6.3 亥姆霍茲和基爾霍夫積分定理[1],[3],[4]

6.3.1 亥姆霍茲方程

對于頻率為ν的單色光波，其場量可寫為

U（P）和φ（P）分別為振幅和初相位。引入復振幅，即

則可將式（6.3-1）表示為場量復數形式（P）exp（-i2πνt）的實部，即

光波場u（P，t）在無源點滿足標量波動方程

對于單色光，其場量對時間的關系確定，其復振幅滿足的空間分量微分方程為

其中，k為波數，即

式（6.3-5）稱為亥姆霍茲方程。光波場中任意一點的場值即亥姆霍茲方程的解，這個解可以通過基于格林定理的積分定理來獲得。

6.3.2 格林定理

假設S為封閉曲面，G、U分別是空間位置的復函數，且在S內和S上單值并連續，并存在一階和二階偏導數。用G、U構造一矢量F

則

應用高斯定理

上式右邊有負號是因為n取S內法線矢量的緣故。于是有

格林定理是標量衍射理論的數學基礎，只要選擇合適的格林函數G和封閉曲面S，就可以用格林定理來分析很多衍射問題。

6.3.3 亥姆霍茲和基爾霍夫積分定理

為了利用格林定理來求解亥姆霍茲方程，需要構造格林函數G。設觀察點位于P點，S1為包圍P點的任意封閉曲面，如圖6.3-1所示。

令U為單色光場的復振幅。假設G表示由P點發出的同頻率發散球面波，則對任意點P1有

r為從點P到點P1的距離。若要運用格林定理，函數G及其一階、二階導數必須在封閉曲面包圍的區域V內是連續的，但在圖6.3-1中封閉曲面S1內，式（6.3-11）所定義的格林函數在P點為奇點，不滿足在區域V內連續的條件。因此需要將

P點從積分區域排除，為此以P點為球心，ε為半徑作一小球，球面為S2。曲面S1和球面S2所圍的區域為V'，則在區域V'內，G（P）滿足亥姆霍茲方程，即

U也滿足亥姆霍茲方程，根據格林定理有

顯然，在曲面S2上，內法線沿徑向，于是有

式中，dΩ表示立體角，Ωε為S 2面相對P點所張的立體角。將式（6.3-11）代入上式可得

注意，在得到上式過程中用到條件及

P1為S2上的任一點。假設ε為無限小量，并且函數U及其導數在P點周圍是連續的，則式（6.3-15）右邊第二個積分趨于零而第一個積分變為4πU（P）。因此

將上式代入式（6.3-13）得到

或者

式中，r0是位矢r的單位矢量，式（6.3-18）為亥姆霍茲和基爾霍夫積分定理，它給出一個重要結果:如果某一函數U滿足亥姆霍茲方程，且函數U及其法向導數在某一封閉曲面上已知，則該函數在曲面內任一點的值都能夠確定。