宋劉牧撰《易數鉤隱圖》，就《龍圖》天地已合之數，虛其中，以上圖為兩儀，下圖為四象，以為《河圖》，其有五數及十數者為《洛書》。蔡元定則以第三圖為《河圖》，第四圖為《洛書》。引關朗《易傳》為證。《易傳》曰：“《河圖》之文，七前六后，八左九右。圣人觀之以畫卦。是故全七之三以為離，奇以為巽。全八之三以為震，奇以為艮。全六之三以為坎，奇以為乾。全九之三以為兌，奇以為坤。正者全其位，隅者盡其量。《洛書》之文，九前一后，三左七右；四前左，二前右，八后左，六后右。后圣稽之為三象：一、四、七為天生之數，二、五、八為地育之數，三、六、九為人資之數。”所謂則圖畫卦者，與劉牧之《四象生八卦圖》合，宋時言《圖》、《書》者，所由以《圖》、《書》附合于《易》也。（劉氏曰：“水居坎而生乾，金居兌而生坤，火居離而生巽，木居震而生艮。”謂水數六，除三畫為坎，余三畫為干；金數九，除三畫為兌，余六畫為坤；火數七，除三畫為離，余四畫為巽；木數八，除三畫為震，余五畫為艮也。乾坤艮男，畫數恰合，巧矣。然坎離震兌皆止三畫，殊不可通）關朗易傳，乃北宋阮逸所造偽書，見陳無己《后山叢談》；實本諸劉牧，而又小變其說者，蔡氏為所欺也。
《東都事略·儒學傳》謂：“陳摶讀《易》，以數學授穆脩，脩以授種放，放授許堅，堅授范諤昌。”朱漢上《經筵表》謂：“陳摶以《先天圖》傳種放，放傳穆脩，脩傳李之才，之才傳邵雍。（明道志康節墓，亦謂其學得之李挺之，挺之得之穆伯長）放以《河圖》《洛書》傳李溉，溉傳許堅，堅傳范諤昌，諤昌傳劉牧。脩以《太極圖》傳周敦頤，敦頤傳程顥、程頤。”晁公武《郡齋讀書志》：“《易證墜簡》一卷。天禧中，毗陵從事范諤昌撰。自謂其學出于湓浦李處約、廬陵許堅。”處約不知即溉否。然邵之學，出于《先天圖》；劉牧之學，出于《河圖》《洛書》；周子之學，出于《太極圖》，則不可誣也。
南渡以后，精于數學者，莫如蔡西山父子。西山以十為《河圖》（五行生成數），九為《洛書》（九官）。又謂“《河圖》《洛書》虛其中為太極。奇耦各居二十（謂一、三、七、九，與二、四、六、八，相加皆為二十），則亦兩儀。一、六為水，二、七為火，三、八為木，四、九為金，五、十為土，固《洪范》之五行，而五十有五，又九疇之子目也。（五行五，五事五，八政八，五紀五，皇極一，三德三，稽疑七，庶征十，福極十一）《洛書》一、二、三、四，而合九、八、七、六，縱橫十五，而互為九、八、七、六，則亦四象也。四方之正，以為乾、坤、離、坎，四隅之偏；以為兌、震、巽、艮（此邵子先天方位），則亦八卦也。《洛書》固可以為《易》，《河圖》固可以為《范》；且又安知《圖》之不為《書》，《書》之不為《圖》邪？”又曰：“太極者，象數未形，而其理已具之稱；形器已具，而其理無朕之目。在《河圖》《洛書》，皆虛中之象也。周子曰‘無極而太極’；邵子曰‘道為太極’，又曰‘心為太極’，此之謂也。太極之判，始生一奇一耦，而為一畫者二，是為兩儀。其數則陽一而陰二。在《河圖》《洛書》，則奇耦是也。周子所謂太極動而生陽；動極而靜，靜而生陰；靜極復動；一動一靜，互為其根；分陰分陽，兩儀立焉；邵子所謂一分為二者，皆謂此也。兩儀之上，各生一奇一耦，而為二畫者四，是為四象。其位則太陽一，少陰二，少陽三，太陰四；其數則太陽九，少陰八，少陽七，太陰六。以《河圖》言之：則六者，一而得于五者也；七者，二而得于五者也；八者，三而得于五者也；九者，四而得于五者也。以《洛書》言之：則九者，十分一之余也；八者，十分二之余也；七者，十分三之余也；六者，十分四之余也。周子所謂水、火、木、金；邵子所謂二分為四者，皆謂此也。四象之上，各生一奇一耦，而為三畫者八，于是三才略具，而有八卦之名矣。其位則乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。在《河圖》：則乾、坤、離、坎，分居四實；兌、震、巽、艮，分居四虛。在《洛書》：則乾、坤、離、坎，分居四方；兌、震、巽、艮，分居四隅。《周禮》所謂三易經卦各八；大傳所謂八卦成列；邵子所謂四分為八者，皆指此而言也。”（以上皆引《易學啟蒙》。此書實西山所撰也）蓋將先天、太極，及宋人所謂《河圖》《洛書》者，通合為一矣。
西山于《洪范》之數，未及論著，皆以授九峰。九峰著《洪范皇極》，以九九之數為推。其言曰：“數始于一，參于三，究于九，成于八十一，備于六千五百六十一。八十一者，數之小成也；六千五百六十一者，數之大成也。天地之變化，人事之始終，古今之因革，莫不于是著焉。”又曰：“一變始之始，二變始之中，三變始之終。四變中之始，五變中之中，六變中之終。七變終之始，八變終之中，九變終之終。數以事立，亦以事終。”蓋欲以數究萬物之變者也。此等說，太覺空漠，無可征驗，即無從評論其是非。然《洪范皇極》，頗多微妙之言。
《洪范皇極》曰：“有理斯有氣，氣著而理隱。有氣斯有形，形著而氣隱。人知形之數，而不知氣之數；人知氣之數，而不知理之數。知理之數則幾矣。動靜可求其端，陰陽可求其始。天地可求其初，萬物可求其紀。鬼神知其所幽，禮樂知其所著。生知所來，死知所去。《易》曰：“窮神知化，德之盛也。”形者，已成之局。氣者，形之原因。理又氣之原因。數者，事之必然。知理之數，則形氣自莫能外矣。故以為窮神知化也。又曰：“欲知道，不可以不知仁。欲知仁，不可以不知義。欲知義，不可以不知禮。欲知禮，不可以不知數。數者，禮之序也。知序則幾矣。”仁義二者，仁為空名，義則所以行仁。禮之于義亦然。數者，禮之所以然也。知數，則所行之禮，皆不差忒；于仁義無遺憾，于道亦無不合矣。此說將仁、義、禮一以貫之，即所以使道與數合而為一也。
又曰：“數運無形而著有形。智者一之，愚者二焉。數之主生，化育流行。數之已定，物正性命。圓行方止，為物終始。隨之而無其端也，迎之而無其原也。渾之惟一，析之無極。惟其無極，是以惟一。”此言原因結果之間，所以無毫厘差忒者，以其本是一體。惟本是一體，而分析特人所強為，故毫厘不得差忒。以其析之無窮，而仍毫厘不得差忒。可見其本是一體，而分析特人之所為也。
又曰：“數者，動而之乎靜者也。象者，靜而之乎動者也。動者，用之所以行。靜者，體之所以立。用既為體，體復為用。體用相仍，此天地萬物所以化生而無窮也。”此所謂靜者，謂人所能認識之現象；動者，現象之所由成也。用既為體，體復為用，言現象皆有其所以然之原因；而此現象，復為他現象之原因也。
又曰：“順數則知物之所始，逆數則知物之所終。數與物非二體也，始與終非二致也。大而天地，小而毫末；明而禮樂，幽而鬼神。知數即知物也，知始即知終也。九峰所謂數，即宇宙定律之謂。明乎宇宙定律，則于一切事物，無不通貫矣。故曰：‘物有其則，數者盡天下之物則；事有其理，數者盡天下之物理’也。”
以上所引，皆《洪范皇極》中精語。略舉數條，不能盡也。然亦可見宋代理學家；其學雖或偏于術數，而其意恒在明理；其途徑雖或借資異學，而多特有所見，不為成說所囿。后人訾囗之辭，實不盡可信也。
陽明之學
陽明之學，蓋遠承象山之緒。而其廣大精微，又非象山所及。
一種哲學，必有其特異之宇宙觀及人生觀。此理前已言之。陽明之學，雖不能離乎宋儒，而別為一學；然以佛教譬之，固卓然立乎程朱之外，而自成一宗者矣。其宇宙觀及人生觀，果有以特異于程朱乎？曰：有。
宋學至朱子而集其大成。其異乎朱子者，如陸子，則當陽明時，其說不甚盛行。故朱子之學，在當時，實宋學之代表也。朱子以宇宙之間，有形跡可指目想象者，皆名為氣；而別假設一所以然者，名之曰理。形跡之已然者，不能盡善；然追溯諸未然之時，固不能謂其必當如是。故以理為善，凡惡悉委諸氣。本此以論人，則人人可以為善，而未必人人皆能為善。其可以為善者理，使之不能為善者氣也。于是分性為義理、氣質兩端。義理之性，惟未生時有之；已墮形氣之中，則無不雜以氣質者。人欲為善，必須克去其氣質之偏，使不為天理之累而后可。朱子論理氣及人性之說如此。
陽明之說則不然。陽明以理、氣為一，謂：“理者氣之條理，氣者理之運用。無條理固不能運用；無運用，亦無所謂條理矣。”然則所謂理與氣者，明明由人之觀念，析之為二，在彼則實為一物也。然則理不盡善，氣亦不盡善乎？曰：不然。理者，氣之流行而不失其則者也。春必繼以夏，秋必繼以冬，此即氣之流行之則，即是理，純粹至善者也。其流行之際，不能無偶然之失。則如冬而燠，夏而寒，是為愆陽伏陰。愆陽伏陰，卒歸于太和。可見流行雖有偶差，主宰初未嘗失。主宰之不失，即至善也（陽明門下，論理氣合一最明白者，當推羅整庵。整庵之說曰：“通天地，亙古今，無非一氣而已。氣本一也，動靜往來，闔辟升降，循環無已。積微而著，由著復微。為四時之溫涼寒暑，為萬物之生長收藏，為斯民之日用彝倫，為人事之成敗得失。千條萬緒，紛紜囗囗，而卒不克亂。莫知其所以然而然。是即所謂理也。初非別有一物，依于氣而立，附于氣以行。或因易有大極之說，乃疑陰陽之變易，類有一物主宰乎其間，是不然矣。”〇“理者氣之條理”之說，雖暢發于陽明，實亦道原于宋儒。張子謂“虛空即氣”，“天地之氣，雖聚散攻取百途，然其為理也，順而不妄”；程子謂“天地之化，一息不留。疑其速也，然寒暑之變甚漸”；朱子曰：“有個天理，便有個人欲。蓋緣這天理有個安頓處。才安頓得不恰好，便有個人欲出來”，皆陽明之說之先河也）。
推此以論人，則氣即心，理即性。心與性之不可歧而為二，猶理與氣之不可歧而為二也。宇宙全體，無之非氣，即無之非理。人稟氣以生，即稟理以生也。人心千頭萬緒，感應紛紜而不昧。其感應，流行也；其不昧，主宰也。感應不能無失，猶氣之流行，不能無愆陽伏陰。其終能覺悟其非，則即其主宰之不昧也。故理善氣亦善，性善心亦善（上知下愚，所稟者同是一氣。然一知一愚者，上知所稟之氣清，下愚所稟之氣濁也。同一氣也，而有清濁之分，何也？曰：氣不能無運行，運行則有偏勝雜糅之處。有偏勝雜糅，斯有清濁矣。然論其本，則同是一氣。惡在偏勝雜糅，不在氣也。故氣不可謂之惡。故曰性善。〇宋儒以人之不善，歸咎于氣質。陽明則歸咎于習。所謂習者，非有知識后始有，并非有生后始有，稟氣時即有之。氣之偏勝，即習之所從出也。如仁者易貪，知者易詐，勇者易暴。其仁即圣人之仁，其知即圣人之知，其勇即圣人之勇；以其所稟者，與圣人同是一氣也。其所以流于貪、詐、暴者，則以其氣有偏勝故。此當學以變化之。惟雖有偏勝，而其本質仍善，故可變化。若其質本惡，則不可變矣。陽明之說如此，實亦自宋儒之說一轉手耳。〇失在流行，不在本體，故只有過不及，無惡）。
氣之流行而不失其則者，理也；心之感應而不昧其常者，性也。理與氣非二，則性與心非二。欲知氣之善，觀其流行而不失其則，則知之矣；欲求心之善，于其感應之間，常勿失其主宰，即得之矣。此主宰，即陽明之所謂知也。而致良知之說以立。
夫謂良知即人心之主宰者，何也？陽明以天地萬物為一體。其言曰：“自其形體而言謂之天。自其主宰而言謂之帝。自其流行而言謂之命。自其賦于人而言謂之性。自其主于身而言謂之心。心之發謂之意。意之體謂之知。其所在謂之物。”蓋宇宙之間，本無二物。我之所稟以生者，即宇宙之一部分；其原質，與天地萬物無不同。（故曰：人與天地萬物一體，非以天地萬物為一體也。陽明之言曰：“人的良知，就是草木瓦石的良知。豈惟草木瓦石，天地無人的良知，亦不可為天地矣。蓋天地萬物，與人原是一體。其發竅之最精處，是人心一點靈明。故五谷禽獸之類，皆可以養人；藥石之類，皆可以療疾。只為同此一氣，故能相通耳。”錢緒山曰：“天地間只有此知。天只此知之虛明；地只此知之凝聚；鬼神只此知之妙用；日月只此知之流行；人與萬物，只此知之合散；而人只此知之精粹也。此知運行，萬古有定體，故曰太極。無聲臭可即，故曰無極。”歐陽南野曰：“道塞乎天地之間，所謂陰陽不測之神也。神凝而成形，神發而為知。知也者，神之所為也。神無方無體。其在人，為視聽，為言動，為喜怒哀樂。其在天地萬物，則發育峻極。故人之喜怒哀樂，與天地萬物，周流貫徹，而無彼此之間”云云。陽明之學，于一元之論，可謂發揮盡致矣）而此原質，自有其發竅最精之處。此處即我之心。心也，意也，知也，同物而異名。故用力于知即用力于心。而用力于心，即用力于造成我之物質發竅最精之處也。此致良知之說所由來也。