1.2 波動方程[2],[8],[9]

1.2.1 波動方程

對于各向同性無損耗介質(zhì)，在電荷密度ρ和電流密度j都為零的區(qū)域，麥克斯韋方程為

對式（1.2-1a）兩邊作旋度運算，并考慮到式（1.2-1b），可得

由矢量運算公式可得▽×▽×E=▽（▽·E）-▽2E=-▽2E，將其代入式（1.2-2）則有

同樣方法可得

式（1.2-3）和式（1.2-4）分別是電場矢量E和磁場矢量H滿足的微分方程，顯然它們是標準的波動方程，這表明在介質(zhì)中電磁場借助于電磁感應以波的形式傳播，這種波稱為電磁波。由波動方程，容易得到介質(zhì)中電磁波的速度為

式中，常數(shù)c為

c值與真空中的磁導率和介電常數(shù)有關(guān)。根據(jù)科耳勞什（R. H. A. K ohlrausch）和韋伯（W. E. Weber）于1856年得到的靜電單位與電磁單位的電荷之比的實驗結(jié)果，麥克斯韋得出c=3.1074×108m/s，該值與當時已知的光速很接近。例如1849年，斐索（A. H. L. Fizeau）測出光的速度為c=3.14858×108m/s。于是，麥克斯韋推測光是一種電磁波，即光波。這種推測于1888年為赫茲（H. Hertz）的實驗所證實。式（1.2-6）表明，光速是有限的。通常引入介質(zhì)的折射率為

對于常用的光學介質(zhì)，其相對磁導率近似為1，即μr≈1，于是有

通常εr大于1，因此介質(zhì)中的光速小于真空中的光速c。1850年，傅科和斐索首次測量了水中的光速，支持了前面的結(jié)論。

1.2.2 標量波

在均勻介質(zhì)中沒有電流和自由電荷的區(qū)域，電場E各分量滿足齊次波動方程（1.2-3），在這種情況下，可以用標量V來表示場矢量的某直角分量，得標量齊次波動方程如下

求解波動方程可以得到光波的各場量在空間的分布。根據(jù)光波波面的形狀可將光波分為平面波、球面波、柱面波等。

1.簡諧平面波

波動方程（1.2-9）最簡單的解可寫為

這種波稱為簡諧平面波。V0為波的振幅。定義波的相位為

在各時刻，在與k垂直的平面上，相位相同。這種相位為常數(shù)的面，稱為等相面，也稱波面或波陣面。類似地，振幅為常數(shù)的面，稱為等幅面。在等相面上

k稱為波矢，也稱為傳播矢量，其大小為

式中，λ為波長。由于相隔為波長整數(shù)倍的空間兩點具有相同的振動狀態(tài)，因此波長λ也稱為空間周期，其倒數(shù)1/λ為空間頻率。稱為波數(shù)或空間圓頻率。設(shè)傳播方向的方向余弦為（cosα，cosβ，cosγ），則k的各分量為

由于方向余弦滿足

因此

并且

平面波相鄰等相面在x，y，z軸上的截距分別為

dx，dy，dz分別為x，y，z方向的空間周期，它們的倒數(shù)分別為這三個方向的空間頻率

顯然有

f稱為空間頻率矢量，它和波矢k滿足

1)平面波的復數(shù)表示

用三角函數(shù)表示波，在計算上帶來很多不便，因此常用復指數(shù)函數(shù)來表示簡諧波。這是因為物理規(guī)律通常用微分方程或者積分方程來表達，而使用復指數(shù)函數(shù)在微分或積分運算中極為便利。另外，引入復指數(shù)函數(shù)表示也便于將波函數(shù)中與時間相關(guān)的因子和與空間相關(guān)的因子分離開來，從而能簡化運算。基于上述理由，將式（1.2-10）改寫為

注意，上式中±號的選擇具有任意性，不妨取

引入復振幅U(k·r)，令

2)平面波的一般表示

為了獲得普遍形式的平面波解，引入變量ζ，令

建立新的坐標系oξηζ，使坐標軸oζ沿k方向。可以證明

于是，波動方程可寫為

數(shù)學上，求解該類方程，通常作變量代換，即令

于是有

這樣波動方程變成

將上式依次對q、p積分，便得到波動方程平面波解的一般形式，即式中，V1，V2是任意二次可微的函數(shù)。現(xiàn)在考察V1 的含義。顯然，在某固定時刻t，在滿足p=ζ-vt為常數(shù)的空間點，場值V1相同;在下個時刻t+Δt，滿足p=ζ-vt為相同常數(shù)的空間坐標變成ζ+vΔt，因此可以判斷，V1代表一列沿ζ軸正方向、以速度v傳播的平面波。而V2則代表一列沿ζ軸負方向、以速度v傳播的平面波。

2.球面波

由點光源發(fā)出的光波在各向同性空間傳播時，其波陣面為球面，因此稱為球面波。為討論球面波方便起見，在球坐標系中寫出波動方程。在球坐標（r，?，θ）中，拉普拉斯算符為

由于球面波具有球?qū)ΨQ性，場量V是r的函數(shù)，與方位角θ和?無關(guān)，因此拉普拉斯算符寫為

于是，波動方程可寫為

兩邊乘r得

其解的一般形式為

或上式右邊第一項表示從原點向四周發(fā)散的球面波，第二項表示從四周向原點會聚的球面波。用復指數(shù)函數(shù)可將發(fā)散球面波的解寫為

3.球面波視為平面波的近似條件

球面波的等相面為球面，等幅面也為球面，但振幅隨半徑增大而反比例減小。當球面足夠大時，曲率半徑很大，局部球面看起來很平展，在一定的條件下，可視為平面的一部分。下面具體介紹球面波近似為平面波的條件。

1)傍軸條件(或振幅條件)

由點光源發(fā)出的球面波可寫為式中，r= z2+x2+y2為點光源到觀察點的距離。如果觀察點附近的橫向尺度ρ= x2+y2?z（z為點光源到觀察點的軸向距離），則近似有

因此

進一步略去振幅中橫向尺度項，得到

但為慎重起見，上式中相位中的橫向尺度項 (x2+y2 )/（2z）繼續(xù)保留。為了理解為什么該項在相位中不能隨意略去，考察下列近似式

因此，當ρ?z或ρ2?z2 時，在z為常數(shù)的平面中，振幅近似相等，即等幅面近似為平面。條件ρ2?z2稱為傍軸條件，或振幅條件。

2)遠場條件(或相位條件)

現(xiàn)在來討論，在什么條件下，相位中的橫向尺度項(x2+y2)/（2z）可以略去。一般認為，該項可以忽略的條件為由其貢獻的相位值遠小于π，即

或者

上式稱為遠場條件或相位條件。滿足遠場條件時，有

可見，在z為常數(shù)的平面上，光波相位相等，即等相面近似為平面。

當遠場條件和傍軸條件同時滿足時，有

在這種情況下，等幅面和等相面都是平面，此時球面波可以視為平面波。對于光波而言，遠場條件遠比傍軸條件苛刻（見第1篇思考題3）。因此，只要滿足遠場條件，球面波便可視為平面波。

4.柱面波

由線光源發(fā)出的光波在各向同性介質(zhì)中傳播時，其等相面或等幅面是以線光源為軸的圓柱面，因此稱為柱面波。為方便起見，在討論柱面波時，宜采用柱面坐標系。柱面坐標中的波動方程為

當r足夠大時，其解有如下形式

1.2.3 亥姆霍茲方程

如果電磁波的各分量均隨時間t按相同頻率ω作簡諧振動，則這種波稱為時諧電磁波。時諧

電磁波的場可表示為

可見，場量對時間的變化因子是確定的，它對時間的二次偏導數(shù)為

將上式代入波動方程（1.2-3）得到

其中k 2=ω 2 εμ，方程（1.2-51）就是場的復振幅滿足的微分方程，稱為亥姆霍茲方程。只要根據(jù)亥姆霍茲方程確定場的復振幅，則乘上時間相位因子exp -( ωti )就得到場的傳播解。

1.2.4 波前與波前函數(shù)

“波前”一詞，最初指的是在波的傳播過程中排在最前面的波陣面。所謂波陣面，如前文所述，就是等相面，即空間相位相同的點所組成的平面或曲面。但在現(xiàn)代光學中，波前通常指波場中我們所關(guān)心的某一曲面，一般多為平面，例如感光底片、接收屏幕等所在的平面。波前上的復振幅分布通常稱為波前函數(shù)（或簡稱為波前）。

1.2.5 共軛波

若某一波的復振幅為E（r）=E0（r）exp（-ik·r），則以其復共軛函數(shù)E*（r）=E0（r）exp（ik·r）為復振幅的波稱為原波的共軛波。可見共軛波與原波相比，實振幅的空間分布E0（r）相同，只是其波矢由k變?yōu)?k，即傳播方向相反，因此一般說來，共軛波是原波的逆行波。圖1.2-1所示為原始波分別為平面波和球面波時對應的共軛波。平面波的共軛波為反向傳播的平面波，而發(fā)散球面波的共軛波則為會聚球面波，反之亦然。

上述分析是對三維空間中的普遍情況而言的，這時某一確定的波的共軛波有一支，并且只能有一支。但是，若考慮波在某一平面上的復振幅分布，則產(chǎn)生其共軛復振幅的波（即其共軛波）有兩支。對三維平面波，當只考慮z=0平面的復振幅分布時，它的共軛復振幅為

復振幅分布具有式（1.2-52）形式的波有兩支，它們關(guān)于xy平面對稱，如圖1.2-2所示，故相應的共軛波有兩支。同理，與x=0平面的復振幅共軛的波也有兩支，它們關(guān)于yz平面對稱。對球面也有類似的情況。