2.4 光在金屬表面的反射和折射[2],[5],[20],[21]

2.4.1 金屬中的透射光

假設電磁波在介電常數(shù)為ε、磁導率為μ、電導率為σ的各向同性介質(zhì)中傳播，根據(jù)麥克斯韋方程

式中，傳導電流密度j和自由電荷密度ρ之間滿足電流的連續(xù)性方程

由本構關系

將式（2.4-3）、式（2.4-5）代入式（2.4-1b）得

▽×H-=σE

對上式求散度得

即

故有

其解為

其中

τ稱為弛豫時間。由此可見，自由電荷密度ρ隨時間指數(shù)衰減。通常τ很短，對于金屬約為10-1 8秒量級，因此金屬中的自由電荷密度可認為始終為零，于是有

金屬中的波動方程可表示為

對單色平面光波有

將上式代入式（2.4-12）得

引入復波數(shù)k～，令

再定義復介電常數(shù)ε～為

這樣得到

它與介質(zhì)對應的關系相似。同樣，可引入復相速v～、復折射率n～，各自表示為

令

式中，κ稱為衰減系數(shù)。取式（2.4-19）和式（2.4-20）的平方，得到

故

由式（2.4-23）和式（2.4-24）解得

引入復波矢，令

式中，為波矢的單位矢量，k'、k″均為實矢量。通常也將定義為折射矢量N，即

利用復波矢，可以將金屬中電場矢量的波動形式表示為

式中，為平面波的振幅，顯然振幅沿k″方向衰減，因此也稱k″為衰減常數(shù);k'·r為

相位傳播因子，k'稱為傳播常數(shù)。k'決定平面波的等相面，而k″則決定等幅面。一般地，k'與k″的方向不同，因此等幅面與等相面不一致，說明金屬中的透射波一般是非均勻波。

不妨先看一個簡單的情況，即單色平面光波垂直于金屬表面?zhèn)鞑ィ僭O金屬表面為xy平面（z=0），光波沿z軸在金屬中傳播，此時，k'與k″都沿z軸方向，式（2.4-29）可寫為

其中，k'、k″分別為

對于良導體，σ/(εω)?1，則有

根據(jù)式（2.4-30），在z=z0=1/k″處，振幅降為表面處振幅的e-1，z0稱為穿透深度，其值為

可見，穿透深度與光波頻率及導體的電導率的平方根成反比。以銅為例，其電導率約為5.9× 107/（Ω·m），對于可見光，穿透深度約為數(shù)納米。

將式（2.4-30）代入麥克斯韋方程組可以得到

式中，^為表面法線方向的單位矢量，注意不要與折射率混淆。對于良導體，將式（2.4-33）代入式（2.4-35）可得

可見，磁場的相位比電場的相位落后π/4。并且

即

而在介質(zhì)中，有

這說明相對于介質(zhì)，在金屬中電磁波的磁場的作用比電場的作用要大。

下面來討論一個普遍的例子。假設介質(zhì)1是空氣，介質(zhì)2是金屬，將金屬的復折射率寫為

由斯內(nèi)爾定律

因為為復數(shù)，因此也是復數(shù);顯然不再有折射角的簡單幾何意義。在可見光范圍內(nèi)，金屬反射不再滿足布儒斯特定律。下面討論光在金屬中的實際折射角。設入射面為xz平面，金屬中光波相位的空間變化為·r，其中可表示為

由式（2.4-41）和式（2.4-42），可得

為運算方便起見，令

式中，q和γ都是實數(shù)。經(jīng)過計算，得到

于是得到相位的空間變化為

將上式代入式（2.4-29），可以得到等幅面方程為

即z為常數(shù)的平面。同樣也得到等相面方程為

可見，等相面為平面，設該平面的法線與界面法線的夾角為，則

則由上式可以得到，光從空氣入射到金屬中實數(shù)形式的折射定律為

其中為光在金屬中真實折射角為金屬的實折射率，即

顯然與入射角θ1有關。

2.4.2 金屬界面的反射光

假設光從折射率為n1的介質(zhì)入射到折射率為=n(1+iκ)的金屬表面，則反射光仍然在介質(zhì)中，故反射光還是均勻波。s光和p光的振幅反射率分別為

由斯內(nèi)爾定律和三角函數(shù)關系可得

令

則由式（2.4-53a）和式（2.4-53b）可得

s光和p光的光強反射率分別為

令δ=δs-δp，由式（2.4-44）可得，當θ1從0°到90°時，δ從180°降到0°;其中，當θ1=θP時，δ=90°，θP稱為主入射角，類似于布儒斯特角。當入射角為主入射角時，RP有極小值，但不為零，故光在金屬表面的反射不符合布儒斯特定律。相應地引入主方位角ΨP，定義為

可以證明[2]，金屬的光學常數(shù)n、κ與主入射角θP及主方位角ΨP近似滿足

因此，通過對主方位角ΨP和主入射角θP的測量，可以獲得金屬的光學常數(shù)。