)上，作為它的應(yīng)用，探討用初等變換方法求方陣的逆矩陣和判定齊次線性方程組何時(shí)有非零解的問題。

一、方陣求逆

現(xiàn)在我們介紹用初等變換來求逆矩陣的方法。先引入

定理2.5　n階矩陣A可逆的充要條件是A經(jīng)過若干次初等行變換可以化為單位矩陣，即存在初等矩陣P1，P2，…，Pk使得

Pk，…，P2P1A=E　?。?.17）

證　充分性。假設(shè)存在初等矩陣P1，P2，…，Pk使得式（2.17）成立，在式（2.17）

兩邊取行列式，有

｜Pk｜…｜P2｜｜P1｜｜A｜=｜E｜=1

從而｜A｜≠0，即矩陣A是可逆的。

必要性?？梢杂邢旅鎯煞N不同的證法。

證法一　用定理2.4的結(jié)論來證明。對(duì)n階矩陣A，由定理結(jié)論，一定存在n階初等矩陣P1，P2，…，Pk以及n階初等矩陣Q1，Q2，…，Ql使得

兩邊取行列式，得到

因?yàn)槌醯染仃囀强赡娴模瑥纳鲜娇梢?，?/p>

　　　　　　　　　　　　A可逆?｜A｜≠0?r=n

而當(dāng)r=n時(shí)，再由

　　　　　　　　　　　　Pk…P2P1AQ1Q2…Ql=E

可以得到

Pk…P2P1A=E（Q1Q2…Ql）-1=（Q1Q2…Ql）-1E

即　　（QlQ2…Ql）（Pk…P2P1）A=E

所以有形如式（2.17）的結(jié)論成立。證畢。

必要性也可以直接用做初等變換的方法來證明。

證法二　設(shè)n階可逆矩陣

且｜A｜≠0。所以它的第1列元素不全為零。不失一般性，設(shè)a11≠0（如果a11=0，必存在ai1≠0，把第i行與第1行對(duì)調(diào)，即有a11≠0），先把第1行乘以，然后再將第1行的（-ai1）倍加到第i行（i=2，3，…，n）上去，得

　　 （2.18） 　　

因?yàn)?img alt="" class="h-pic2" src="https://epubservercos.yuewen.com/E7231F/14262445905035606/epubprivate/OEBPS/Images/img00068001.jpg?sign=1754704886-RrtiOACHoQCGfC2Weo5sP8Htj9qeE5Z3-0-9be356ebb369b77898cfadad327aa8a4">，對(duì)矩陣中的A1重復(fù)上述過程，直至把A的主對(duì)角元素全化為1，即

　　 （2.19） 　　

容易看出，式（2.19）中的矩陣C，自下而上經(jīng)過若干步初等行變換可進(jìn)一步化為單位矩陣

P3p…P32P31C=E　　（2.20）

把式（2.19）、式（2.20）代入式（2.18），并將三個(gè)式子中出現(xiàn)的初等矩陣依次記為P1，P2，…Pk，則有

Pk…P2P1A=E

成立。證畢。

因?yàn)槌醯染仃嚨哪婢仃囘€是初等矩陣。所以從上述定理的結(jié)論式（2.17）不難看到

推論2.3　一個(gè)n階矩陣可逆的充要條件是，可以將它表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。

上述定理不僅說明了可逆矩陣所具有的特殊性質(zhì)，同時(shí)也已給出了計(jì)算逆矩陣的一種新的方法。事實(shí)上，在式（2.17）兩邊右乘A-1有

Pk…P2P1E=A-1　?。?.21）

現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)n×2n的矩陣（A｜E），即

合并式（2.17）、式（2.21），并利用分塊矩陣的乘法，則有

Pk…P2P1（A｜E）=（E｜A-1）　　（2.22）

上式說明，對(duì)所作的n×2n的矩陣（A｜E）施行初等行變換，當(dāng)把它的左半部分A化成單位矩陣的同時(shí)，它的右半部分E就變成了A的逆矩陣A-1。

【例2.14】　求下列矩陣的逆矩陣

解　構(gòu)造3×6的矩陣（A｜E），并對(duì)其施行初等行變換

所以

注意：用初等行變換的方法求逆矩陣，在數(shù)學(xué)與工程軟件MATLAB中也有相應(yīng)的函數(shù)命令即inv來實(shí)現(xiàn)這一過程。例如在MATLAB的命令窗口輸入

?A=［0-13；101；210］；　　　　　％　輸入3階矩陣

?B=inv（A）；　　　　　　　　　　％　求逆矩陣

回車，即可得到矩陣A的逆矩陣B。同時(shí)也可以對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，繼續(xù)輸入

?A*B，B*A

回車，即得兩個(gè)3階單位矩陣。對(duì)此可見本章第八節(jié)MATLAB軟件簡介。

用初等行變換的方法求逆矩陣，其計(jì)算工作量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于伴隨矩陣法，因而是實(shí)際可行的方法。此外，我們甚至還可以直接使用初等行變換的方法來求解線性方程組或矩陣方程組。

【例2.15】　求解線性方程組AX=b，式中

解　我們可以對(duì)方程組的增廣矩陣（A｜b）　用初等行變換

當(dāng)增廣矩陣中的前一部分被化為單位矩陣時(shí)，它的后一部分就變成A-1b。而X=A-1b即為所求的線性方程組的解。

二、齊次線性方程組有非零解的判定

最后，為了第三章理論推導(dǎo)的需要，我們要用初等行變換的方法來討論齊次線性方程組何時(shí)有非零解的問題。下面先舉一個(gè)齊次線性方程組求解的例子。

【例2.16】　求解方程組

解　對(duì)于齊次線性方程組只要對(duì)它的系數(shù)矩陣施行初等行變換：

方程組的系數(shù)矩陣被化成一種簡化的階梯矩陣形式。從而原方程組與下列方程組同解

這個(gè)方程組僅有兩個(gè)“獨(dú)立”的方程，從中只能“求解”出兩個(gè)未知量的值。因而將x2，x4看作自由未知量，取x2=k1，x4=k2為任意常數(shù)，代入上述方程組，就得到原線性方程組的全體解

當(dāng)取定k1=0，k2=0時(shí)，即得齊次線性方程組的零解；當(dāng)然因?yàn)榇嬖诳梢匀我馊≈档淖杂晌粗?span id="jw0mspq" class="italic">x2，x4，所以此例中的線性方程組也必定有無窮多個(gè)非零解。

對(duì)一般的齊次線性方程組

　　 （2.23） 　　

其系數(shù)矩陣經(jīng)過一些列初等行變換后總可以化為下列簡化階梯形矩陣（最多可能需要對(duì)調(diào)某些變量的前后位置）

關(guān)于上述結(jié)論的一般性理解可以參見本章第五節(jié)的定理2.3。原齊次線性方程組與矩陣R所對(duì)應(yīng)的、具有r個(gè)方程的下列齊次線性方程組

是同解的。當(dāng)r<n時(shí)，把xr+1，xr+2，…，xn看作自由未知量，不難寫出原齊次線性方程組的解

式中，k1，k2，…，kn-r是任意常數(shù)。

并且關(guān)于齊次線性方程組何時(shí)有非零解與解的個(gè)數(shù)問題，由此有下列結(jié)論：

（1）當(dāng)r<n時(shí)，齊次線性方程組有無窮多個(gè)解，從而必有非零解；

（2）當(dāng)r=n時(shí)，齊次線性方程組只有唯一零解。

結(jié)論（1）是顯然的。至于結(jié)論（2）以及它們的嚴(yán)格證明等則要留到第四章去做。值得指出的一種特殊情況是，如果齊次線性方程組中方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，那么它必定有非零解。

上面結(jié)論中，參數(shù)r有非常重要的意義。這個(gè)參數(shù)的值體現(xiàn)了原方程組中所含有的起“獨(dú)立作用”的方程的個(gè)數(shù)，因而也反映了方程組系數(shù)矩陣的某種性質(zhì)。在下一章中我們將知道，這個(gè)r就是方程組系數(shù)矩陣的秩。