3.1　芝諾悖論：你能追上烏龜嗎？

阿基里斯是古希臘神話中的跑步健將。假設他和烏龜賽跑，他的速度為烏龜的10倍，烏龜在其前面10m處出發，他在后面追。芝諾可以證明，阿基里斯永遠不可能追上烏龜！

當阿基里斯追到10m時，烏龜已經向前爬了1m；而當他追過這1m時，烏龜又已經向前爬了0.1m，他只能再追向那個0.1m（見圖3-1）。因為追趕者需要用一段時間才能達到被追者的出發點，這段時間內被追者已經又往前走了一段距離，所以被追者總是在追趕者前面。這樣，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！

圖3-1　阿基里斯追烏龜

這個悖論的問題出在哪兒呢？乍一看，其邏輯推理確實是無懈可擊的，但實際上這個推理建立的基礎是：時間和空間是可以無限分割的。因為芝諾將追趕的過程分成了無窮多個部分，到后來阿基里斯與烏龜的距離無窮小，追上這段距離所需的時間也無窮小。如果時空真能無限分割，那么他就永遠也追不上。

數學家們是這么解釋的：阿基里斯雖然需要追趕無窮多段路程，每一段路程也需要一定時間，但這無窮多個時間構成的是收斂數列，也就是說，這個無窮數列的總和是有限的。假設阿基里斯速度是10m/s，則這無窮多個時間的總和是10/9s，即

但是數學家們顯然回避了另一個問題，就是阿基里斯如何在有限的時間里完成這無窮多個過程？只要是無窮，那就沒有盡頭，他怎么能一眨眼間就完成了呢？