1.1 麥克斯韋方程組[1～7]

電磁學的三大實驗定律，即庫侖定律、畢奧-薩伐爾定律和法拉第電磁感應定律構成了麥克斯韋電磁理論的重要基礎。在此基礎上，麥克斯韋創造性地提出了渦旋電場和位移電流假設，最終獲得一組關于電場與磁場相互耦合的方程組，即著名的麥克斯韋方程組。

1.1.1 實驗基礎

1.庫侖定律

在真空中，兩個靜止點電荷之間的相互作用力的大小，與它們的電量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r12的平方成反比;相互作用力的方向沿著兩電荷連線的方向，同號電荷相斥，異號電荷相吸。令F12表示q1和q2的相互作用力，則用數學式表示為

式中，真空介電常數ε0=8.85×10-12 F/m，r012為由q1指向q2的單位矢量。庫侖定律的推論包括:靜電場的高斯定理與環路定理。

（1）靜電場的高斯定理:穿過任意閉合曲面S的電位移通量等于曲面S所包圍的自由電荷的代數和，即

式中，D為電位移矢量（C/m2），ρ為電荷密度（C/m3），V為閉合曲面S所包圍的體積。式（1.1-2）說明靜電場是有散場（即有源場）。這一點只要對式（1.1-2）應用高斯散度定理（參見1.1.3節）即可證明。

（2）靜電場的環路定理:任意閉合回路L上電場強度的線積分（或環流）等于零，即

式中，E為電場強度矢量（V/m）。對式（1.1-3）應用斯托克斯定理（參見1.1.3節）可以證明靜電場是無旋場。任何環流為零的矢量場稱為位場或保守場，因此靜電場是位場。

庫侖定律及其推論適用于靜電場。

2.畢奧-薩伐爾定律

為討論方便起見，引入電流元Idl。其中，I為載流回路L中的電流（A），dl是回路L中某處的線元矢量，其大小為線元長度dl，方向為沿該處的電流方向。實驗表明，電流元Idl在空間任意點產生的磁感應強度（T）dB的大小，與電流元成正比，與電流元到該點距離的平方成反比，還與電流方向和場點位矢r的夾角的正弦成正比，方向由dl×r決定。這就是畢奧-薩伐爾定律，用數學式表示為

式中，真空磁導率μ0=4π×10-7 H/m。畢奧-薩伐爾定律的推論包括磁場的高斯定理與安培環路定理。

（1）磁場的高斯定理:通過任意閉合曲面S的磁感應強度B的通量（后文簡稱為磁通量）為零，即

這說明磁場是無散場（即無源場）。

（2）安培環路定理:任意閉合回路L上磁場強度的環流，等于穿過以該回路為周界的任意曲面S的各支路電流強度的代數和，即

式中，Ii為穿過曲面S的第i支路的電流，H為回路L上的磁場強度（A/m）。式（1.1-6）說明磁場是有旋場，利用斯托克斯定理容易證明這點。

畢奧-薩伐爾定律及其推論適用于穩恒電流磁場。

3.法拉第電磁感應定律

當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發生變化時，會在回路中建立起感生電動勢，并且此感生電動勢正比于磁通量對時間t的變化率的負值，這就是法拉第電磁感應定律。在國際單位制中，該定律用數學式表示為

式中，ε為感生電動勢（V），ψ為磁通量（Wb）。等式右邊的負號是楞次定律的反映，表示感生電動勢的作用總是反抗磁通量的變化。

根據法拉第電磁感應定律，變化的磁場將在周圍建立感生電動勢，這說明必存在某種非靜電力。不妨用K表示這種作用在單位正電荷上的非靜電力，于是有

法拉第電磁感應定律適用于緩變場，在高頻情況下，很難用實驗驗證。

以上介紹的電磁學實驗定律及其直接推論，是在各自特定條件下總結出來的，分別適用于靜電場、穩恒電流磁場和緩變場，不具有普遍性。麥克斯韋在此基礎上進一步作了理論概括，并向迅變場推廣。

1.1.2 基本假設

麥克斯韋在穩恒場理論的基礎上，提出了渦旋電場和位移電流的概念，下面分別介紹。

1.渦旋電場

當導體在磁場中運動時，導體內的自由電子將受到洛倫茲力的作用而隨之運動，從而產生動生電動勢。因此，洛倫茲力是產生動生電動勢的非靜電力。實驗表明，磁場的變化將產生感生電動勢，那么，導致感生電動勢的非靜電力又是什么呢？顯然，這種非靜電力不是洛倫茲力，也不是與化學勢相關的擴散力。為了解釋感生電動勢的起源，麥克斯韋提出了渦旋電場（或感生電場）的概念，揭示出變化的磁場可以在空間激發電場，并通過法拉第電磁感應定律給出了兩者的關系，即

麥克斯韋進一步認為，不管有無導體回路存在，變化的磁場所激發的渦旋電場總是客觀存在的。空間有兩種形式的電場，即由電荷激發的靜電場和由變化的磁場激發的渦旋電場。引入渦旋電場后，可以將靜電場的環路定理推廣到包括非穩定場在內的普遍情況，即

式中的電場E為總電場，包括靜電場和渦旋電場，即E=E靜電+E渦旋。

2.位移電流

在穩恒電路中，傳導電流是處處連續的。在這種電流產生的穩恒磁場中，安培環路定理可以寫成

但在非穩恒電流情況下，安培環路定理遇到困難。以平行板電容器的充放電過程為例，如圖1.1-1所示。對整個電路來說，傳導電流是不連續的。對于同以回路L為周界的面S1 和S2來說，穿過S1的電流為I，而穿過S2的電流為零，這顯然違背了安培環路定理。

為了解決電流不連續的問題，使安培環路定理對非穩恒電流產生的磁場也成立，麥克斯韋提出了位移電流的概念。通過分析電容器充放電的過程可以發現，雖然傳導電流在電容器兩個極板之間中斷了，但與此同時，兩個極板之間卻出現了變化的電場，并且

可見，兩極板之間電位移通量對時間的變化率，在數值上等于電路中的充電電流強度。并且還可看出，當電容器充電時，極板間dD/dt的方向也是由正極板指向負極板，與電路中傳導

電流密度的方向相同，如圖1.1-1所示。

因此，麥克斯韋把變化的電場假設為電流，引入了位移電流的概念，令位移電流強度為

相應的位移電流密度為

即通過電場中某截面的位移電流強度等于通過該截面的電位移通量的時間變化率，電場中某點的位移電流密度等于該點電位移矢量的時間變化率。對于普遍的情況，麥克斯韋認為傳導電流和位移電流都可能存在。于是，他推廣了電流的概念，將兩者之和稱為全電流。對于任何回路，全電流是處處連續的。運用全電流的概念，可以將安培環路定理的應用范圍自然地推廣到包括非穩恒磁場在內的普遍情況。在一般情況下，安培環路定理被修正為

由此可見，位移電流的引入深刻地揭示了變化的電場和變化的磁場之間的內在聯系。在麥克斯韋電磁場理論中，自由電荷可以激發電場，變化的磁場也可以激發電場。在一般情況下，空間任一點的電場強度應該表示為兩種電場強度之和。穩恒電流可以激發磁場，變化的電場也可以激發磁場。在一般情況下，空間任一點的磁感應強度也應該表示為兩種磁感應強度之和。

1.1.3 麥克斯韋方程組

1.積分形式

麥克斯韋系統地總結了電學、磁學方面的實驗規律，并提出了渦旋電場和位移電流的概念，成功地將靜電場的環路定理和穩恒電流磁場的環路定理推廣到包括迅變場在內的普遍情形。

在沒有自由電荷的空間，由變化的磁場激發的渦旋電場的電場線是一系列閉合曲線。通過場中任何封閉曲面的電位移通量等于零，故有

在靜電場中，有

式中，ε為介質的介電常數。于是，可以將靜電場的高斯定理推廣到任意電磁場的普遍情況，即

式中，E為總電場，包括靜電場和渦旋電場，即

變化的電場產生的磁場和傳導電流產生的磁場相同，都是渦旋狀的場，磁感線是閉合曲線。因此，磁場的高斯定理對位移電流產生的場仍適用，即

式中，B為總磁感應強度，包括位移電流產生的磁感應強度和傳導電流產生的磁感應強度，即

根據上面討論可知，變化的電場和變化的磁場彼此不是孤立的，它們相互激發，彼此耦合成統一的電磁場。電磁場的性質可以由電場的環路定理和高斯定理，以及磁場的環路定理和高斯定理描述。由此得到一組四個數學方程式，即麥克斯韋方程組。由上面的分析，直接可獲得麥克斯韋方程組的積分形式為

式（1.1-22a）是法拉第電磁感應定律的積分表示，式（1.1-22b）是安培環路定理的積分表示，式（1.1-22c）和式（1.1-22d）分別是電場的高斯定理和磁場的高斯定理的積分形式。

2.微分形式

從上面介紹的麥克斯韋方程組的積分形式可以直接導出其微分形式，推導過程需要借助兩個重要的數學定理，即高斯散度定理和斯托克斯定理。

高斯散度定理的數學表述為

斯托克斯定理的數學表述為

這里要求矢量F的各分量及其一、二階導數連續。一般地，電磁場涉及的各場矢量都滿足該條件。

對式（1.1-22a）運用斯托克斯定理可得

因此有

該式對以L為邊界的任意曲面均成立，因此被積函數必定為零，于是有

類似地，對其余麥克斯韋方程式運用高斯散度定理或斯托克斯定理可得到各自的微分形式，即

3.電流的連續性方程

從麥克斯韋方程組可以得到電流的連續性方程。對式（1.1-27b）兩邊取散度，可得

一般地，D為時間和空間的連續函數，因此對時間和空間坐標的求導順序可交換，于是有

根據式（1.1-27c），借助于矢量分析恒等式▽·▽×H=0，可以得到

這就是電流的連續性方程的微分形式。將上式兩邊進行積分，可得

這里通過利用磁場的旋度式（1.1-27b）和電場的散度式（1.1-27c）導出電流的連續性方程。實際上，電流的連續性方程可以由實驗獲得，能作為獨立方程。在接下來的討論中將發現，可以利用電流的連續性方程和磁場的旋度式導出電場的散度式。

4.麥克斯韋方程組的獨立性[3]

麥克斯韋方程組的四個微分方程不是完全獨立的。可以證明，其中兩個散度方程可以由兩個旋度方程和電流連續性方程導出。事實上，對式（1.1-27b）兩邊取散度，可得

考慮到電流連續性方程，則上式變為

交換空間坐標和時間的求導順序可得

上式說明括號中的項不隨時間變化。若在空間某處取一個特定值，該值在任意時刻均取同樣值，那么顯然只有取零，才符合物理事實。因此得到

同理可得

從上面的討論知道，麥克斯韋方程組不獨立，不妨取兩個旋度方程和電流連續性方程作為獨立方程。這樣，若將這三個方程寫成分量形式，則可得到7個標量方程。這些方程描述了電磁場中的基本量E、H、D、B、ρ、j之間的關系，其中包括5個矢量和1個標量。5個矢量的各分量構成15個標量，因此場量的基本量中包含16個標量。顯然，7個獨立的標量方程，不足以確定16個未知標量。從數量上來看，還需要增加9個標量方程，才能達到方程數與未知標量相等的要求。事實上，為了能確定各種場量，必須知道在充滿電磁場的空間中介質的特性。描寫電磁場中介質特性的方程稱為本構關系（或物質方程）。

1.1.4 本構關系[1],[5～7]

當電磁波傳播的空間充滿介質時，電磁場將與介質相互作用，使介質產生極化和磁化。如果介質中存在導電粒子，還會產生電流。下面通過討論介質的極化、磁化，以及導電過程，引入各類本構關系。

1.介質的極化

當介質不導電時，稱其為介質。介質受到電場的作用，正負電荷發生相對位移，或者極性分子（原來正負電荷中心不重合的分子）的取向從無序狀態變成有一定傾向性的狀態，這種現象稱為介質的極化。由于發生了極化，介質內部不均勻處和表面處便出現凈的束縛電荷，這種束縛電荷稱為極化電荷。在介質均勻的地方，假定介質原來是電中性的，極化后正負電荷只拉開微小距離，在宏觀尺度上正負電荷仍然均勻分布并互相抵消。因此，極化電荷只存在于介質不均勻處或界面處。外電場激發出極化電荷，反過來極化電荷也會激發出電場，使介質極化的電場實際上是外加電場和極化電荷激發的電場之和。由電場的高斯定理，有

式中，ρf和ρp分別表示自由電荷密度和極化電荷密度。可以證明[6],[7]，極化電荷密度ρp與極化強度P滿足

將其代入式（1.1-36）得

對各向同性的均勻介質，最簡單的模型是假設P正比于電場E。定義其比例系數為χeε0，χe稱為介

質的極化率。引入一個輔助量，即電位移矢量D，它表示為

式中，εr=1+χe，εr稱為相對介電常數，而ε=ε0εr稱為介質的介電常數，它是重要的物性參數。引入介電常數ε可以使我們在計算介質靜電場特性時避免涉及介質內部極化的細節。需要指出的是，式（1.1-39）只在緩慢變化的外場下對某些介質近似適用。對高頻電磁場，介電常數一般明顯依賴于頻率。對各向異性的材料，要把式（1.1-39）推廣為

這時E與D之間需要借助于張量εij來聯系，εij稱為介電張量。對非線性介質，需要考慮高階項，即

式中，εijk和εijkl為非線性介電張量。

2.介質的磁化

介質中存在大量的的微觀磁矩。這些微觀磁矩是電子的軌道磁矩和自旋磁矩及原子核磁矩共同貢獻的。一般地，在沒有外磁場時，微觀磁矩雜亂無章排列，因而磁矩相互抵消，在宏觀尺度上磁矩為零。在外磁場中，有序的微觀磁矩能量比無序的低，導致宏觀磁矩的出現，即介質發生磁化。在介質的宏觀磁矩模型中，用假想的磁化電流解釋產生磁化的原因。

假設自由電子運動產生的宏觀穩恒電流密度為jf，它也稱為自由電流密度。另外介質由于磁化而在表面形成磁化電流密度jm。由安培環路定理可知

可以引入磁化強度M來描寫介質磁化的強弱程度，并將其定義為單位體積內微觀磁矩的矢量和。不難證明磁化強度M與磁化電流密度jm 滿足[6],[7]

將其代入式（1.1-42）得

引入磁場強度H，其定義為

對于各向同性的非鐵磁物質，簡單的線性模型給出

式中，χM 是一個物性參數，稱為磁化率。因此

引入磁導率μ，其定義為

μr=1+χM 稱為相對磁導率。于是式（1.1-47）寫成

從物理本質上看，E和B是電磁場的基本物理量，而D和H是輔助物理量。物性參數ε和μ并不能適用于所有的情況。當電磁場變化很快時，它們會改變。另外它們還會依賴于溫度等其他物理量。

3.不同介質中的本構關系

前面介紹了描述物質在電場和磁場影響下的一些特性，得到相應的本構關系，即

當介質導電時，還要加上一個場與導體的作用方程，即歐姆定律的微分形式

σ為介質的電導率。上面三個矢量方程稱為本構關系，共包含9個標量方程。可見，麥克斯韋方程組加上本構關系，總共有16個標量方程。這樣，場方程可以完全求解了。

在一般情況下，介電常數和磁導率與場強無關，本構關系具有上面幾個公式所表達的簡明形式。然而在有些情況下，材料的特性卻不能這樣簡單地描述，如對鐵磁體來說，磁感應強度矢量B與介質磁化的歷史有關，而不取決于H的瞬時值。不過，在光頻范圍內，對于大多數光學應用材料，可近似認為μr=1。這主要是因為光頻太高，介質中的磁化機構來不及響應。

下面列舉一些介質中的本構關系。

（1）均勻、各向同性介質:對于各向同性介質，介電常數和磁導率為標量。本構關系簡單地寫為

在各向同性介質中，電場強度E與電位移矢量D平行，磁場強度H與磁感應強度B平行。特別地在真空中，有

（2）非均勻、各向同性介質:在這種介質中，介電常數與磁導率是位置的函數，本構關系可表示為

（3）均勻、各向異性介質:一般介質的介電常數ε及磁導率μ均為二階張量，分別稱為介電張量和磁導率張量。本構關系可表示為

D= [εij]E（i，j=1，2，3;1，2，3分別代表x，y，z）

或

在各向異性介質中，電場強度E與電位移矢量D通常不再平行;同樣，磁場強度H與磁感應強度B一般也不平行，并且H與B之間有類似于式（1.1-59）的關系。

（4）非均勻、各向異性介質:在非均勻、各向異性介質中，介電張量是位置的函數，即

（5）非線性介質:當場非常強時，本構關系的右邊需要添加與場強的高次方有關的項，這些項與一些非線性的光學效應相關。在非線性介質中，本構關系表示為

等分別表示線性極化率、二階及三階非線性極化率等;等分別表示線性磁化率、二階及三階非線性磁化率等。

（6）雙各向異性介質:一般地，介質在電場中將被極化，在磁場中將被磁化。在雙各向異性介質中，介質在電場或磁場中，將同時被極化和磁化。雙各向異性介質的本構關系為

其中，[ξij]和[ζij]稱為磁電張量。

1960年，Astrov通過實驗發現反鐵磁物質氧化鉻是一種雙各向異性介質。1964年，Rodo發現鐵磁物質的鎵鐵氧化物也是一種雙各向異性介質。一些手征（或手性）介質，如氨基酸、DNA等物質，具有如下本構關系

其中，χ是手征參數。這種介質同樣具有雙各向異性。

當介質運動時，將呈現雙各向異性。實際上，電磁理論首次關于雙各向異性研究的對象就是運動的介質。1888年，倫琴發現在電場中運動的介質被磁化。1905年，威爾遜證明在均勻磁場中運動的介質被極化。

1.1.5 邊界條件[2]

當介質的物理性質連續變化時，場量E、H、D、B也連續變化，各場量的空間導數存在，麥克斯韋方程組成立，通過求解麥克斯韋方程組及本構關系，可以唯一確定各種場量。當介質的物理特性發生突變時，在不同介質邊界處，場量E、H、D、B也將變得不連續，且電荷密度ρ和電流密度j退化成相應的面密度。在這種情況下，在邊界處各種場量間將滿足怎樣的關系？若假定麥克斯韋方程組的積分形式對各種介質均成立，則從麥克斯韋方程組的積分形式可以推導出邊界條件。

如圖1.1-2所示，在邊界處取一個薄圓柱體作為高斯面，圓柱體的高度δh趨于零，圓柱體的側面對磁通量的貢獻可以略去，設上下底面的面積相等，即δA 1=δA 1=δA，則由式（1.1-22d）可得

即

同理，由式（1.1-22c）可得

其中ρS為電荷面密度，由上式可得

如圖1.1-3所示，在邊界處取一個矩形回路ABCD，則由式（1.1-22a）可得

令其兩個側邊AD和BC趨于零，則AD和BC邊的線積分為零，并且由于矩形面積趨于零，則上式右邊的面積分趨于零，于是有

式中，dl=dlτ，τ為切向單位矢量。上式對切平面任意方向均成立，因此用切平面的法向單位矢量n表示為

同理，根據式（1.1-22b）

考慮到在邊界處，電流密度j退化為電流面密度jS，故

若邊界處沒有自由電荷、電流分布，則得到四個邊界條件為