6.4 平面屏幕衍射的基爾霍夫理論[1],[4]

如圖6.4-1所示，在一個(gè)無限大不透明屏上開有孔徑A，用一個(gè)點(diǎn)光源照明孔徑，點(diǎn)光源在P0點(diǎn)，現(xiàn)在希望計(jì)算在孔徑另一側(cè)P點(diǎn)的場(chǎng)。假設(shè)孔徑在xy平面內(nèi)，以P點(diǎn)為中心，R為半徑作一個(gè)球，該球在屏上截面為圓，截圓由兩部分組成，一部分為孔徑A，另一部分是在不透明屏上的那部分B。

下面將利用亥姆霍茲和基爾霍夫積分定理來計(jì)算P點(diǎn)的場(chǎng)，而選擇的積分曲面S包括:①球面C;②被照明的孔徑A;③屏上未被照明部分B。這樣，由式（6.3-18）得到

下面證明上式中C項(xiàng)隨R→∞而趨于零。在曲面C上，n=-r0，r=R，因此有

式中，ΩC為球面C對(duì)P點(diǎn)所張的立體角。如果U滿足

則在球面C上的積分為零。式（6.4-3）稱為索末菲（A.Sommerfeld）輻射條件。這樣只需計(jì)算A、B區(qū)域的積分值即可，即

為此，假設(shè):

（1）在曲面B上，即剛好位于屏的不透明部分后面的積分區(qū)域，場(chǎng)U及其導(dǎo)數(shù)為零;

（2）在曲面A上，即屏開孔部分積分區(qū)域，場(chǎng)U及其導(dǎo)數(shù)與無屏?xí)r的值相同。

上面所述的假設(shè)稱為基爾霍夫邊界條件。應(yīng)用這些邊界條件，則有

假設(shè)從孔徑A到P點(diǎn)的距離比波長大得多，則可將上面的積分進(jìn)一步簡(jiǎn)化。在這個(gè)近似下有

于是得到

其中，α是矢徑r與n之間的夾角。假設(shè)孔徑A用從P0點(diǎn)發(fā)出的球面波照明，并假定滿足基爾霍夫邊界條件，則有

式中，ρ表示從P0點(diǎn)到孔徑A上任一點(diǎn)的距離，于是有

其中，假設(shè)kρ?1，即光源到孔徑的距離比波長大得多;式（6.4-9）中，ρ0是矢徑ρ的單位矢量，β是ρ與n之間的夾角。將式（6.4-9）代入式（6.4-7）得到

上式稱為菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。式中，因子cosβ-cosα稱為傾斜因子，因?yàn)榭讖降木€度通常很小，故α、β分別近似為π、0，于是有

在很多情況下，孔徑的線度很小，r與ρ在整個(gè)孔徑A上無顯著變化，因此被積函數(shù)的分母中r、ρ可用r'、ρ'來代替。r'、ρ'不妨分別選擇為從孔徑內(nèi)的原點(diǎn)到P和P0點(diǎn)的距離。于是，式（6.4-11）可寫為

菲涅耳-基爾霍夫衍射公式（6.4-10）中關(guān)于r與ρ是對(duì)稱的，所以P0處點(diǎn)光源在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)與P處的點(diǎn)光源在P0點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)相同。這個(gè)結(jié)論稱為亥姆霍茲互易（或可逆）定理。