石頭、剪子、布：混合策略性游戲

警察與小偷的博弈：隨機策略是最好的規則

警察部門負責城市中某一區的治安。警察要對該區的A、B兩地進行巡邏。假定該區有一群小偷，要實施偷盜。警察要防止小偷的偷盜，但因為設備有限，只有一部警車，因此，警察只能一次在一個地方巡邏。而對于小偷而言，他們也只能去一個地方。假定A地需要保護的財產價值為2萬元，B地的財產價值為1萬元。若警察在某地進行巡邏，而小偷也選擇了去該地，因警察在場，小偷無法偷盜該地的財物；若警察沒有去某地巡邏，而小偷選擇了去該地，則小偷偷盜成功。警察怎么巡邏才能使效果最好呢？

一個明顯的做法是，警察對A地進行巡邏，小偷去B地，這樣警察可以保證2萬元的財產不被偷竊，小偷的收益為1萬元。但是這種做法是警察的最好做法嗎？有沒有對這種策略改進的措施？

警察巡邏某地，偷盜者在該地無法實施偷盜，假定此時小偷的得益為0（沒有收益），此時警察的得益為3（保住3萬元）。

這個博弈是混合策略博弈，它沒有純策略納什均衡點，而有混合策略均衡點。這個混合策略均衡點下的策略選擇是每個參與者的最優（混合）策略選擇。

對于這個例子，警察的一個最好的做法是，用擲骰子的方法決定去A地還是B地。假定警察規定擲到1～4點去A地，擲到5、6兩點去B地，這樣警察有2/3的機會去A地進行巡邏，1/3的機會去B地。

而小偷的最優選擇是，以同樣擲骰子的辦法決定去A地還是去B地偷盜，只是擲到1～4點去B地，擲到5、6兩點去A地，那么，小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地。

此時警察與小偷所采取的便是混合策略。

假如按這種辦法，警察此時的期望得益是7/3萬，大于2。警察按此辦法比只巡邏A地收益得到改進。

而小偷的收益是：一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最優混合策略下的收益為2/3萬元。

因為：當警察去A地巡邏時，小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地，此時，警察A地的得益為：1/3×3+2/3×2=7/3萬元；當警察去B地時，同樣小偷有1/3的機會去A地，2/3的機會去B地，此時警察B地的得益為：1/3×1+2/3×3=7/3萬。警察總的得益為：2/3×7/3+1/3×7/3=7/3萬。

同理，我們可得小偷的總的得益為2/3萬元。

警察與小偷之間的博弈，如同小孩子之間玩“剪刀——石頭——布”的游戲。在這樣一個游戲中，不存在純策略均衡。對每個小孩來說，自己采取出“剪刀”、“布”還是“石頭”的策略應當是隨機的，不能讓對方知道自己的策略，哪怕是傾向性的策略。如果對方知道他出其中一個策略的可能性大，那么他在游戲中輸的可能性就大。因此，每個小孩的最優混合策略是采取每個策略的可能性是1/3。在這樣的博弈中，每個小孩各取三個策略的1/3是納什均衡。

由此可見：純策略是參與者一次性選取的，并且堅持他選取的策略；而混合策略是參與者在各種備選策略中采取隨機選取的。在博弈中，參與者可以改變他的策略，而使得他的策略選取滿足一定的概率。

當博弈是零和博弈時，即一方所得是另外一方的所失時，此時只有混合策略均衡。對于任何一方來說，此時不可能有純策略的占優策略。

這就是納什于1950年證明的納什定理。零和博弈中沒有純策略納什均衡點，而有混合策略均衡點。這個混合策略均衡點下的策略選擇是每個參與者的混合策略選擇。

一千次的打擊比不上一次的成功

范雎是戰國時魏國人，著名的策士。他才華橫溢，但由于出身寒微只能在魏國中大夫須賈的府中任事。

一次，須賈奉魏王之命出使齊國，范雎作為隨從一同前往。齊國國君齊襄王早已知道范雎有雄辯之才，因此，范雎到了齊后，齊襄王便差人攜金十斤及美酒贈與范雎，以表示對智士的敬意。范雎對此深表謝意，卻未敢接受齊襄王的贈禮，想不到還是招來須賈的懷疑。須賈執意認為：齊襄王送禮給范雎，是因為他出賣了魏國的機密。

須賈回國之后，將“范雎受金”的事上告給魏國的相國魏齊。魏齊不辨真假，也不做調查，便動大刑懲罰，范雎在重刑之下，范雎肋骨被打斷，牙齒脫落。他蒙冤受屈，申辯不得，只好裝死以求免禍。范雎已“死”，魏齊讓人用一張破席卷起他的“尸體”，放在廁所之中，然后指使宴會上的賓客，相繼便溺加以糟蹋，并說這是警告大家以后不得賣國求榮。

范雎在這次事件中，差點喪命，身心受到極大創傷。

范雎平白無故地遭受了一場肌膚之苦和奇恥大辱，一腔效命魏國的熱忱化作了灰燼。他決計離開魏國，另謀一處可以顯身揚名的地方。為了脫身，范雎許諾廁所的守者，如能放他逃出去，日后必當重謝。守者利用魏齊醉后神志不清，趁亂請示了一下，詭稱將范雎的“尸體”拋向野外，借此將他放了出去。范雎在一個叫鄭安平的朋友的幫助下逃亡隱匿起來，并改名為張祿。

就在范雎忍辱求全、隱身民間的時候，秦國一個叫王稽的使節來到魏國。秦國此時國力強盛，且虎視眈眈，有兼并六國的雄心。鄭安平得知秦使王稽來到魏國，便扮成吏卒去侍奉王稽，目的是想尋找機會向他推薦范雎。一天，王稽在下榻的館舍向鄭安平打聽，魏國有沒有愿意與他一塊西去秦國的賢才智士。鄭安平便不失時機地向王稽陳說范雎的才干。王稽當下決定于黃昏時分，在自己的舍內與范雎見面。

日暮時分，鄭安平帶范雎來到王稽館舍。王稽聽范雎談吐便知道他十分有才，所以決定帶他入秦。

王稽出使結束，辭別魏王，私下帶著范雎歸秦。他們一路緊趕，一直來到秦國境內的京兆湖縣。這個時候，只見對面塵土飛揚，一隊車騎奔馳而來，范雎忙問王稽道：“對面來的是什么人？”王稽注目望了望，轉身告訴范雎，來的是秦國穰侯魏冉。范雎一聽便說：“據我所知，穰侯長期把持秦國的大權，厭惡招納別的諸侯國的客卿入秦。我看，我與他相見，只會招致他的侮辱，請您還是把我藏在車中，不見為好。”范雎剛藏好，魏冉的車騎就到了。果然不出范雎所料，魏冉向王稽說了一番撫慰他出使辛苦的客套話之后，接著詢問王稽：“使君出使歸秦，有沒有帶別國客人來啊？這樣做，于我們秦國沒有好處，只會添加麻煩。”王稽趕忙答道：“不敢。”魏冉看了看王稽，即示意馭手啟車繼續東行。此時，王稽的心里更加佩服范雎。

聽到魏冉一行離去的車馬聲，范雎才從車中探出身來，望著漸漸遠去的魏冉的背影，心中沉思：我聽說魏冉是一個聰明人。剛才他已經懷疑車中有人，只是決心下慢了，忘記搜索而已。

一念及此，范雎當即斷然對王稽說：“魏冉此去，必然會后悔，非派人返回搜索使君的車輛不可，我還是下車避一下為好。”說完，范雎便跳下車，往道旁小徑走去。王稽按轡緩行，以待步行的范雎。方才走了10多里，只聽見身后一陣雜沓而急促的馬蹄聲，魏冉遣回的騎卒已經趕了上來。騎卒將王稽的車馬緊緊圍住，一陣搜檢，見車中確實沒有外來的賓客，方才縱馬而去。

騎卒遠去，范雎從小路閃出，與王稽相顧一笑，上車策馬，往秦都咸陽的方向急駛而去。

范雎裝死逃出魏國，智避魏冉而得以入秦。入秦后，他充分施展辯才游說秦昭王，最終取得信任。秦昭王采用范雎的謀略，對內加強了秦國的中央集權，對外使用遠交近攻的霸業方略，使秦國對關東列國的壓力再度加強。秦昭王因此任命范雎為秦相。

范雎對自己的人生把握準確，即使細節上的判斷也非常精確。范雎每一次避禍，都是堅定自己一定會成功的信念，才有勇氣走下去。他的目的只有一個——讓自己的才華得以展現。不管經歷多少坎坷，對于整個人生而言，成功的概率是很大的。一次成功的所得足以抵擋住多次失敗的損失，但不成功的人計算概率卻是僅以次數來計算。實際上，失敗的次數總是多于成功的次數，所以這樣計算出來的成功概率是非常小的，從而打擊了自己的信心。而范雎卻是用失敗與成功的損益作為基數統計，最終登上了秦相的寶座。

大凡世人皆抱求成功的心態，必有一番事業方不枉此生，但綜觀世界，還是碌碌者居多。為什么成功者總是少數呢？記得電視劇《水滸傳》里有個情節：李逵見方臘一方的一個女孩，長得白白凈凈，喟然對燕青感慨道：“小乙哥，你說這人真奇怪，一開始出生時都是白白胖胖的，怎么長著長著就變樣了呢？”世事人生皆如是，少小立志，而大后卻無奈于現實，真正能夠按照自己的意志走下去的人沒有多少。真正成功之人，也未必少小立志，也許年少碌碌，偶然的機遇讓自己的事業達于頂峰。人生如夢，好的機遇往往不期而遇，厄運也不知道何時降臨。一個人成功的概率能有多大，同樣的付出，為何有人成有人敗。我們能把這些全部歸結為環境不好嗎？當年第一代互聯網方興未艾之際，似乎只要你有個商業策劃書，就可以拉來投資。一時間，各互聯網精英紛紛涌現，但繁華過后，有多少投資商血本無歸，多少經營者慘淡收場，真正崛起并堅持的只有幾家。為什么那幾家成功了呢？若論環境，當都為不利，因為競爭太過激烈。若不論環境，又是什么造成了英雄的笑傲市場，是運氣還是必然？公司如是，人生亦如是。愛迪生發明燈泡時經歷了那么多次失敗，如果計算愛迪生發現鎢絲成功的概率，可謂小之又小，但他依然成功了。我們再看林肯的例子。

8歲時，被趕出居住的地方，他必須工作謀生；

21歲時，經商失敗：

22歲時，角逐州議員落選；

27歲時，精神崩潰，臥床6個月；

35歲時，參加國會大選失敗；

36歲時，角逐聯邦眾議員，失敗；

40歲時，尋求眾議員連任，失敗；

41歲時，想擔任州土地局長被拒絕；

46歲時，競選國會參議員，失敗。

這張就是亞伯拉罕·林肯的履歷表。生下來就一貧如洗的林肯，終其一生都在面對挫折：2次經商均告失敗，8次競選8次落選，甚至還曾精神崩潰。

不過，一次次的失敗并沒有把他打倒，盡管好多次他本可以放棄。可他不但沒有放棄，反而勇敢地接受命運的屢屢挑戰。正因如此，他在52歲時終于成功地當選為美國第十六任總統，并作出了驚天動地的豐功偉業。

沒有一個人的成功是一蹴而就的，沒有誰可以一步登天。所有的成功都是經歷了一連串的失敗之后才獲得的。即使成功的概率很小，但他們堅持成功的心跡未變。林肯和愛迪生如果按照概率來計算，恐怕失敗的概率更大，但他們依然是成功者，是社會上的精英。所以決定一個人成功的因素不是環境、運氣之類，而是一個人的心志。社會上成功者很少，是因為大多數人不懂得貴在堅持的道理。

泰戈爾說：“幸運女神不喜歡那些遲疑不決、懶惰、相信命運的懦夫。”不成功并非運氣不佳，而是自己不愿做一個成功者。任何一個成功者都會認為，按終生計算的話，成功總是大于失敗的，因為失敗一千次的打擊和損失都比不上成功一次的喜悅和貢獻。雖然失敗的次數多，但一次成功的效用足以抵擋多次失敗的效用。

電話斷了誰來打

如果甲正在和乙通話，電話斷了，而話還沒說完，這時每個人都有兩個選擇：馬上打給對方，或等待對方打來。

注意：如果甲打過去，乙就應該等在電話旁，好把自家電話的線路空出來，如果乙也在打給甲，雙方只能聽到忙音。另一方面，假如甲等待乙打電話，而乙也在等待，他們的聊天就沒有機會繼續下去了。

一方的最佳策略取決于另一方會采取什么行動。

博弈論中有一個結論：納什均衡點如果有兩個或兩個以上，則結果難以預料。對于這個出現了兩個納什均衡點的打電話博弈，我們該如何從博弈論中求解呢？

我們可以把所謂“納什均衡點如果有兩個或兩個以上，結果就難以預料”，理解為“沒有正確（或者固定）答案”。也就是說，我們無法從博弈論中得知到底該怎么做。

事實上，博弈論在這個打電話問題上的解決辦法看起來很笨，即用投硬幣的方式來決定自己是不是應該給對方打電話。根據前面給出的條件，兩人這種隨機行動的組合成為第三個均衡：如甲打算給乙打電話，有一半機會可以打通（因為這時乙恰巧在等甲打電話），還有一半機會發現電話占線；假如甲等乙打來電話，那么，同樣會有一半機會接到電話，因為乙有一半機會主動給甲打電話。每一個回合雙方完全不知道對方將會采取什么行動，他們的做法實際上對彼此都最理想。

由于雙方主動撥打電話的可能性均為50%，所以平均來說要嘗試兩次才能成功接通。當然，這個“笨辦法”并不是博弈論的錯，而是就策略而言只好如此。

博弈論對這種混合策略的傳統解釋是，局中人應用一種隨機方法來決定所選擇的策略。這種解釋在理論與實踐中均不能令人滿意。約翰·查理斯·哈薩尼對此提出了更確切的解釋方法。

哈薩尼認為，在現實博弈中，每一種博弈的形勢都受到一些微小的隨機波動因素的影響。在標準的博弈模型中，這些影響表現為微小的獨立連續隨機變量，每個局中人的每一個策略均對應一個隨機變量。這些隨機變量的具體數值僅為相關局中人所知，這種知識即成為私有信息，而聯合分布則是博弈者的共有信息，哈薩尼把這稱為“變動收益博弈”。

在變動收益博弈中，各隨機變量的數值影響著每一個博弈者的收益。在適當的技術條件下，變動收益博弈所形成的純策略組合與對應無隨機影響的標準博弈的混合策略組合恰好一致。實驗證明，當隨機變量趨于零時，變動收益博弈的純策略均衡點轉化為對應無隨機影響的標準型博弈的混合策略均衡點。

變動收益博弈理論對混合策略均衡點提供了具有說服力的解釋：局中人只是表面上以混合策略進行博弈，但實際上仍是在各種略為不同的博弈情形中以純策略進行博弈。

所以，在生活中遇到這類問題時，我們只能按照慣例解決或者隨機應變。一種解決方案是，原來打電話的一方再次負責打電話，而原來接電話的一方則繼續等待電話鈴響。這么做有個顯而易見的理由：原來打電話的一方知道另一方的電話號碼，反過來卻未必是這樣。另一種可能性是，一方可以免費打電話，而另一方不可以（比如他是在辦公室而她用的是住宅電話）。

通常情況下還有另一種解決方案，即由較熱切的一方主動再打電話。如一個“煲電話粥”成癮的家庭主婦對談話的熱情很高，而她的同伴就未必這樣，這種情況下通常是她再打過去。再如戀愛中的男女遇到這種情況，通常也是由主動追求者再打電話。

由此看來，基于變動收益博弈理論，在生活中遭遇由誰來打電話這類無法用理性得出最佳策略的問題時，按照慣例或隨機應變不失為比較穩妥的選擇。

猩猩勝過高明的炒股專家

拉文當年是一只6歲的猩猩，一只受雇于華爾街互惠基金的猩猩。它用擲飛鏢方法，從133家互聯網公司中選出它的投資組合。

有位學者還讓拉文和一組專家進行炒股比賽的實驗。專家們運用各種投資分析手段去選股，包括選什么股，何時買，何時賣，等等，無不經過了所謂“交易系統”的嚴格論證。相對來說，拉文的選股方法就簡捷得多了。它隨意地用飛鏢投向一塊寫滿股票代碼的木板，只要投中哪只股票，就買哪只股票。這個指數1999年的回報高達213%，跑贏華爾街的大部分專業投資。

那些殫精竭慮的投資分析專家們精心挑選出來的投資組合，與一只猴子在股票報價表上用飛鏢胡亂投射所選中的股票，在投資收益率上沒有質的差別。也就是說，無法通過對歷史數據的分析來預測股價未來的走向，這就是著名的“隨機游走理論”。

隨機游走理論是隨機策略在投資領域的經典應用。有一個游戲叫做“一、二、三射擊”或稱“手指配對”。在這個游戲中，一個參與者選擇“奇數”，另外一個參與者則得到“偶數”。數到三的時候，兩個參與者必須同時伸出一個或者兩個手指。假如手指的總數是偶數，就算“偶數”參與者贏；假如手指的總數是奇數，就算“奇數”參與者贏。

怎樣才能保證自己不被對手所贏呢？有人回答：“閉著眼，瞎出”。這種方式運用到投資領域就是隨機游走。

在隨機游走理論中，股價有一個均值P，未來股價的Pn=Pεn（ε，音念艾普西隆）。εn為隨機干擾變量，并且其均值為0。在這種情況下，股價的變化就像一個“醉漢”在路上橫行。每一個時刻，他既可能往左走一步，也可能向右走一步。盡管股價這個“醉漢”總圍繞著均值上下徘徊，但時間越長，他離均值就可能越遠。

從隨機游走理論中我們可以得出一個結論：市場是不可預測的。

投資大師彼得·林奇曾說過：“我每次演講完畢回答現場觀眾提問的時候，總會有人站起來問我如何看待未來股市行情？沒有一個人關心上市公司基本面，例如想知道固特異輪胎公司是不是一家可靠的公司或者它目前的股價水平是否合理。同時倒會有些人想知道牛市行情是否會持續下去，或者熊市是否已經露出猙獰的面目？我總是告訴他們我所知道的有關股市預測的唯一規則就是：每當我得到提升，股市就會下跌。我剛剛說完這句話，就會有其他人站起來問我下一次提升會在什么時候？”

如果證券價格是服從隨機游走理論的，那么這個金融市場就是有效的。在這種情況下，所有的金融工具都能準確、及時地反映出各種信息。也就是說，各種證券都能被準確地定價，任何人與機構都不可能預測證券未來的價格。這樣，就不存在入市的最佳時機，也不存在選擇股票，更不存在金融分析。那些追求賭博帶來刺激與興奮的人，與小心翼翼地分析并選擇金融資產的理性的投資者們也沒有了任何區別。然而，事實上，在金融市場中，幾家歡樂幾家愁，總有人大發其財，更有人傾家蕩產，這其中的原因并不都是命運，巴菲特、索羅斯就是例子。看來金融市場并不完全滿足隨機游走的有效市場假設。

在金融市場的炒作中，對預期收益率、預期利率以及一切有關的信息的估計，往往有超常規的放大效應。這使得金融資產如股票的價格不僅變換頻繁，而且往往帶有驚人的震蕩幅度。比如美國道瓊斯30種工業股票價格指數從1995年的5117.1點，到1998年年中突破9000點，只不過兩年半的時間，竟然上升了75%。在亞洲金融危機中，不少國家的股票指數都有一天跌破10%的記錄。

美國有6萬名經濟學家，他們中很多人被高薪聘請從事預測股票市場走勢的專職工作，然而如果他們能夠連續2次預測成功的話，他們可能早就成為百萬富翁了。這應該能讓我們認識到，這些經濟學家預測股票市場變化的準確率是相當糟糕的。

另一個例子同樣能說明股票市場的不可預測性。

在1981年7月和1982年11月間，美國發生了一次持續16個月的經濟衰退。在這次長達16個月的衰退期間，失業率為14%，通貨膨脹率為15%，最低貸款利率是20%。事后，很多人站出來說他們已經提前預測到這一切，但是衰退發生之前卻沒有一個人向公眾說起過經濟衰退將會發生。

然而，當80%的投資者都信誓旦旦地說我們即將回到20世紀30年代大蕭條時期的時候，股市卻突然出現了報復性的大反彈，讓那些投資者的看法顯得荒唐可笑。

由于市場的這種不可預測性，投資者與其去做各種分析，不如采取隨機策略。當然，采取隨機策略并不等同于毫無策略地“瞎出”，這里面仍然有很強的策略性。這種策略性的主要體現就是正確地認識市場，在正確認識的基礎上應對它。

對于如何正確認識市場，“股神”巴菲特有著很獨特的見解。

第一，市場總是（或經常是）錯的。

第二，市場變化不定。他總會時不時地報出低得離譜的股價或愿意在價格高得荒謬的時候購買同樣一只股票。

但你不可能預見到股市價格的未來變化趨勢。

第三，市場先生是來侍候你的，不是來指導你的……如果你被他的情緒影響了，那將是災難性的。

在這種正確理念的指導下，投資者需要做的就是用自己獨立的價值標準去應對市場，去評價一只股票到底是便宜了還是貴了。

亂拳打死老師傅

一位學藝歸來的拳師，與老婆發生了爭執。老婆摩拳擦掌，躍躍欲試。拳師心想：“我學武已成，難道還怕你不成？”沒曾想尚未擺好架勢，老婆已經張牙舞爪地沖上來，三下五除二，竟將他打得鼻青臉腫，沒有還手之力。事后別人問他：“既然學武已成，為何還敗在老婆手下？”拳師說：“她不按招式出拳，我怎么招架？”

這就告訴我們，在與對手博弈時，隨機策略看似不是章法，但卻勝似章法。因為在博弈中，大家都是理性的人，一方采取某種策略，另一方都會進行理性推測進而做出相應的回應。此時，如果我們采取隨機策略，讓他摸不清我們的行動規律，便可巧妙戰勝對手。采取隨機策略的關鍵就是要讓我們的策略具有不可預測性。

《呂氏春秋·淫辭》中記載了這樣一個故事。

戰國時期，宋康王異常暴虐。凡群臣中有來勸諫的，都被他以各種理由撤職或者關押起來。臣下因此對他更加反感，經常非議他。他十分苦惱地對宰相唐鞅說：“我處罰的人已經不少了，為什么他們還是不畏懼我呢？”唐鞅于是獻計說：“您所處罰的，都是一些犯了法的人。懲罰他們，沒有犯法的好人當然不會害怕。如果您要讓您的臣子們害怕，就必須不區分好人壞人，也不管他犯法還是沒有犯法，隨便抓住就治罪。這樣的話，大臣們就知道害怕了。”

唐鞅的建議，雖然不合理，卻不能不說是把握了隨機策略的精髓——不可預測性。能夠預測的懲罰，大臣總會想方設法地加以規避，而無法預測的懲罰，卻是防不勝防的，因而也是更令人心驚膽戰的。

天寶十四載底（公元755年），安祿山假托圣旨討楊國忠，起兵15萬造反，派遣叛將令狐潮率重兵包圍了雍丘（今河南杞縣）。為了保衛雍丘，守將張巡留1000人守城，自己帶領1000精兵，沖出城門。張巡身先士卒，沖進敵陣猛砍，士兵個個奮勇。叛軍做夢也沒想到張巡敢沖出城，被殺得措手不及、人仰馬翻。

為了盡早攻下雍丘，令狐潮于第二天指揮士兵架起云梯登城作戰。張巡率領士兵把用油浸過的草捆點著后拋下城去，登城的叛軍被燒得焦頭爛額，非死即傷。此后的60多天里，只要一有機會，張巡就突然出兵攻擊，打得叛軍不知如何應對。

在與叛軍作戰的過程中，張巡用計奪取了叛軍的大量糧食和鹽，但糧鹽雖足，城中箭矢卻已消耗得差不多了。張巡讓士兵扎了許多草人，給它們穿上黑衣。當夜月色朦朧，張巡命令士兵用繩子把草人陸陸續續地縋下城去。城外叛軍見這么多人縋城而下，紛紛射箭，一時間箭如飛蝗。射了半天，叛軍發覺不對勁，因為他們始終沒聽到一聲喊叫聲，而且又發現一批剛拉上城去，另一批又墜下來。派人前去探查以后，他們方知所射的都是草人。在叛軍大呼上當之時，張巡已收獲1萬多支箭矢。

為了儲備足夠的箭矢，第二天深夜，張巡又把外罩黑衣、內穿甲胄的草人從城上縋下去。叛軍發現，亂射了一陣，發現又是草人。以后每天夜里，張巡都是如此。城外叛軍漸漸知道是計，也不去射箭。于是，張巡決定發起總攻。一日，張巡把500名勇士趁夜色縋下城去，勇士們奮勇突進敵營。叛軍一點準備也沒有，立時大亂。接著，叛軍的營房四處起火，混亂中死傷無數。最后，張巡率軍直追殺出10余里，大獲全勝。

上面這個故事中，叛軍剛開始發現用箭射的都是草人時，以后當城墻上縋下東西，仍用箭去射是對的，但后來上當的次數多了，他們就樂觀地以為再次縋下來的仍然是草人，結果張巡就縋下真人將他們殺得落花流水。張巡采用的這種方法就是博弈中的隨機策略。

偉大的事業輸在小概率事件上

如果一件事的發生概率只有幾萬分之一，或幾十萬分之一，就被人們稱作小概率事件。統計學上可以將它忽略不計，因為它幾乎不可能發生。

在日常生活中，我們可能在大街上與多年不見的人不期而遇或者是與陌生人不停地在不同的時間和地點相遇；當我們和某人正在談論另外一個人的時候，另外一個人就立刻出現在我們的面前；我們也可能聽說某人因車禍而失去生命，某人因購買彩票而中了大獎；某對夫妻的兒女在不同年份的同月同日生，等等。這些事情就是我們統計學中通常所說的小概率事件。

第二次世界大戰的某個冬夜，在德國對莫斯科的一次空襲中，蘇聯的一名著名統計學教授出現在當地的一個空襲避難所中。在這之前，他從來沒有出現在這樣的地方。在他看來，莫斯科有700萬居民，飛機炮彈擊中他的概率是很小的。現在他突然出現在這里，使他的朋友大為不解，朋友詢問是什么事情改變了他的想法。他回答：“雖然莫斯科有700萬居民和1頭大象，但昨天德國人炸死了那頭大象。”

這是彼德·伯恩斯坦的《與天為敵》中的一個著名故事。

顯然，這位統計學教授對小概率事件了如指掌，并能熟練運用。在一次空襲中，他被飛機炸死的概率只有約l/700萬，所以他可放心地待在家里做他想做的事情。但后來情況發生了變化，德國對莫斯科轟炸的次數和強度陡然增加，因而他被飛機炮彈擊中的概率增大（為各次被擊中概率之和）。大象在一次空襲中被飛機擊中的概率與他相同，也為約1/700萬，屬于小概率事件。在他來到空襲避難所之前，那頭大象沒有被炸死。但隨著空襲次數的增加，大象被炸死了。這對他是一種警告或提醒，即如果他還不進空襲避難所，他很可能遭到與大象同樣的命運。這就是他來到空襲避難所的原因。

這個故事至少給我們這樣的啟示：對不利的小概率事件，我們不必過于擔心，該做什么就做什么，否則生活無法正常進行。因為現實生活中不利的小概率事件太多，如在遵守交通規則的情況下也可能發生交通事故。但如果在你的工作和生活中不可避免地經常伴隨不利的同樣小概率事件，那我們就要當心了，如經常到外地就要特別注意交通安全，因為發生交通事故的概率與出差次數是密切相關的。

我國湖北省歷史上曾經發生過一場以少勝多的經典戰役——赤壁之戰。當時，東吳的周瑜在江南，只有3萬兵力，而曹操在江北，有80萬兵力。鑒于當時江中風浪大，不便于單個船只獨立作戰，曹操下令將所有戰船相連，以減弱風浪顛簸的影響。當時曹操手下的一個謀士進言：“鐵索連舟，萬一火攻，豈不難以進退。”曹操聽后大笑說：“若用火攻必借風力，如今隆冬，只有西北風。我軍在北岸，他（周瑜）若用火，豈不反燒了自己。”然而，令曹操意想不到的是，交戰那天居然刮起了東南風（小概率事件）。周瑜趁機用火，將曹操的所有船只燒毀。

可見，這個小概率事件瞬間改變了雙方的交戰結果。憑曹操的軍事指揮才能和絕對兵力優勢，取勝應該是在情理之中的事。然而，這個極其意外的小概率事件的突然發生，使他頓時失去兵力上的優勢，大敗于周瑜。

我們應該吸取曹操的教訓，在制訂重大決策問題的時候，不能只是考慮問題的主要方面，還要充分考慮到不利的小概率事件存在和發生的可能性。不然的話，一旦不利的小概率事件發生，后果將不堪設想。

十幾年前，有一家和索羅斯的“量子基金”齊名的對沖基金，叫做“長期資本管理公司（Long Term Capital Management，簡稱LTCM）”。

LTCM的創始人是被稱為能“點石成金”的華爾街債券套利之父約翰·麥利威瑟，其合伙人中包括羅伯特·莫頓和馬龍·斯科爾斯，這兩人被稱為“現代金融學之父”，其中莫頓是著名經濟學家保羅·薩繆爾森的高徒。在薩繆爾森給莫頓的《金融學》一書的序言中，他稱贊這位弟子是現代金融理論界的“牛頓”。合伙人中還包括前財政部副部長及聯儲副主席大衛·穆林斯。這個精英團隊內薈萃職業巨星、公關明星、學術大師，真可謂是夢幻組合。連巴菲特也承認，這是一群智商極高的人。

經濟學也認為股價的波動是隨機漫步。他們認為，對一只股票而言，看多和看空的人是完全隨機的，如果股票受看多的人“撞擊”就會上漲，反之就會下跌。而所有目前的消息都已經被有頭腦的人反映在股價之中了，對于那些沒有頭腦的人來說，看多和看空的概率差不多，就互相抵消了。這便是“有效市場假設”。依據這套理論，他們組建了這個基金，并設計了復雜的模型來交易。

LTCM自從1994年成立開始，運氣一直不錯，連續四年獲利豐厚，于是這兩位經濟學家順理成章地在1997年得到了諾貝爾經濟學獎，但他們的運氣到1998年就到頭了。他們失敗的原因很簡單，主要是模型不全面，沒辦法將所有情況都考慮到。而這一沒被考慮到的小概率事件卻真的發生了，1998年俄羅斯盧布暴跌。

“屋漏偏逢連夜雨”，金融危機有互相傳染的傾向，LTCM公司在各處的投資都遭遇了失敗。模型中認為不太可能發生的小概率事件竟然相繼發生了。這時候的LTCM能做的只有坐以待斃，因為它使用的杠桿比例實在是太高，原本這給自己帶來了巨額利潤，現在卻死死地掐住了自己的脖子。短短幾個月，LTCM就損失了43億美元，走到了破產的邊緣。

歷史數據的統計過程往往忽視了一些概率很小的事件，這些事件隨著時間的推移和外部環境的改變，都有可能發生。一旦發生，將會改變整個系統的風險，造成致命打擊。LTCM沒有想到的是，1998年的俄羅斯金融風暴居然使這樣的小概率事件發生了。受俄羅斯金融風暴的影響，LTCM嚴重虧損。為避免LTCM倒閉給全球金融市場帶來震動，格林斯潘當年連續三次降息，可見當時LTCM的情況有多么糟糕。

所以，我們在博弈中，一定要預防不利的小概率事件發生，即使是一些看不起來微不足道的小事，在最初的時候都應該加以考慮。