1　說謊者悖論及其他

在古希臘文明早期，有一些與邏輯學產生相關的特異的人和事，值得一說。

說謊者悖論

公元前6世紀，古希臘克里特島人埃匹門尼德（Epimenides）說了一句著名的話：

所有的克里特島人都說謊。

他究竟是說了一句真話還是假話？如果他說的是真話，由于他也是克里特島人之一，他也說謊，因此他說的是假話；如果他說的是假話，則有的克里特島人不說謊，他也可能是這些不說謊的克里特島人之一，因此他說的可能是真話。這被叫做“說謊者悖論”。

公元前4世紀，麥加拉派的歐布里德斯（Eubulides）把該悖論改述為：

一個人說：我正在說的這句話是假話。

這句話究竟是真的還是假的？如果這句話是真的，則它說的是真實的情形，而它說它本身是假的，因此它是假的；如果這句話是假的，則它說的不是真實的情形，而它說它本身是假的，因此它說的是真話。于是，這句話是真的當且僅當這句話是假的。這種由它的真可以推出它的假并且由它的假可以推出它的真的句子，一般被叫做“悖論”。不太嚴謹的說法是：如果從明顯合理的前提出發，通過看起來正確有效的邏輯推導，得出了兩個自相矛盾的命題或這樣兩個命題的等價式，則稱得出了悖論。這里的要點在于：推理的前提明顯合理，推理過程看起來合乎邏輯，推理的結果卻是自相矛盾的命題或者是這樣的命題的等價式。

《蛇》

在荷蘭畫家埃舍爾（M.C. Escher, 1898—1972）所繪的這幅圖中，三條蛇首尾相接，試圖吞噬對方。但是它們勢均力敵，互相牽制互相威脅。最終，誰也無法吞噬其他兩者，只好僵持著等待機會。把一條帶子扭轉三次，首尾相連，形成一個莫比烏斯帶。再沿帶子中間分開，就可以做出圖中所表示的蛇。

在對抗性的競爭中，三方博弈比雙方博弈有趣的一點是“均衡性”。雙方博弈容易失衡，造成非此即彼的狀態；三方博弈則復雜得多：試考慮“剪刀包袱錘”的游戲，誰比誰更強？雙方博弈不大可能沒有贏家，而三方博弈更可能沒有大贏家。

說謊者悖論有許多變形，其中一種變形是明信片悖論。一張明信片的一面寫有一句話：“本明信片背面的那句話是真的”。翻過明信片，只見背面的那句話是：“本明信片正面的那句話是假的”。無論從哪句話出發，最后都會得到悖論性結果：該明信片上的某句話為真當且僅當該句話為假。顯然，明信片悖論可以擴展為轉圈悖論。一般地說，若依次給出有窮多個句子，其中每一個都說到下一個句子的真假，并且最后一個句子斷定第一個句子的真假。如果其中出現奇數個假，則所有這些句子構成一個悖論；如果其中出現偶數個假（包括不出現假），則不構成任何悖論。

說謊者悖論在當時就引起廣泛關注。據說斯多亞派的克里西普寫了六部關于悖論的書。科斯的斐勒塔更是潛心研究這個悖論，結果把身體也弄壞了，瘦骨嶙峋。為了防止被風刮跑，他不得不隨身帶上鐵球和石塊，但最后還是因積勞成疾而一命嗚呼。為提醒后人勿重蹈覆轍，他的墓碑上寫著：

科斯的斐勒塔是我，

使我致死的是說謊者，

無數個不眠之夜造成了這個結果。

從歐洲中世紀一直到當代，悖論（包括說謊者悖論）都是一個熱門話題，并且對于下面這樣一些問題，如悖論究竟是如何產生的，又如何去克服和避免，是否應該容忍悖論，學會與它們和平共處，迄今為止，仍莫衷一是，沒有特別令人滿意的解決方案。

芝諾悖論和歸于不可能的證明

公元前4世紀，愛利亞的芝諾（Zeno of Elea，盛年約在前464—前461）提出了四個關于運動不可能的論證，史稱“芝諾悖論”。

（1）二分法。假設你要達到某個距離的目標，在你穿過這個距離的全部、達到該目標之前，你必須先穿過這個距離的一半；此前，你又必須穿過這一半的一半；此前，你又必須穿過這一半的一半的一半；如此遞推，以致無窮。由于你不可能在有限的時間內越過無窮多個點，你甚至無法開始運動，更不可能達到運動的目標。

（2）阿基里斯追不上烏龜。奧林匹克長跑冠軍阿基里斯與烏龜賽跑，烏龜先爬行一段距離。在阿基里斯追上烏龜之前，他必須先達到烏龜的出發點。而在這段時間內，烏龜又爬行了一段距離。阿基里斯又要趕上這段距離，而此時間內烏龜又爬行了一段距離。于是，阿基里斯距烏龜越來越近，但永遠不可能追上它。

阿基里斯追不上烏龜：一個邏輯上無懈可擊的論證卻導致了一個荒謬的結論。

（3）飛矢不動。每一件東西，當它占據一個與它自身等同的空間時，是靜止的。而飛矢在任何一個特定的瞬間都占據一個與它自身等同的空間，因此，飛矢是靜止不動的。

（4）一倍的時間等于一半。假設有三列物體A、B、C，A列靜止不動，B列和C列以相同的速度朝相反方向運動，如下圖所示：

A₁, A₂, A₃, A₄

B₄, B₃, B₂, B₁→

←C₁, C₂, C₃, C₄

于是，當B₁達到A₄位置時，C₁達到A₁的位置。B₁越過四個C的時間等于越過兩個A的時間。因此，一倍的時間等于一半。

芝諾還有幾個否定“多”的哲學論證，并發展了一種歸于不可能的論證方法，用現代術語說，即歸謬法：先假設某個命題或觀點成立，逐步推出不可能為真的命題，或明顯荒謬的命題，或自相矛盾的命題，由此得出結論：該假設命題不成立。例如，他提出如果“存在”是多，它必定既是無限大又是無限小，其數量必定既是有限的又是無限的，它一定存在于空間之中，而此空間又必定存在于彼空間中，依此類推，以至無窮。他認為這些都是不可能的，所以“存在”必定是單一的。

盡管芝諾悖論是不成立的，但誠如恩格斯所言，這些悖論并不是在描述或否認運動的現象和結果，而是要說明和刻畫運動如何可能的原因，即我們應該如何在理智中、在思維中、在理論中去刻畫、把握、理解運動！我認為，對于早期文明中所出現的各種巧辯、詭辯和悖論，也應作如是觀。

普羅泰戈拉和“半費之訟”

在雅典民主制時期，人們在議論時政、法庭辯護、發表演說、相互辯論時，都需要相應的技巧或才能。于是，傳授文法、修辭、演說、論辯知識的所謂“智者”（Sophists）應運而生。

普羅泰戈拉（Protagoras，約前490—前410）就是智者派的主要代表人物之一。他有一句膾炙人口的名言：“人是萬物的尺度。”因此，關于世上的萬事萬物，人們可以提出兩個相互矛盾的說法，對于任何命題都可以提出它的反題，并且可以論證它們兩者皆真。這樣，他的真理觀就帶有濃厚的主觀主義和相對主義色彩。在邏輯上，他最早傳授和使用了二難推理，這就是著名的“半費之訟”。

據說有一天，普羅泰戈拉收了一名學生叫歐提勒士（Euathlus）。普氏與他簽訂了這樣一份合同：前者向后者傳授辯論技巧，教他幫人打官司；后者入學時交一半學費，另一半學費則在他畢業后幫人打官司贏了之后再交。時光荏苒，歐氏從普氏那里畢業了。但他總不幫人打官司，普氏于是就總得不到那另一半學費。普氏為了要那另一半學費，去與歐氏打官司，并打著這樣的如意算盤：

如果歐氏打贏了這場官司，按照合同的規定，他應該給我另一半學費。

如果歐氏打輸了這場官司，按照法庭的裁決，他應該給我另一半學費。

歐氏或者打贏這場官司，或者打輸這場官司。

總之，他應該付給我另一半學費。

但歐氏卻對普氏說：青，出于藍而勝于藍；冰，水為之而寒于水。我是您的學生，您的那一套咱也會：

如果這場官司我打贏了，根據法庭的裁決，我不應該給您另一半學費。

如果這場官司我打輸了，根據合同的規定，我不應該給您另一半學費。

我或者打贏這場官司，或者打輸這場官司。

總之，我不應該給您另一半學費。

讀者朋友，我向你提出這樣兩個問題：假如你是法官，這師徒倆的官司打到你面前來了，你怎么去裁決這場官司？這是一個法律問題。假如你是一位邏輯學家，你又怎么分析這師徒倆的推理？它們都成立或都不成立嗎？為什么？這是一個邏輯問題。請你認真思考一下，并與你身邊的人討論、交流。

蘇格拉底的“精神助產術”

蘇格拉底（Socrates，前469—前399）堪稱哲學家的典范。據說他身材矮小，面目丑陋，步履蹣跚，十分貧窮。但他把刻在德爾斐神廟門楣上的那句格言“認識你自己”變成了他的終身踐履。據記載，德爾斐神廟的祭司傳下神諭說，沒有人比蘇格拉底更有智慧。為了驗證神諭，蘇格拉底向他在公共場合遇到的任何人質疑，特別是對那些自詡有堅定的倫理信仰的人。他開始提問時總是很謙謹：請教一下，什么是德行，什么是勇氣，什么是友誼等，然后他從談話對象愿意接受的命題和觀點開始一路追問下去。他要求他的對手給出關于這些問題的一個概括性說明和總體性定義。當他得到這類定義或說法時，他會進一步問更多的問題，以顯示這個定義可能有的弱點。在他的詰難之下，與他討論的人通常會放棄開始給出的定義而提出一個新定義，而這個新定義接著又會受到蘇格拉底的質詢，最后這個談話對象會被弄得一臉茫然，滿腹狐疑。由此，他不僅證明了他人的無知，而且也證明了他自己除了知道自己無知外，其實也一無所知，這也就是他比其他人更有智慧的地方。蘇格拉底把這套方法比作“精神助產術”，即通過比喻、啟發等手段，用發問與回答的形式，使問題的討論從具體事例出發，逐步深入，層層駁倒錯誤意見，最后走向某種確定的知識。它包括如下所述的四個環節：

縱然死神在頭頂盤旋，蘇格拉底也拒絕放棄他一生為之奮斗的信念：最高的美德是智慧。

（1）反譏：從對方論斷中推出矛盾；

（2）歸納：從個別中概括出一般；

（3）誘導：提出對方不得不接受的真理；

（4）定義：對一般作出概要性解釋。

因此，亞里士多德說：有兩件事情公正地歸之于蘇格拉底，歸納推理和普遍定義，這兩者都與科學的始點相關。

麥加拉派的疑難

麥加拉派因創建于西西里島的麥加拉城而著名，它在邏輯學上的主要貢獻有：條件句的性質，模態理論，以及下述怪論和疑難：

（1）有角者。你沒有失去的東西你仍然具有。你沒有失去角，所以你有角。

（2）禿頭。頭上掉一根頭發算不算禿頭？不算！再掉一根呢？也不算！再掉一根呢？還不算。再掉一根呢？……最后掉的一根頭發造成了禿頭。

（3）谷堆。一粒谷算不算谷堆？不算！再加一粒呢？也不算！再加一粒呢？還不算。再加一粒呢？……最后加的一粒谷造成了谷堆。

（4）幕后的人。你認識那個幕后的人嗎？不認識。那個人是你的父親，所以，你不認識你的父親。

（5）知道者怪論。厄勒克特拉不知道站在她面前的這個人是她的哥哥，但她知道奧列斯特是她的哥哥。站在她面前的這個人與奧列斯特是同一個人，所以，厄勒克特拉既知道又不知道這同一個人是她的哥哥。

（6）狗父。這是一只狗，它是一位父親，它是你的，所以，它是你的父親。你打它，就是打自己的父親。

（7）鱷魚悖論。一條鱷魚從一位母親手里搶走了她的小孩，并要母親猜它是否會吃掉小孩，條件是：如果她猜對了，它就交還小孩；如果她猜錯了，它就吃掉小孩。該位母親答道：它將會吃掉她的小孩。結果如何呢？如果母親猜對了，那么按照約定，鱷魚應交還小孩；但這樣一來，母親就猜錯了，又按照約定，鱷魚應吃掉小孩。如果母親猜錯了，按照約定，鱷魚應吃掉小孩；但這樣一來，母親就猜對了，又按照約定，鱷魚要交還小孩。于是，鱷魚應吃掉小孩，當且僅當鱷魚應交還小孩。不論怎樣，鱷魚都無法執行自己的約定。

除最后的“鱷魚悖論”是斯多亞派提出的之外，其他的怪論和疑難都屬于麥加拉派。其中，（2）和（3）類似，（4）和（5）類似。（4）和（5）實際上涉及到同一替換原則在“認識”“知道”這類詞匯所構成的語境中的有效性問題，已經成為20世紀新興的內涵邏輯的討論和處理對象。如前所述，麥加拉派的歐布里德斯還把說謊者悖論加以強化，使之成為嚴格的悖論。