第四節　分塊矩陣

在許多工程問題的矩陣計算中，為了利用矩陣所具有的某些特點，常常采用分塊的方法，將大矩陣的運算化為一些小矩陣的運算。特別是對于大型矩陣的計算，當矩陣的規模超過計算機存儲容量時，就必須進行分塊運算。而現代計算機并行算法，在處理矩陣計算時，更離不開矩陣的分塊技術。

一、分塊矩陣的概念

所謂矩陣分塊，就是將矩陣用若干條橫線和縱線分成許多小矩陣，每個小矩陣稱為原來矩陣的子陣或子塊，以這些子塊為元素所構成的矩陣，稱為分塊矩陣（Block matrix或Partitioned matrix）。

例如

若記

A11=（a11a12），A12=（a13a14a15）

A31=（a41a42），A32=（a43a44a45）

那么A可以表示為

　　 （2.14） 　　

這是以子塊A11，A12，A21，A22，A31，A32為元素的分塊矩陣。同樣A也可以表示為如下的分塊矩陣

　　 （2.15） 　　

特別地，還可以按列來分塊

　　 （2.16） 　　

可見，除了劃分矩陣的橫線和縱線必須貫穿整個矩陣外，矩陣的分塊可以是任意的。具體分塊方法的選取，主要取決于矩陣自身的特點和實際問題的需要。

二、分塊矩陣的運算

分塊矩陣有和普通矩陣相類似的運算方法與運算性質。

（1）設矩陣A，B有相同的規模（即行、列數相等），且采用相同的分塊方法，即

式中對任意i，j，Aij與Bij的行數與列數對應相同，則

（2）設k為任意常數，而

則

（3）設A是m×l矩陣，B是l×n矩陣，它們分塊成

式中矩陣A列的分法與矩陣B行的分法相同，即子塊Ai1，Ai2，…，Ais的列數分別等于子塊B1j，B2j，…，Bsj的行數。則

其中 　　

【例2.11】　設矩陣

計算AB。

解　根據矩陣A的特點，將A分塊為

這時矩陣B的行的分法必須與矩陣A的列的分法一致，但矩陣B的列的分法則可以任意。如果再將矩陣B分塊為

這樣就有

因為

所以得 　　

我們可以設想，如果矩陣A，B的階數達到幾百階時，分塊運算不僅減少了存儲量，而且也減少了計算量。

（4）設A是分塊矩陣

則A的轉置矩陣

即分塊矩陣轉置時，既要把整個分塊矩陣轉置，又要把式中每一個子塊轉置。

（5）設A為n階矩陣，如果A的分塊矩陣只有主對角線上有非零的子塊，而其余的子塊都是零矩陣，即

其中Ai（i=1，2，…，r）都是方陣，則稱A為分塊對角矩陣（Block diagonal matrix）。

分塊對角矩陣有下列性質：

①｜A｜=｜A1｜｜A2｜…｜Ar｜；

②設

式中，Ai，Bi是同階的子方陣（i=1，2，…，r），則

③設A是分塊對角矩陣，若A的每個子塊Ai（i=1，2，…，r）都是可逆矩陣，則A可逆，且

【例2.12】　設矩陣

其中a≠0，b≠0，求P-1。

解　直接求一個四階矩陣的逆矩陣工作量稍大，但若將P看作是一分塊對角矩陣，即記

又A，B都可逆，且

從而

三、計算矩陣乘積時常見的分塊方法

接下來，作為本節矩陣分塊運算的最后一個應用，我們給出兩個矩陣分塊相乘時幾種常見的特殊分塊方法。

設有兩個矩陣

現在要通過分塊運算方法求出它們的乘積AB：

（1）若只將矩陣A按行分塊為

則有

（2）又若只將矩陣B按列分塊為

則又有

AB=A（B1B2…Bn）=（AB1AB2…ABn）

（3）若既將矩陣A按行分塊，又同時將矩陣B按列分塊，則還有

在不同的分塊方法之下，矩陣乘積AB的表達形式也有所不同，但這三種不同形式的結論所對應的最終結果一定是相等的。

上面介紹的分塊運算方法與結論，在后面幾章或者在其它涉及矩陣分析的實際問題中常常要用到，大家應該力求去領會其實質。當然也可以通過例舉的方法去體會上述不同分塊運算的具體含意。