5．誤差定理的深刻討論

其實，“恒定平均值”的出現雖然有重要意義，但依然沒有給我們的問題帶來明確的答案，假設我們采用某種特殊的方法，找到了我們記憶過程中一致的嚴謹的平均數值，我們又如何知道我們是否能好好利用它假設一種單純的有因果作用的條件呢？

物理學家在實驗前一般都知道他要解決一種單一的因果集合，而統計學家在實驗前知道他要處理大批量的多個因果集合，而這些集合并不容易分析清楚。從最基本的知識中，我們了解到，他們在進行下一步的研究之前就知道了這一實驗的屬性。

以前，我們所具備的心理學知識太寬泛，細分度非常差，我們根本不知道怎樣在實驗中固定各種條件或調節各種環境。到了現在，我們已經證實了以前所做的準備工作遠遠不夠，而且，我們在關于記憶的實驗中不能確定我們要分析一種單純的原因集合，還是要分析多個原因、多個作用的整體集合?？偠灾?，這些問題是要告訴我們，由其他的各種標準把實驗環境和條件控制一致所得出的結果，能使我們透徹地了解記憶的本質。

實際上，運用我們現有的先進知識仍然不能得到絕對準確的數值，但卻為得出最滿意的結果增加了無限種可能性。我們在實驗中采用了與物理學相類似的研究方法，即與研究物理常數和物理效果相同的預測，這就是一個好開端，與不借助于原因的、具有許多特性的特別數值環繞中間值進行對稱分配是一樣的道理。把這些通過計算所得到的數值同真實監測所得到的結果作一個重復的比對，我們就能看出兩者存在很大的共性。這樣就可以輕松地使結果相一致。

這樣的預測，表明現實與結果是非常相近的，它的重點就是，把大量的、以前多次提到過的變動產生的原因中相類似的數值提取出來，并小心地合并，合并后的結果可以用一個數學公式表達出來，就是所謂的“誤差率”。

在這里，誤差率最重要的一個特點就是它包含的未知數值只有一個。而這個未知的數值就是具有不同特點的個別數值向中間值集中能力強弱的數量測定，它隨著觀察素材種類的不同而不停波動，但可以由個別數值通過計算來確定。

對于這個公式的具體情況，我們不做詳細的講解，有興趣的朋友可以查看關于概率算法和誤差理論的書籍。當然，對于沒有時間看教科書而又對這些理論不熟悉的朋友來說，一個直觀的圖解比任何公式都更容易讓人理解。我們可以假定，在一個實驗中觀察了1000次，每一次觀察的記錄材料用一個1平方毫米的區域表示，它具體的數值或者它和這1000次觀察所得到的數值的差異性可用圖2-5-1來說明：

如圖2-5-1，我們把每一次相對于中心值的觀察結果在mn先上畫大約1平方毫米，把每一次比中心數值大一個單位的監測結果，在mn線右邊1毫米的位置畫1平方毫米。對于中心數值X，比其數值高的和比其數值低的監測結果分別畫在mn線右邊和左邊距離X單位的區域。我們把所有監測到的結果都按這種方式規劃好后，整個圖形的外觀就變得非常整齊，小平方形的外角形成了一條左右對稱的曲線。如果這些特別的數值實際性質就是如此，那么它們的中心數值就和物理學中的常數是一樣的，而曲線的具體外觀就和圖2-5-1一模一樣。我們假設，中間數值是一種統計常數，那么曲線的形式就會多種多樣，因為圖中的pq線和曲線a、b都包含1000平方毫米，但這要以在水平線和曲線都能夠無止境延長為前提。圖中，水平線和曲線的兩端非常接近，所以，圖形兩端沒有畫出來的地方各包含總量的2~3個平方毫米，水平線和曲線并不能無限制地按照一定的規則延伸。

由一組監測所得到的曲線的外感究竟是扁平的還是高聳的？這取決于所監測對象的性質。監測越是精確，每個數值就越接近于中間數值，出現較大偏差的概率就小，曲線的外觀就變得高聳。因為形成曲線的各種規則的其他因素都是基本相同的，因此，對于任何一組實驗的特定觀察，一個人如果有最精密的監測和集中性的測量，那他就可以得到幾乎所有的觀察數據。例如，精密觀察之后，我們可以準確說出相對應的數值發生偏差的具體次數是多少以及在一定的區域內可能發生多少次的偏差。

還有一點，我們可以知道在特定的數值和中間值之間的特別數值是多少，也可以知道，相對于全部的監測結果，它占到了多少百分比。例如，在圖2-5-1中，橫軸+W和-W兩根線之間已經包括了代表全部觀察結果空間的一多半。但實際上，我們在更精確的記錄和觀察中我們發現，+W和-W與mn的距離不足a圖的50%。所以，我們只需要準確說出相對距離就可以，這也是監測精確性的一個重要指標。

所以，只要得出一組實驗的結果，我們就可以認為每一次實驗結果都是由完全相同的原因集合所產生，這些原因集合相對恒定，但還是會受到一些偶然發生的事件的干擾，造成這些結果的數值都是按照誤差率進行統一配置的。

這個定理是完全正確的，但卻不能反推，也就是說，“得出的數值是按照誤差率進行分配的”這句話是不正確的。因為自然現象是復雜多變的，它很可能會用更為難理解和無規律的方式產生各種各樣我們無法觀察的組合，在實際中，這種情況很少發生，但并不是沒有。

對統計學來說，在變化為平均數的所有的數值集合中，至今沒有發現哪一種是毫無差別產生一定數量的因果系統。不過不管理論如何，依靠誤差率分配總是可以的。

例如，在生育問題上，我們統計的男孩兒與女孩兒在數量上的分配據說就很接近誤差率，但是在這些個別的案例中，這些結果是由單純的生理原因的各種集合造成的，以至于形成了一種特定的數量關系。

所以，我們可以認為，誤差率以及與之相關聯的各種規律雖然并不十分可靠，但卻有相當統一的標準，也能解決我們在實驗中的許多難題。我們可以用誤差率及其相關規律判斷實驗中任何形式的平均數的由來過程是否能夠作為真正的科學常數來應用，而由于誤差率的局限性，它雖然不能為這樣的應用提供充足的條件，但卻能為實驗提供很多有必要的條件?？偠灾仨氁蕾囌`差率來保證一種最基本的研究結果。所以，誤差率的準則可以為我們解決很多先前無法解決的問題。現在，我們可以解決先前那個困擾我們的問題，就是“如果我們把實驗條件和環境盡可能控制得一致，并且朗讀和背誦都應用同樣的材料，達到第一次重復出現所需要的平均值，可以作為自然科學意義上的恒定的平均數”？