1.6 電磁場的動量和光壓[6],[7],[17],[18]

1.6.1 電磁場的動量

由力學(xué)知識可知，物體所受的力等于其動量的變化率。因此為了理解電磁場的動量，不妨先討論電磁場對帶電粒子的作用力，即洛倫茲力。根據(jù)洛倫茲力公式，洛倫茲力密度f表示為

利用場方程

從式（1.6-1）中消去ρ、j，可得

另外，再利用場方程

構(gòu)造恒等式

將此式與f的表達式（1.6-4）相加得到

由矢量運算關(guān)系式

和

(▽·E)E+(▽×E)×E= (▽·E)E- ▽(E·E)-(E·▽)E[ ]

=▽·(EE)-▽(E·E)=▽·(EE)-▽·(E2I)

(▽·B)B+(▽×B)×B= (▽·B)B- ▽(B·B)-(B·▽)B[ ]

=▽·(BB)-▽(B·B)=▽·(BB)-▽·(B2I)

上面兩式中，EE和BB表示兩個矢量的并矢，其結(jié)果為二階張量;I表示二階單位張量。這部分內(nèi)容涉及矢量與張量分析，在附錄A.2中有簡單的介紹，更詳細的介紹請參閱關(guān)于張量分析方面的書籍。另外，將坡印廷矢量S對時間求偏導(dǎo)，則有

于是，式（1.6-8）可寫為

式中

式中，g稱為動量密度矢量，T為麥克斯韋應(yīng)力張量。式（1.6-12）表示電磁場的動量守恒定律，后面將進一步討論。由于電磁場具有動量，它入射到物體上時會對物體施加一定的壓強，這種壓強稱為輻射壓強。特別地，由光波產(chǎn)生的輻射壓強稱為光壓。

下面具體地討論在真空中運動的電荷受到電磁波作用的情況。假設(shè)在體積V中運動電荷的機械動量為Gm，考慮到電荷受到洛倫茲力的作用，根據(jù)牛頓定律有

式中

G為電磁場動量。式（1.6-13）是電磁場動量守恒定律的積分形式。在式（1.6-13）的推導(dǎo)中，利用了斯托克斯積分變換公式

如果V足夠大，以致在包圍體積V的封閉曲面上的場為零，此時式（1.6-13）右邊的面積分為零，因此有

上式表明電荷、電流系統(tǒng)的機械動量Gm 與電磁場動量G之和是守恒的，但電荷、電流系統(tǒng)的機械動量Gm 不守恒。這是因為電荷、電流系統(tǒng)在與電磁場作用過程中需要不斷地交換動量的緣故。如果體積V有限，在體積外仍然有電磁場存在，則式（1.6-13）右邊的面積分不為零，即

或

上式左邊的項表示體積V內(nèi)電磁場動量的變化率;右邊第一項表示帶電粒子對場的作用力，右邊第二項表示體積V以外的場對體積V中的場的作用力，即-n·T這一項的面積分代表體積V外的場對體積V中的場的作用力。因此該項表示法向矢量為n的單位面積上受到的應(yīng)力，即

如果知道麥克斯韋應(yīng)力張量T的具體數(shù)值，則根據(jù)上式可以很方便地求得物體在電磁場中受到的應(yīng)力或者物體受到的光壓大小。

【例1.6-1】 求平面電磁波的輻射壓強。

解:如圖1.6.1所示，沿x軸傳播的電磁波，入射到Σ面后被完全吸收。設(shè)在Σ面上的應(yīng)力張量為T，則Σ面單位面積上受到電磁波的作用力為

u為電磁波的能量密度。其中利用了電磁波的橫波性，即En=Hn=0。由于電磁波是隨時間變化的，因此電磁波吸收體所受到的平均輻射壓強或平均光壓由式（1.6-20）對時間平均得到，即

1.6.2 光壓的實驗驗證

一般光壓非常小，晴天的陽光作用在1m2的黑色物體上的壓力約為0.0000047N，所以通常光壓難以測量。1899年，俄國物理學(xué)家列別捷夫（П. H. Лебедев）首次對光壓進行了精確的測量。為了實驗的成功，他專門制造了一臺靈敏度極高的扭力儀。這臺儀器在測量光壓時可以消除氣體對流等因素影響。列別捷夫所用儀器的主要部分是一個用細線懸掛起來的極輕的懸體R，其上有小翼a和b，如圖1.6-2所示。圖中小翼a涂黑，另一個小翼b是光亮的。將懸體R置于一個真空容器內(nèi)。借助于透鏡及平面鏡系統(tǒng)將由弧光燈發(fā)出的光線射向小翼b。作用在小翼b上的光壓使懸體R轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的大小，可借助于望遠鏡及固定在軸線上的小鏡觀察到。移動雙鏡使光射在涂黑的小翼a上。比較兩種情況下懸體轉(zhuǎn)動的大小，列別捷夫測得，涂黑表面所受的光壓力是光亮表面所受的光壓力的一半。結(jié)論與理論完全符合。

20世紀(jì)60年代，當(dāng)激光作為具有極高亮度的相干光源出現(xiàn)后，光壓的研究發(fā)生了革命性的變化。20世紀(jì)70年代初，人們開始對激光的光壓進行全面和深入的研究，特別是對原子在不同條件下所受光壓的性質(zhì)和機理進行理論探討和實驗觀測，從而發(fā)展出原子束的激光偏轉(zhuǎn)、激光冷卻、光子黏膠及原子噴泉等實驗技術(shù);同時利用光壓進行原子俘獲、粒子操縱等研究。美國華裔科學(xué)家朱棣文教授是激光冷卻方面研究的先驅(qū)，并因此獲得了1997年度諾貝爾物理學(xué)獎。

1.6.3 帶電粒子在磁場中的總動量

假設(shè)質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子在磁場中運動。利用磁場的無源性，引入矢勢A，令B=▽×A，電磁場的動量為表示為

利用矢量恒等式

得到

當(dāng)積分體積趨于無窮時，包圍積分體積的表面處的場強趨于零，所以上式中括號內(nèi)的兩個面積分為零，于是有

式（1.6-25）的積分結(jié)果為

由此可知帶電粒子在磁場中的總動量為

式中，v為帶電粒子的運動速度。上式在量子力學(xué)中討論帶電粒子的微觀運動時有重要應(yīng)用。