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近代光學

1.5 電磁場的能量與坡印廷矢量[6],[7],[17],[18]

根據麥克斯韋方程組

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用H點乘式（1.5-1a）兩邊得

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用E點乘式（1.5-1b）兩邊得

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式（1.5-2）與式（1.5-3）相減得

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根據矢量運算公式，上式左側為

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故有

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引入坡印廷矢量S，其定義為

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S也稱為能流密度矢量，表示單位時間內通過垂直于波傳播方向的單位面積的電磁場能量。另外

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令

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we與wm 分別為電場能量密度和磁場能量密度。式（1.5-10）與式（1.5-11）之和為

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w為電磁場能量密度，于是式（1.5-6）可寫為

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將上式在所考慮的體積V中進行積分可得

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或

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上式第一項為坡印廷矢量的面積分，表示單位時間內流出包圍所考慮體積V的封閉曲面Σ的電磁場能量。上式第二項W為w在體積V中的積分，dW/dt表示單位時間內體積V中電磁場能量的增量。下面討論第三項的意義。有非靜電力K存在時的歐姆定律為

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其中，σ為電導率，ρR為電阻率（注意區別于麥克斯韋方程組中的電荷密度ρ）。這樣得到

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為了更清楚地看出上式的含義，選擇一個截面積為ΔΣ、長為ΔL的電流管，如圖1.5-1所示，則

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圖1.5-1 電流管示意圖

式（1.5-18）中，I為流過所考慮的電流管的電流，R為該電流管的電阻，Δε為非靜電力產生的電動勢。顯然，式（1.5-18）最后一個等號右邊第一項表示單位時間內，所考慮空間內所產生的焦耳熱損耗Q=I2R，第二項表示單位時間內非靜電力所做的功P=IΔε。

將式（1.5-18）代入式（1.5-15）得到

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或者

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即單位時間內體積V中電磁場能量的增量等于單位時間內非靜電力所做的功P減去單位時間內從表面Σ流出的電磁場能量（坡印廷矢量的面積分）和單位時間內的焦耳熱損耗Q。這就是電磁場的能量守恒定律。式（1.5-20）為電磁場的能量守恒定律的數學表述，稱為坡印廷定理。式（1.5-13）為坡印廷定理的微分形式。

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