二、走進數學大花園——飽覽無窮的美妙

數學是個大花園，里面百花爭艷，萬紫千紅！我們走進“圖形園”，園門口寫著大科學家伽利略的名言：

大自然以數學的語言講話——這個語言的字母是圓、三角形以及其他各種數學形體.

迎接小朋友的是這樣一個問題：

例1：2002年8月，在北京召開國際數學家大會.大會會標如圖所示：它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形. 若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1. 問直角三角形的兩條直角邊各是多少？

解：由大正方形面積是13，小正方形面積是1，所以小正方形邊長是1，四個相同的直角三角形的總面積是12.如下圖，在大正方形外面再拼補上四個相同的直角三角形，形成正方形ABCD，它的面積是13+12=25，因此邊長等于5.

從圖中不難看出，直角三角形兩條直角邊之和等于正方形ABCD的邊長=5，長短兩直角邊的差等于中間的小正方形的邊長=1. 由算術四則的和差問題可得：直角三角形的較長直角邊等于3，較短直角邊等于2.

2002年在北京召開的國際數學家大會會標的圖案來源于中國古代的“弦圖”，圖形是這樣的簡潔，沒有一絲一毫的雍容華貴！但它蘊涵深邃，我國古代三國時期的數學家趙爽利用“弦圖”證明了勾股定理.勾股定理意義重大，被數學家們稱為是歐氏幾何的“拱心石”. 它的內容是：直角三角形的兩條直角邊為a，b，斜邊為c，則a2+b2=c2.

趙爽的證明概要是：按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自乘為中黃實. 加差實，亦成弦實.

即

2ab+（b?a）2=c2.

化簡便得

a2+b2=c2 .

這個證明，是何等的簡潔、漂亮！

定理的結論簡潔，形式對稱，給人以美的享受. 難怪古希臘的畢達哥拉斯發現了這個定理時高興地舉行了一個百牛大祭，“他竟是這樣的快活，以致舉行盛宴，把富人和全體人民都邀請了；這番辛苦是值得的.這是精神（認識）的快樂和喜悅，——然而牛遭了殃.”

例2：園林小路，曲徑通幽. 如圖所示，小路由白色正方形石板和灰、黃兩色的三角形石板鋪成. 問：內圈三角形石板的總面積大，還是外圈三角形石板的總面積大？請說明理由.

答：內圈三角形石板的總面積與外圈三角形石板的總面積一樣大.

其理由是：石板路的基本結構如右圖所示，兩個共頂點的正方形夾著一個內圈和一個外圈的三角形，我們只要證明所夾內外圈的這兩個三角形面積相等就可以了. 為此將△ABC繞頂點A順時針旋轉9 °0，到三角形AEC1的位置. 易知，D，A，C1三點共線，AC1=AD，A是線段C1D的中點，所以三角形AEC1的面積與三角形AED的面積相等. 也就是三角形ABC的面積與三角形AED的面積相等.

當你在美麗的園林小路間漫步時，你可曾感覺到悠閑的腳步下竟然隱藏著這樣深邃的數量關系嗎？真是世界真奇妙！不探索就不知道.

例3：兩個邊長為0.9的正三角形的紙片，能蓋住一個邊長為1的正三角形紙片嗎？請你簡述理由！

蓋一蓋試一試嗎！蓋來蓋去就是差一點！再試，無窮多種位置的可能性千年萬代也試不完呀？怎么辦？用數學的思維方式，如果兩個邊長為0.9的正三角形的紙片，能蓋住一個邊長為1的正三角形紙片，當然必須蓋住邊長為1的正三角形紙片的三個頂點A，B，C.于是根據抽屜原則，至少有一個邊長為0.9的正三角形的紙片蓋住其中的兩個頂點，不妨蓋住的是A，B兩頂點，則AB≤0.9，這與AB=1矛盾！所以，兩個邊長為0.9的正三角形的紙片，無論怎樣放置，都蓋不住一個邊長為1的正三角形紙片.

簡潔有力的數學推理，跨越了永無止境的試來試去！如果你想到了這個證法，你會油然而生一種成就感，這是多么美好的精神享受哇！

例4：荒島尋寶問題. 一本叫做《從一到無窮大》的書中有這樣一個問題.

從前，有個富于冒險精神的年輕人，在他曾祖父的遺物中發現了一張羊皮紙，上面指出了一項寶藏. 他是這樣寫著的：

“乘船至北緯××，西經××，即可找到一座荒島. 島的北岸有一大片草地. 草地上有一株橡樹和一棵松樹，還有一座絞架，那是我們過去用來吊死叛變者的. 從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右拐個直角再走這么多步，在這里打個樁. 然后回到絞架那里，再朝松樹走去，同時記住所走的步數；到了松樹向左拐個直角再走這么多步，在這里也打個樁. 在兩個樁的正當中挖掘，就可以找到寶藏.”

根據這道指示，這位年輕人就租了一條船開往目的地. 他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但使他大失所望的是，絞架不見了. 經過長時間的風吹日曬雨淋，絞架已糟爛成土，一點痕跡也沒有了. 這位年輕的冒險家只能亂挖起來. 但是，地方太大了，一切只是白費力氣. 只好兩手空空，啟帆返程……

親愛的同學們：能用你的智慧找到寶藏的位置嗎？

其實，只要有三角形全等、梯形中位線定理的基本知識，略加思考，就可以找到寶藏的埋藏位置.

從圖可知，△AMC?△AQX，△BND ?△BQX，所以MA=XQ=NB.

又CM//DN//EP，CE=DE，則有MP=NP，但是MA=XQ=NB，所以AP=BP，即P是AB的中點。由梯形中位線定理得

，所以E點可以如下確定：取橡樹和松樹之間的線段AB的中點P，過P作AB的垂線，在垂線上取點E，使得，則點E就是寶藏的位置.

細心的同學應當想到，無論絞架在哪個位置，只要橡樹和松樹存在，寶藏的位置點E就是一個不動點.

很遺憾，這個富于冒險精神的年輕人，連最起碼的幾何知識都沒有，不會數學地思考問題. 但愿不是因為學校盲目地認為歐氏幾何陳舊沒用，把幾何課時削減過多造成的吧！年輕人富于冒險精神并不是壞事，但還要有科學的、理性思維的頭腦. 不然的話，那就會是“玩命”地蠻干.

數學家克隆內克說過：

“上帝創造了整數，所有其余的數都是人造的.”

我們就再到“整數園”看一看，迎面有九個大字：

“哪里有數，哪里就有美.”

這是古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯的名言.

我們看：1，2，3，4，5，6，7，……，這是從小學就學習的自然數列（注意：人類認識數0是后來的事，因此傳統的自然數不包括0）.

這個數列美不美呢？多么簡單又多么有規律：后繼數比前面的數多一. 就到此為止，看不出什么！如果仔細想一想，會發現許多有趣的事實：比如，3+7=10，只要在自然數列中找到3，向后數7個數，所到達的數就是和數10. 要是7+3用同樣的方法也得10. 若把上面的自然數列和加法演算，想象成兩把帶有等分刻度的尺子，如下圖所示，就是尺算加法：上尺3對正下尺0，下尺向右數到7，7所對的上尺的10，就是3+7的和. 同樣不難計算減法. 這不就是個計算加、減的算尺小發明嗎！

再仔細觀察：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……，是這樣的有規律，如果自左向右1，2報數，數2的向前一步走，就分成了兩個數列：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，……奇數列

2，4，6，8，10，12，14，16，18，……偶數列

前一數列中的數的共同特點是不被2整除，叫奇數，后一數列中的數的共同特點是被2整除，叫偶數. 你會發現，第一個數列中的數一定不等于第二個數列中的數. 這就是一個極為簡單的真理：

奇數≠偶數

第一個數列中的任意兩個數的和都不在本數列中，而在第二個數列中；第二個數列中的任意兩個數的和都在本數列中，而不在第一個數列中.當且僅當第一個數列中取一個數與第二個數列中取一個數相加，其和一定在第一個數列中. 這正是奇偶數加法的基本規律.

類似地，第一個數列中的任意兩個數的積都在本數列中，而不在第二個數列中；第二個數列中的任意兩個數的積也都在本數列中，而不在第一個數列中. 當且僅當不全是第一個數列中取的兩個數相乘時，其積一定在第二個數列中. 這是奇偶數乘法的基本規律.

奇數、偶數加法與乘法的法則可以列為下表：

這兩個表該是多么簡潔、多么對稱，多么美呀！

其實，奇數集合的數被2除余1，偶數被2除余0. 奇數集合以1為代表，偶數集合以0為代表，只要兩種狀態的情況，都可以用奇、偶表示，也就是用0，1表示. 人們自古就發明了用0，1表示兩種狀態的信息. 比如，長城的烽火臺不點狼煙時表示無（0）擾邊入侵者. 當點起狼煙，則表示來了（1）擾邊入侵者. 這是古人自覺或不自覺地用0，1傳達兩態信息的發明. 狼煙點起，敵我雙方都看得到，能不能再隱蔽一些，盡量使敵方看不到而我方能看到呢？其實，抗日戰爭打鬼子時的“消息樹”也是一種傳遞兩態消息的發明創造. 消息樹的設置我方是知道的，敵方是不易發現的. 消息樹不倒，代表無敵人（0），消息樹倒了，代表鬼子進山來了（1），這也是今人巧用0，1表示兩種狀態的信息的通信方式.

觀察自然數列中的數，仔細想一想，發現構成不完全一樣，比如，1=1×1，2=1×2，3=1×3，4=1×4=2×2，5=1×5，6=1×6=2×3，7=1×7，8=1×8=2×4，9=1×9=3×3，10=1×10=2×5，11=1×11，12=1×12=2×6=3×4，13=1×13，14=1×14=2×7，15=1×15=3×5，16=1×16=2×8=4×4……，

大體可以分為3類：一類叫單位1；第二類2，3，5，7，11，13，……，只有1與自身兩個約數，叫質數；第三類，4，6，8，9，10，12，14，15，16，……，至少還有一個除1與自身兩個約數以外的約數，叫合數.你看多么有規律，這時我們又會有發現，大于1的自然數，都可以寫成質因數連乘積的形式，如果將質因數由小到大排列，相同的質因數寫成乘方的形式，這個表示法是唯一的. 你看！復雜的數都是由簡單的質數通過乘法合成的，人們要是弄清了質數的性質，就可以弄清自然數的結構.

很有趣味，質數中只有一個是偶數，是2這個“黨代表”，其余的質數都是清一色的奇數——“娘子軍”.

自然數中的質數有多少？有限個還是無限多？早在古希臘時代，就已經證明了質數有無限多個.

假設自然數列中的質數是有限個，不妨設為k個，它們依次是p1，p2，p3，……，pk-1，pk，我們考察一個新的自然數N=p1×p2×p3×……×pk-1×pk+1，顯然，N＞1，所以N要么是質數，要么是合數.N能是質數嗎？若N是質數，顯然N是不等于p1，p2，p3，……，pk-1，pk的一個新的第k+1個質數，這與只有k 個質數的假設不符. 因此，N 不能是質數；N 能是合數嗎？若N是合數，則N應有除1與自身以外的質因子，也就是質數p1，p2，p3，……，pk-1，pk中至少有一個pi 能整除N，于是推出pi 能整除1，得出矛盾！

可見，如果自然數列中的質數是有限個，那么這個新的自然數N=p1×p2×p3×……×pk-1×pk +1既不是1，也不是質數，更不是合數，得出矛盾！所以自然數列中的質數應有無限多個.

證明是那樣的簡潔、有說服力. 足以顯示出理性思維的力量！

這還不夠，人們還發現，質數的分布極不均勻，有時像3，5；11，13，兩個奇質數相鄰，是“孿生質數”，有時連續的若干個自然數中都沒有質數.

人們這樣證明在自然數列中，存在連續的n個自然數的片段，每一個自然數都是合數.

設N=（n+1）！1，+ 則N+1，N+2，N+3，…，N+n，這連續的n 個自然數，每一個都是合數.

這個證明是這樣的簡潔，我最初見到這個證明時，簡直被數學的美妙驚呆了！隨之而來的是感嘆：這個證明太美了，人家是怎么想到的呢！

大家知道（3，5），（5，7），（11，13）都是孿生質數的例子. 一直找下去可以找到許多對孿生質數，如（109619，109621），（10009871，10009873）及（1000061087，1000061089）都是孿生質數. 據統計，在三千萬以內共有152892對孿生質數. 隨著范圍的擴大，孿生質數的數量會增加. 因此人們猜想，在自然數中，孿生質數有無窮多對. 這個看似簡單的問題，至今仍未解決，是一個數學難題. 這就是著名的孿生質數猜想.

同學們會提出：像3，5，7這樣的3個連續的質數，不妨叫“3生質數”，那么“3生質數”能有多少組呢？同學們可以證明，只有3，5，7這一組.

假設還能找到另一組的三個連續的奇數（p，p+2，p+4），p，p+2，p+4每一個都是質數. 顯然p≠3.當p是被3除余1的數時，p+2將被3整除，是個合數，與p+2是質數矛盾. 所以p不能是被3除余1的數. 當p是被3除余2的數時，p+4將被3整除，是個合數，與p+4是質數矛盾. 所以p不能是被3除余2的數. 此時得出p只能是被3整除的數. 要p是質數，當且僅當p=3才可能. 這與p≠3是矛盾的.

所以，三個連續的奇數，其中每一個數都是質數，只有（3，5，7）這一組.

這樣一來你馬上用邏輯知識就可判定：不存在“4生質數”，“5生質數”等等.

古代有個叫斐波那契的人，他發現了一種新的以他的名字命名的數列：斐波那契數列. 這個數列也俗稱兔子繁殖數列，最初見于意大利數學家斐波那契1202年寫成的《算盤書》中的一個問題，大意是：假定一對幼兔（雌雄各一只），幼兔出生后第二個月就長為成兔，有生殖后代的能力，每月生一對小兔子（雌雄各一只）.

那么這一對兔子經過一年的繁殖，總共可以得到多少對兔子呢？

我們可以列出兔子繁殖的數量表：

由上表看到由一對幼兔逐月繁殖的總對數是一個數列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…….

這個無限數列就叫做斐波那契數列. 它的每一項叫做一個斐波那契數. 如果數列每一項的位置用下標表示，

u1=1，u2=1，u3=2，u4=3，u5=5，u6=8，……，un表示第n個斐波那契數，則有

un=un-1+un-2（其中n≥3）

通過高中數學知識就可以算出

它是斐波那契數列的通項公式. 每項都是自然數的數列，其通項公式卻要由無理數表示，形式又是那么對稱，給人以美感，讓人感到奇妙！

自然界中有許多有趣的斐波那契現象.

薊（多年生草本植物，莖葉多刺）的頭部幾乎呈球狀. 在左下圖里，標出了兩條不同方向的螺旋. 其中，順時針旋轉的螺旋一共有13條，而逆時針旋轉的則有21條. 13與21恰是兩個相鄰的斐波那契數.

薊的頭部具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋

向日葵花瓣紋理的順時針旋轉排列與逆時針旋轉排列的螺線

向日葵的小花形成的紋理也是按順時針及逆時針方向纏繞在一起的螺線圖案，通常一個方向有55條，而反方向有34條；或是89條對55條，或144條對89條，甚至有233條對144條的. 有趣的是各對數字都是兩個相鄰的斐波那契數.

斐波那契數列在工業管理中也有著重要的應用.

在數學歷史上，可以找到數學家們許多發現規律的典型事例.

例如，牛頓二項式定理中對二項展開系數規律的認識：

（a+b）1=a1+b1

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

由特殊情況，觀察規律，得出猜想：

然后再用數學歸納法就可證明上式，這就是牛頓二項式定理.

我國宋代“楊輝三角形”（楊輝-賈憲乘方求廉圖），就是對二項式定理中系數形成規律的一個總結.

這是一個多么對稱，多么有規律的數字金字塔呀！它居然與斐波那契數列、三角形數、四面體數等存在聯系.

難道這是巧合？還是數量關系之間的神奇美妙的聯系呢？

總之，自然數是這樣的神奇，還有許多深刻的性質在向人類的理性思維挑戰！

高斯曾說：數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后.

數學的皇后頭上有許多璀璨的明珠，比如：費爾馬大定理，歌德巴赫猜想. 費爾馬大定理歷時350年，最終在1994年被英國數學家懷爾斯所證明，由此貢獻懷爾斯榮獲了沃爾夫獎. 1998年，懷爾斯在柏林舉行的國際數學家大會上，以解決費爾馬大定理的業績獲得特別成就獎. 至于歌德巴赫猜想這顆明珠，我國已故數學家陳景潤已經證明到（1+2），離（1+1）尚有一步之遙，至于鹿死誰手，全世界都拭目以待！我們多么希望有志的華夏兒女能再接再厲，采摘到這顆明珠哇！