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書(shū)名：近代光學(xué)
作者名：鄭玉祥陳良堯編著
本章字?jǐn)?shù)： 2905字
更新時(shí)間： 2021-02-07 10:14:43

2.5 光在分層介質(zhì)中的傳播[2],[21～26]

在光學(xué)系統(tǒng)中，為了消除光學(xué)元件表面對(duì)入射光的反射作用，或增強(qiáng)某元件對(duì)一定波長(zhǎng)范圍的入射光的反射率或透射率，經(jīng)常在元件表面制備多層介質(zhì)薄膜。因此分析光波在分層介質(zhì)中的傳播特性具有實(shí)用價(jià)值。

2.5.1 多層膜的特征矩陣

光在多層膜中傳播時(shí)，經(jīng)各界面的反射和折射，在多層膜中存在正向傳播的光和反向傳播的光。根據(jù)麥克斯韋電磁理論，光場(chǎng)在界面處各點(diǎn)兩側(cè)產(chǎn)生的總電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量和總磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量分別相等。這一點(diǎn)是討論光在多層介質(zhì)中傳播特性的基本出發(fā)點(diǎn)。

1.有效光學(xué)導(dǎo)納

當(dāng)光波入射到界面時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量平行于界面，為討論方便起見(jiàn)，下面引入有效光學(xué)導(dǎo)納。對(duì)于正向傳播的光波，有效光學(xué)導(dǎo)納定義為磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量與電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量之比，即

式中，上標(biāo)“+”表示正向傳播的光波。對(duì)于s光，電場(chǎng)平行于界面，因此

磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為

式中，θ0為入射角。對(duì)于介質(zhì)，，μ=μ0μr≈μ0，ε=ε0εr=ε0n2，于是有

對(duì)于p光，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為

磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量為

因此

對(duì)于反向傳播的光波，有效光學(xué)導(dǎo)納為

式中，上標(biāo)“-”表示反向傳播的光波。對(duì)于正向或反向傳播的光波，無(wú)論是s光或p光，其電場(chǎng)、磁場(chǎng)與傳播方向間都滿足右手螺旋關(guān)系，假設(shè)各垂直分量方向一致，則入射光與反射光的平行分量在界面上投影相反;因此與正向光波的有效光學(xué)導(dǎo)納定義式（2.5-1）相比，反向光波的有效光學(xué)導(dǎo)納定義式（2.5-8）出現(xiàn)一負(fù)號(hào)。

2.光導(dǎo)納矩陣和折射矩陣

下面先討論單層膜情況。如圖2.5-1所示，在折射率為n2的透明介質(zhì)基片的光滑表面上鍍一層折射率和厚度都均勻的透明介質(zhì)薄膜，設(shè)薄膜的厚度為h1、折射率為n1。薄膜上表面與空氣（折射率為n0）交界，上、下表面以界面1和界面2標(biāo)記。考慮到麥克斯韋方程中E、H之間的互易性，p光的任何結(jié)論均可由s光相應(yīng)結(jié)果經(jīng)適當(dāng)置換得到，反之亦然。因此，只需要討論入射光波的s分量或p分量的情況即可。

下面以s光為例。設(shè)一單色平面光波自介質(zhì)n0（本例即空氣）入射到界面1。根據(jù)反射和折射定律，入射光波在界面1和界面2上將發(fā)生反射和透射。在介質(zhì)n0中，存在入射光場(chǎng)、和反射光場(chǎng)、，這里的反射光場(chǎng)并非只是由該界面產(chǎn)生的，而是由整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生的總反射光場(chǎng);在介質(zhì)薄膜n1 的上界面內(nèi)側(cè)，存在透射光場(chǎng)、及來(lái)自介質(zhì)薄膜n1下界面內(nèi)側(cè)的反射光場(chǎng)、。這里下標(biāo)“10”表示在折射率為n1的薄膜中靠近折射率為n0的薄膜的界面內(nèi)側(cè)，依次類推。在介質(zhì)薄膜n1的下界面內(nèi)側(cè)，存在入射光場(chǎng)、及反射光場(chǎng)、;在基片n2中，存在透射光場(chǎng)、。各處場(chǎng)量的方向如圖2.5-1所示。

圖2.5-1 薄膜界面兩側(cè)場(chǎng)矢量的邊界條件

在界面1處，根據(jù)電磁場(chǎng)的邊界條件，在界面兩側(cè)的E、H切向分量相等，即

這里E0τ、H0τ分別指總電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量和總磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。利用上面引入的有效光學(xué)導(dǎo)納，則有

寫(xiě)成矩陣形式為

其中和稱為導(dǎo)納矩陣，一般寫(xiě)為

由式（2.5-9）和式（2.5-10），可得

即

引入折射矩陣W0，1，其定義為

折射矩陣W0，1描述光波電矢量的切向分量從界面一側(cè)傳播到另一側(cè)的傳播特性。折射矩陣的一般形式為

k表示多層膜體系中的第k個(gè)界面。因此在第k個(gè)界面處，光波電矢量的變換關(guān)系為

3.相位矩陣和傳遞矩陣

仍然針對(duì)s光，在界面2處，有

當(dāng)不考慮介質(zhì)的吸收時(shí)，應(yīng)有

說(shuō)明與、與的振幅大小相等，但由于介質(zhì)薄膜的厚度使它們之間分別有相位延遲，其相位延遲量為

由圖2.5-1可以看出，δ1實(shí)際上反映了光波通過(guò)薄膜一次引起的相位變化，其大小取決于薄膜厚度h1、折射率n1和折射角θ1。

將式（2.5-19）寫(xiě)成矩陣形式，表示為

令

矩陣U1稱為相位矩陣。一般任意層k的相位矩陣可表示為

式中δk為

因此光波通過(guò)第k層膜時(shí)，該層相對(duì)兩個(gè)界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的變換關(guān)系可以表示為

考慮k層多層膜的情況，此時(shí)有k+1個(gè)界面，對(duì)每個(gè)界面及每個(gè)膜層，重復(fù)利用式（2.5-17）、式（2.5-25）進(jìn)行計(jì)算，得到

令

矩陣S稱為膜系的傳遞矩陣，它將光波電矢量的切向分量從膜系的一端傳遞到另一端。

4.特征矩陣（干涉矩陣）

為了反映電場(chǎng)和磁場(chǎng)兩者切向分量在各層膜的傳播情況，引入特征矩陣。第k層膜的特征矩陣定義為

即

特征矩陣M將薄膜上、下兩界面處的場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)，反映光波總電場(chǎng)強(qiáng)度與總磁場(chǎng)強(qiáng)度兩者的切向分量從膜系的一端傳播到另一端的情況。

設(shè)一多層介質(zhì)膜系共有N層，折射率分別為n1，n2，…，nN，各自的特征矩陣為M1，M2，…MN，則界面1和界面2處的場(chǎng)滿足

這里，E1、H1 與E2、H2 分別為界面1處與界面2處電場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)強(qiáng)度各自的切向分量，下面EN、HN的含義相同。界面2和界面3處的場(chǎng)滿足

依次類推，界面N和界面N+1處的場(chǎng)滿足

于是，膜系兩邊即界面1與界面N+1處的場(chǎng)有如下關(guān)系

取矩陣M為

式（2.5-34）給出整個(gè)膜系的特征矩陣，它等于膜系中各層介質(zhì)薄膜的特征矩陣的乘積。特征矩陣M與膜系傳遞矩陣S的關(guān)系為

2.5.2 反射率和透射率

1.單層膜的反射率和透射率

當(dāng)一個(gè)平面光波入射到一單層介質(zhì)膜上時(shí)，根據(jù)前面的討論，可以用矩陣形式表示為

根據(jù)菲涅耳公式，可得膜系的振幅反射率為

膜系的光強(qiáng)反射率為

當(dāng)不考慮膜系吸收時(shí)，有

需要注意的是，當(dāng)式（2.5-38）中的δ1換成δ1+π，即當(dāng)h1換成h1+Δh時(shí)，其中

反射率數(shù)值不變。也就是說(shuō)，厚度上差整數(shù)倍的那些介質(zhì)膜，它們的反射率（和透射率）是一樣的。下面來(lái)確定反射率為極大值或極小值時(shí)薄膜的光學(xué)厚度。令

則當(dāng)(m=0，1，2，…)時(shí)，有。在此應(yīng)當(dāng)區(qū)分以下兩種情況。

（1）當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，cosδ1=0，sinδ1=1，則式（2.5-38）化為

在正入射時(shí)，有

（2）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，sinδ1=0，cosδ1=1，式（2.5-38）化為

在正入射時(shí)，有

可見(jiàn)在這種情況下，薄膜的反射率與薄膜折射率n1無(wú)關(guān)，因此光學(xué)厚度為(m=1，2，3，…)的薄膜對(duì)波長(zhǎng)λ0的反射（或透射）光的光強(qiáng)沒(méi)有影響。

2.多層膜的反射率和透射率

當(dāng)一平面光波入射到N層介質(zhì)膜系上時(shí)，則膜系第1層與第N層外側(cè)的場(chǎng)滿足

由

將式（2.5-46）改寫(xiě)為

由此可得膜系的振幅反射率和振幅透射率分別為

進(jìn)一步得到膜系的光強(qiáng)反射率為

當(dāng)不考慮膜系的吸收時(shí)，有

于是，只要求出膜系的特征矩陣，并將各矩陣元素代入式（2.5-49）和式（2.5-50），即可求出該多層膜系的振幅反射率r和振幅透射率t，進(jìn)而求出膜系的光強(qiáng)反射率和光強(qiáng)透射率。

2.5.3 周期性多層介質(zhì)

在實(shí)際應(yīng)用的薄膜濾光片中，大多具有周期性的膜層結(jié)構(gòu)。對(duì)于周期性多層介質(zhì)膜，其特性的計(jì)算和分析可大為簡(jiǎn)化。通常周期性多層介質(zhì)膜由一系列折射率高（n1）低（n2）交替相間的均勻膜層構(gòu)成。高折射率膜層的厚度為h1，低折射率膜層的厚度為h2，如圖2.5-2所示。