3.1 倒格矢、布洛赫定理與布里淵區(qū)[29],[30]

3.1.1 倒格矢

周期性介質(zhì)的光學(xué)性質(zhì)由它的介電張量和磁導(dǎo)率張量來描述，反映介質(zhì)平移對稱性的這兩個(gè)張量是位矢r的周期函數(shù)，即

式中，a為任一點(diǎn)陣矢量，滿足

其中a1，a2，a3為基矢（量），如圖3.1-1所示。l1、l2、l3為整數(shù)。

式（3.1-1）表明介質(zhì)在沿由式（3.1-2）定義的任一矢量a平移后，性質(zhì)保持不變，換言之，介質(zhì)在r處“看到”的情形與在r+a處“看到”的情形一樣。在光子晶體中，介電函數(shù)ε（r）可寫為

通常處理周期函數(shù)的方法是將其表示成傅里葉積分形式，即

根據(jù)周期性條件

因此

a為任意格矢，特別地，當(dāng)a分別取a1，a2，a3時(shí)，有

顯然，矢量q的量綱與矢量a的量綱互為倒數(shù)，若矢量a的量綱為m，則矢量q的量綱為m-1，因此稱矢量q為倒格矢，相應(yīng)地將矢量a稱為正格矢。設(shè)倒格矢的基矢為b1，b2，b3，則

其中b1，b2，b3定義為

式中，Ω=a1·(a2×a3)為正格子原胞的體積。容易證明，正格子基矢a1，a2，a3與倒格子基矢b1，b2，b3之間滿足

3.1.2 布洛赫定理

單色（頻率為ω）光在周期性介質(zhì)中的傳播由麥克斯韋方程來描述，即

用r+a代替▽，ε，μ中的r后，這些方程保持不變。根據(jù)介質(zhì)的平移對稱性，可將其簡正模（即相對于波矢方向保持頻率和偏振態(tài)不變的振動(dòng)狀態(tài)的傳播模）寫成

式中，uk（r）和vk（r）都具有周期性，即

下標(biāo)k表示函數(shù)Ek（r）和Hk（r）取決于k，k稱為布洛赫波矢。式（3.1-12）和式（3.1-13）表示的結(jié)論為布洛赫定理，下面以電場為例加以證明。

首先將電場的本征函數(shù)表示成傅里葉積分形式，即

根據(jù)麥克斯韋方程組，可以證明電場矢量滿足

將周期性的介電函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)形式

將式（3.1-16）與式（3.1-14）代入式（3.1-15）得

上式對所有的r成立，因此被積函數(shù)之和為零，即

上式表明，只有與倒格矢有關(guān)的傅里葉分量參與構(gòu)成本征值方程組。因此，也只需用與倒格矢有關(guān)的傅里葉分量來表示電場的本征函數(shù)，即

引入函數(shù)uk(r)，令

容易證明

因此

3.1.3 布里淵區(qū)

波矢k的量綱與倒格矢的量綱一致，因此波矢k的狀態(tài)可以用以倒格矢b1，b2，b3為基矢所張開的空間中的一點(diǎn)來表示，這樣可以將倒格子空間理解成波矢空間。而正格子空間就是位矢空間。注意，描述波的重要參量是波矢k和頻率ω，ω和k之間的關(guān)系ω=ω（k），稱為色散關(guān)系。在波矢空間表示的色散關(guān)系稱為頻帶圖（類似于固體物理中電子的能帶圖）。一般具有周期性排列的晶格都具有一定的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)對稱、鏡面對稱、平移對稱等。可以證明，正格子所具有的對稱元素，倒格子也具有。能反映晶體對稱性的最小重復(fù)單元稱為維格納-塞茨元胞（Wigner-Seitz Cell）。它按以下方法選取:最近鄰或次近鄰兩格點(diǎn)間連線的垂直平分面（三維）或垂直平分線（二維）所圍成的單元，如圖3.1-2所示。

1930年，布里淵首先提出用自原點(diǎn)出發(fā)的倒格矢的中垂面來劃分波矢空間的區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。實(shí)際上，第一布里淵區(qū)就是倒格子空間的維格納-塞茨元胞。根據(jù)布洛赫定理，由于在完整晶體中運(yùn)動(dòng)的電子、聲子、磁振子等元激發(fā)的能量和狀態(tài)都是倒格子空間的周期函數(shù)，波矢之差恰為一個(gè)倒格矢的兩個(gè)狀態(tài)完全相同，因此只需要用第一布里淵區(qū)中的波矢來描述能帶電子、點(diǎn)陣振動(dòng)和自旋波等的狀態(tài)，并確定它們的能量（頻率）和波矢的關(guān)系。限于第一布里淵區(qū)的波矢稱為簡約波矢，而第一布里淵區(qū)又稱為簡約布里淵區(qū)。布里淵區(qū)的形狀取決于晶體所屬布拉菲點(diǎn)陣的類型。簡單立方、體心立方和面心立方點(diǎn)陣的簡約布里淵區(qū)分別為立方體、菱十二面體和截角八面體（十四面體）。它們都是對稱的多面體，并具有相應(yīng)點(diǎn)陣的點(diǎn)群對稱性，這一特征使簡約布里淵區(qū)中高對稱點(diǎn)的能量求解得以簡化。正格子為面心立方（fcc）的第一布里淵區(qū)為截角八面體，如圖3.1-3所示，圖中標(biāo)出了一些特殊的高對稱點(diǎn)及其符號。色散關(guān)系的計(jì)算結(jié)果通常用頻帶圖（或能帶圖）表示，而頻帶圖正是第一布里淵區(qū)中那些高對稱點(diǎn)及其連線上的波矢與對應(yīng)頻率的關(guān)系曲線。