1.4 電磁波的偏振[11],[13～16]

1.4.1 電磁波的橫波性

在上節得到了電場強度矢量E和磁場強度矢量H滿足的波動方程，該方程的解表示傳播速度為的一種波動，其最簡單的形式為簡諧波。對于簡諧波，E和H的表達式為

將上式代入麥克斯韋方程組得

由式（1.4-2）可以看出，矢量E和矢量B都與電磁波的傳播方向k垂直，這表明電磁波是橫波，且E，B，k之間構成右手螺旋關系，在數值上有

在各向同性介質中，B與H的方向相同，且E與D的方向也相同。令 E 與 H 的比值為Zc，表示為

Zc是描述介質空間特性的參量，稱為介質的特性阻抗。真空的特性阻抗為

因此介質的特性阻抗可寫為

對于常用的光學介質，其相對磁導率近似為1，即μr≈1，于是有

1.4.2 洛倫茲力公式

考慮一個處在電磁場中、帶電量為q、運動速度為v的粒子，它所受到的洛倫茲力為

在真空中，E與B的大小滿足

因此，運動帶電粒子在電磁場中所受到的電場力和磁場力之比為

上式中θ為v與B之間的夾角。由于v?c，運動帶電粒子在電磁場中所受到的電場力比磁場力大得多。因此，在非相對論情況下，當考慮物質與光的相互作用時，僅考慮光的電場分量。但在有些情況下，如在處理有些非線性問題時，光的磁場分量的作用是不能忽略的。

1.4.3 光的偏振

由于電磁波是橫波，所以具有偏振特性。所謂偏振是指振動方向相對于傳播方向的不對稱性，通常包括線偏振，圓偏振和橢圓偏振等幾種形式。

當光與物質相互作用時，主要是光波中的電矢量起作用，所以常用電矢量作為光波的振動矢量，即光矢量。光矢量在垂直于傳播方向的平面內作二維振動，存在多種不同的振動狀態，稱為光波的偏振態。一般按偏振態將光分成五種類型:自然光、線偏振光、部分偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光。

1.自然光

普通光源，例如太陽、白熾燈等，發出的光，其光矢量沿各個方向均勻分布，且沿各方向振動的振幅相等，各振動之間沒有固定的相位關系。具有這種偏振態的光稱為自然光，如圖1.4-1所示。

2.線偏振光

在垂直于傳播方向的平面內，光矢量沿固定方向振動，具有這種偏振態的光稱為線偏振光。因為線偏振光在傳播過程中，各處的光矢量均在一個平面內，故線偏振光又稱為平面偏振光，如圖1.4-2所示。通常把光矢量振動方向與傳播方向所構成的平面稱為振動面。由于光矢量就是光的電場振動矢量，因此電場矢量在振動面內振動，而把磁感應強度矢量振動方向與傳播方向所構成的平面稱為偏振面。顯然振動面與偏振面相互垂直。

3.部分偏振光

如果偏振光的光矢量沿各個方向都有振動，且沿各方向振動的振幅不等，具有這種偏振態的光稱為部分偏振光，如圖1.4-3所示。部分偏振光是介于自然光和線偏振光之間的一種偏振光，一般可以把部分偏振光看作是自然光和線偏振光兩者的混合。

部分偏振光在某一個方向上振動占優，若用偏振片來檢驗，當偏振片的透振方向沿該方向時，透射光有極大值IM;當偏振片的透振方向垂直于該方向時，透射光有極小值Im。為了描述部分偏振光的偏振程度，引入偏振度P，其定義為

當IM=Im，即P=0時，對應的光為自然光，自然光是偏振度為零的光，也叫非偏振光。當Im=0，即P=1時，對應的光為線偏振光，線偏振光是偏振度為1的光，也叫完全偏振光。

4.圓偏振光

如果一束光在傳播過程中，其光矢量的大小不變，但方向以角速度ω在垂直于傳播方向的平面內旋轉變化，光矢量的端點描繪出一個圓形，具有這種偏振態的光稱為圓偏振光，如圖1.4-4所示。如果在光傳播的前方迎面看，則當光矢量沿順時針旋轉時，對應的光稱為右旋圓偏振光;相反，當光矢量沿逆時針旋時，對應的光稱為左旋圓偏振光。

5.橢圓偏振光

如果光在傳播過程中，光矢量以角速度ω在垂直于傳播方向的平面內旋轉，且光矢量的大小也發生變化，光矢量的端點描繪出一個橢圓，具有這種偏振態的光稱為橢圓偏振光，如圖1.4-5所示。

與圓偏振光一樣，橢圓偏振光也分為左旋橢圓偏振光和右旋橢圓偏振光，并且左、右旋的定義與圓偏振光左、右旋的定義一樣，即在光傳播的前方迎面來看，光矢量沿順時針旋轉的橢圓偏振光稱為右旋橢圓偏振光;光矢量沿逆時針旋轉的橢圓偏振光稱為左旋橢圓偏振光。一般地，不同的橢圓偏振光的長軸與x軸的夾角，以及長短軸之比是不同的。特別地，當短軸為零時，橢圓偏振光變成線偏振光;當短軸與長軸相等時，橢圓偏振光變成圓偏振光。這表明，橢圓偏振光是最普遍的偏振光，而線偏振光和圓偏振光是其特例。

1.4.4 偏振態的表征

1.橢圓偏振光的數學表示

前面提到，線偏振光和圓偏振光是橢圓偏振光的特例，而橢圓偏振光可表示為兩個互相垂直的線偏振光的合成，即

式中，τ=ωt-k·r。注意到在τ=ωt-k·r中，ωt前的系數為正，這樣選的結果是正相位表示超前（與大多數討論偏振的光學書籍中的選取方式一致）。因此，在式（1.4-13b）中，δ表示Ey超前于Ex的相位。實際上，由于

令

對于特定的空間點，Ex的相位φx在達到與Ey的相位φy相同時，必須要經過Δt=δ/ω的時間。也就是說，Ey的相位比Ex的相位超前δ。

橢圓長短軸及旋轉方向與x、y方向的振動分量的振幅Ex0、Ey0 及相位差δ有關，如圖1.4-6所示。一般地，合成的橢圓形狀如圖1.4-7所示，設橢圓長軸與x軸的夾角為θ，不妨建立新的坐標系ox'y'，使x'軸沿橢圓長軸，y'軸沿橢圓短軸，在新坐標系中與原坐標中Ex、Ey之間滿足

式中，矩陣A為

令橢圓的長軸、短軸的長度分別為2a、2b，則在ox'y'坐標系中，橢圓方程可表示為

上式中，正、負號分別對應左旋、右旋橢圓偏振光。由式（1.4-13）、式（1.4-17）至式（1.4-19）得

式（1.4-20a）與式（1.4-20b）平方相加，及式（1.4-20c）與

式（1.4-20d）平方相加得到

式（1.4-21a）與式（1.4-21b）相加，得到

式（1.4-20a）與式（1.4-20c）相乘，及式（1.4-20b）與式（1.4-20d）相乘，然后再相加得到

式（1.4-20a）除式（1.4-20c），及式（1.4-20b）除式（1.4-20d），得到

上式第二個等號兩側交叉相乘得到

引入輔助角α，令

這樣，可以將式（1.4-25）改寫為

由式（1.4-22）和式（1.4-23）得

引入另一個輔助角η，令

其中正、負號分別對應右旋、左旋橢圓偏振光。進一步將式（1.4-28）改寫為

通過以上討論可知，如果給定θ、η的實際值（這些值可以由實驗測定），則偏振光的兩個正交分量的振幅Ex0、Ey0及相位差δ可以通過以下公式求出，即

2.瓊斯矢量和瓊斯矩陣

1941年，瓊斯（R. C. Jones）提出用矢量和矩陣分別表示偏振態和偏振器件的特性。這種方法對分析光在各種偏振器件中的傳播問題非常方便。

1)瓊斯矢量

假設一個任意偏振態的光沿z軸傳播，其光矢量在xy平面內振動。由前面的討論可知，在xy平面內振動的光矢量可以視為x、y方向光矢量振動的合成，用矢量形式可以表示為

由于偏振態取決于兩振動方向相對振幅與相對相位，而與公共相位因子無關，所以可以略去式（1.4-35）中公共相位因子，而不影響偏振態的表征，于是得到

上面得到的矢量就是瓊斯矢量。由于光的強度并不影響偏振狀態，因此可以引入歸一化的瓊斯矢量，將其定義為

顯然，歸一化的瓊斯矢量表示的偏振光具有單位強度的光強。

【例1.4-1】 試用歸一化的瓊斯矢量表示下列偏振光。

① 光矢量與x軸夾角為θ的線偏振光;

② 左旋圓偏振光。

解:

① 與x軸夾角為θ的線偏振光，其光矢量的兩個分量分別為

歸一化后得到

② 左旋圓偏振光，其光矢量的兩個分量分別為

即其Ey比Ex落后π/2，略去公共因子，并歸一化得到

2)瓊斯矩陣

一般地，偏振光經過偏振元件，其偏振態將發生變化。假設偏振光E1，經過一個偏振器件P后，變成偏振光E2。E1、E2對應的瓊斯矢量分別為

由矩陣分析的知識可知，E1與E2可以由一個矩陣聯系，即

引入瓊斯矩陣J，其定義為

顯然，每一種偏振器件對偏振光的變換特性都可以用一個瓊斯矩陣來描寫。

如果偏振光依次經過N個偏振器件，它們的瓊斯矩陣分別為J1，J2，…，JN，容易得到出射光E的偏振態為

由于瓊斯矢量涉及光矢量的瞬時值，需要知道兩個正交電場分量之間的相對相位關系，因此瓊斯矢量僅限于描述完全偏振光。

3.正交偏振態

1)偏振態的正交性

假設有兩個偏振光，其瓊斯矢量分別為

如果將其中一個瓊斯矢量取復共軛，再與另一個瓊斯矢量作內積（即點積）后，結果為零，即

則稱兩偏振光正交。不難驗證，沿x軸振動的線偏振光與沿y軸振動的線偏振光正交;左旋圓偏振光與右旋圓偏振光正交。由矢量分析的知識可知，在同一個平面內，任意矢量可以由兩個正交矢量疊加而成。同樣道理，任意偏振光也可以由兩個相互正交的偏振光疊加得到。

2)笛卡兒基矢量和圓基矢量

設有兩個相互垂直、具有單位強度的線偏振光，其光矢量分別沿x、y軸，以零初相位和單位振幅作簡諧振動，對應的瓊斯矢量為

對于任意偏振光，其瓊斯矢量為

顯然，E可以用表示為

因此任意瓊斯矢量E可以用展開所起的作用與歐幾里得空間中的基矢量相似，稱為瓊斯基矢量。這組瓊斯基矢量是由相互正交的零初相位、單位振幅的線偏振光組成，稱為笛卡兒瓊斯基矢量。

設有兩個相互正交、具有單位強度且初相位為零的圓偏振光，其瓊斯矢量分別為

上面左式表示左旋圓偏振光，它可看作是光矢量分別沿x軸振動和沿y軸振動的兩個分量疊加而成，這里兩個振動分量的振幅均為，并且y軸振動分量落后于x軸分量π/2。上面右式表示右旋圓偏振光，它與左旋圓偏振光不同的是，y軸振動分量超前于x軸分量π/2。將笛卡兒瓊斯基矢量用表示為

可見也可起到基矢量的作用，稱為圓基矢量。

3)笛卡兒瓊斯矢量和圓瓊斯矢量

對于任意偏振光E可以用 表示為

式中

可將Ex、Ey與EL、ER關系寫成

或者

式中

這里，Ex，y是用x、y線偏振光基矢量展開的瓊斯矢量，稱為笛卡兒瓊斯矢量;而EL，R是用左旋圓偏振光、右旋圓偏振光基矢量展開的瓊斯矢量，稱為圓瓊斯矢量。

下面通過一個例子來說明用笛卡兒瓊斯矢量與用圓瓊斯矢量表示同一個偏振態的異同。不失一般性，先看一個單位振幅、零初相位的橢圓偏振光，假設橢圓長軸與短軸分別與x'、y'軸重合。在o'x'y'系中，其瓊斯矢量為

在oxy系中，長軸與x軸夾角為θ，θ代表橢圓的空間取向，稱為方位角;而η則代表橢圓的“胖瘦”程度，稱為橢圓率角，簡稱橢率角。再考慮到偏振光的振幅A、初相位δ0后，則在oxy系中完整偏振態的瓊斯矢量表示

上式描述一個振幅為A、初相位為δ0、方位角為θ、橢率角為η的偏振光。式（1.4-57）為該偏振光的笛卡兒瓊斯矢量。根據笛卡兒瓊斯矢量與圓瓊斯矢量的變換關系

容易得到

上式即振幅為A、初相位為δ0、方位角為θ、橢率角為η的偏振光的圓瓊斯矢量。

4.斯托克斯矢量和穆勒矩陣

1)斯托克斯參量

1852年，斯托克斯（G.G.Stokes）提出用四個參量來描寫光波的強度和偏振態，這四個參量稱為斯托克斯參量，它們構成一個四維矢量，即斯托克斯矢量。構成斯托克斯矢量的四個參數均是被考慮光分別通過四塊特殊濾波片F1、F2、F3、F4后的光強平均值，這四塊濾波片F1、F2、F3、F4的功能為:

① 每塊濾波片對自然光的透過率均為50%;

② 每塊濾波片的通過面垂直于入射光;

③F1是各向同性的，對任何入射光的作用相同;

④F2的透光軸（透振方向）沿x軸，對沿y軸振動的光完全吸收;

⑤F3的透光軸與x軸夾角為45°;

⑥F4對左旋圓偏振光完全吸收。

設光通過四塊濾波片的光強分別為I1、I2、I3、I4，引入四個參量s0、s1、s2、s3，定義為

這四個參量構成的矢量S稱為斯托克斯矢量，即

由于構成斯托克斯矢量的四個參量對完全偏振光、部分偏振光和自然光都可以確定，因此斯托克斯矢量可以描述完全偏振光、部分偏振光以及自然光，而瓊斯矢量只能表示完全偏振光，這是斯托克斯矢量表示的優點。但斯托克斯矢量是四維矢量，而瓊斯矢量是二維矢量，因此在運算方面，用瓊斯矢量表示方法更便利一些。

對完全偏振光，若光矢量的兩分量分別為

式中，τ=ωt-k·r。可以證明，該完全偏振光對應的斯托克斯矢量的各參量為

顯然，對完全偏振光，四個參量之間存在如下關系

2)穆勒矩陣

類似于瓊斯矢量的討論，設偏振光E1經過一個偏振器件P后變成偏振光E2。E1、E2對應的斯托克斯矢量分別為

S1與S2可以由一個矩陣聯系，即

引入一個4×4矩陣M，令

M稱為穆勒矩陣。同樣，每一種偏振器件對偏振光的變換特性也可以用一個穆勒矩陣來描寫。如果偏振光依次經過N個偏振器件，它們的穆勒矩陣分別為M1，M2，…，MN，容易得到出射光E的偏振態為

5.瓊斯矢量與斯托克斯矢量的關系

對一個完全偏振光，既可以用瓊斯矢量表示，也可以用斯托克斯矢量表示，因此兩者之間一定存在變換關系。

設一個完全偏振光為

它的瓊斯矢量可寫為

它的斯托克斯矢量形式為

為表達方便起見，引入四個矩陣

上面四個矩陣稱為夾心矩陣，類似于量子力學中描述電子自旋的泡利矩陣。另外，瓊斯矢量的共軛矢量為

不難驗證，四個斯托克斯參量可以表示為

表1.4-1中列出了各種偏振光狀態的矢量表示。

6.偏振光的復平面表示法

1)笛卡兒復平面表示法

一個振幅為A、初相位為δ0、方位角為θ、橢率角為η的橢圓偏振光的笛卡兒瓊斯矢量為

應該記住，圓偏振光和線偏振光是橢圓偏振光的特例。在大多數情況下，偏振光的振幅和初相位不是人們考慮的重點，實際上在很多光學的應用中，光源的功率大小以及時間、空間原點的選擇不會給實驗結果帶來本質的影響。因此，在上式中，公共因子Aexp(iδ0)可以忽略。在笛卡兒瓊斯矢量的表示中，一個任意橢圓偏振光被視為分別沿x軸和y軸振動的線偏振光分量的矢量合成。這兩個振動分量之間的振幅比和相位差是區分不同偏振態的重要物理參量。在幾何上，一個橢圓偏振光正如其名稱那樣，可以用一個橢圓（即偏振橢圓）表示，而偏振橢圓的方位角和橢率角是區分不同偏振橢圓的重要幾何參量。引入偏振變量Γ，令

顯然，偏振變量Γ是由兩個振動分量之間的振幅比和相位差構成的復變量，不同的橢圓偏振態對應于不同的偏振變量Γ。另外，偏振變量Γ可以由偏振橢圓的方位角和橢率角表示為

上式表明每一個方位角為θ和橢率角為η的橢圓偏振態可以由一個復數Γ表示。每一個復數則對應于復平面上的一個點，因此可以用復平面來表示光的偏振態。因為復平面每一點對應的表示偏振態的復數是由笛卡兒瓊斯矢量的分量定義得到的，所以這種復平面表示稱為笛卡兒復平面表示。注意到，方位角θ和橢率角η的范圍為-π/2≤θ<π/2，-π/4≤η≤π/4。

式（1.4-77）給定復平面上的一個點，該點對應的復數描寫的偏振態由式（1.4-76）表示。通過仔細分析復平面上的點與光的各種偏振態之間的一一對應關系，可以總結出笛卡兒復平面表示的特點:

① 復平面的原點（Γ=0）表示沿x軸振動的線偏振光;復平面的無窮遠點（Γ=∞）表示沿y軸振動的線偏振光。

② 復平面的實軸上從-∞～∞之間的點表示方位角從-π/2～π/2的線偏振光。

③ 虛軸上的兩點，R（0，i）與L（0，-i）分別表示右旋圓偏振光和左旋圓偏振光。

④ 除實軸上各點、虛軸上的R（0，i）與L（0，-i）兩點及無窮遠點之外，復平面上其他各點均表示橢圓偏振光。其中，上半平面的點表示右旋橢圓偏振光，下半平面上各點表示左旋橢圓偏振光。

⑤ 在復平面上，通過R（0，i）、L（0，-i）兩點所在的圓過原點作弦，該弦兩端的點表示的偏振態相互正交。

⑥ 在復平面上，通過R（0，i）、L（0，-i）兩點的圓被虛軸分為左右兩支，右半平面的分支（弧）表示的偏振態具有相同的方位角θ，并且0<θ<π/2;左半平面的分支（弧）表示的偏振態也具有相同的方位角（θ-π/2），并且-π/2<θ-（π/2）<0。

⑦ 在復平面上，圓心位于（0，icosec2η）、半徑為|ctan2η|的圓上各點表示的偏振態具有相同的橢率角η。

以上結果的證明從略，留給感興趣的讀者練習。

2)圓復平面表示法

一個振幅為A、初相位為δ0、方位角為θ、橢率角為η的橢圓偏振光的圓瓊斯矢量為

在這種情況下，偏振變量Γ為

由圓瓊斯矢量表達式，得到偏振變量Γ與偏振橢圓的方位角θ和橢率角η之間的關系為

偏振變量Γ是一個復數，對應復平面上的一個點，由式（1.4-77）可以得到該點表示的偏振態的方位角θ和橢率角η分別為

偏振態與該復平面上的點存在一一對應關系，用該復平面表示偏振光的方法稱為偏振光的圓復平面表示。對式（1.4-80）、式（1.4-81）及式（1.4-82）進行分析，可以得到圓復平面表示的特點:

① 復平面的原點（η=-π/4，Γ=0）和無窮遠點（η=π/4，Γ=∞）表示左旋圓偏振光和右旋圓偏振光。

② 復平面單位圓上的每個點（η=0，-π/2≤θ<π/2，Γ=exp（-i2θ））對應于不同方位角的線偏振光。

③ 除原點、單位圓和無窮遠點外，復平面上其他各點均表示橢圓偏振光。其中，在單位圓外（0<η≤π/4，1<|Γ|<∞）各點表示右旋橢圓偏振光;在單位圓內（-π/4≤η<0，0≤|Γ|<1）各點表示左旋橢圓偏振光。

④ 等方位角線（θ=常數）為從原點發出，直到無窮遠的徑向輻射線。正實軸為θ=0的等方位角線;負實軸為θ=-π/2的等方位角線。一條通過原點的直線被原點截成兩支，一支表示所有方位角為θ的偏振態;另一支表示所有方位角為θ-（π/2）的偏振態，其中一支中的偏振態與另一支對應偏振態正交。

⑤ 在復平面上，圓心位于原點的圓上各點表示的偏振態具有相同的橢率角η。

7.偏振態的邦加球表示法

1892年，邦加（J. H. Poincaré）提出用球體表示任意偏振態的圖示法，這種可表示任意偏振態的球稱為邦加球。

1)邦加球表示法的基礎

前面提及，對于完全偏振光，四個斯托克斯參量為

δ=δy-δx為Ey與Ex之間的相位差，因為上式描述的是完全偏振光，所以

根據式（1.4-83d）、式（1.4-32）及式（1.4-33）可以得到

由式（1.4-31）及式（1.4-33）可得

或

將上式及式（1.4-85）代入式（1.4-84）可得

將上式代入式（1.4-87）得到

于是獲得斯托克斯參量與偏振橢球的方位角和橢率角之間的關系為

2)偏振光的邦加球表示法

正如前文所述，如果不考慮光強，只需兩個角度，即方位角θ和橢率角η，就可決定任意橢圓偏振光的偏振態，注意到

方位角θ:-π2 ≤θ< π2，橢率角η:-π4 ≤η≤ π4

聯想到球面上的一點可以由該點對應的經度和緯度這兩個方位角表示，如果將球面上的經度和緯度分別與橢圓偏振光的方位角和橢率角聯系起來，那么球面上的一個點就可以代表一個偏振態。由式（1.4-90）可以想到，以s0 為半徑作球面，令球面各點對應的經度和緯度分別為2θ和2η，則球面上每一個點的直角坐標恰為斯托克斯參量s1、s2、s3，球面全部點與所有各種可能的完全偏振態一一對應，這種球就是邦加球，如圖1.4-8所示。關于邦加球，有以下結論:

① 赤道上（η=0），任意一點代表不同振動方向的線偏振光，其中θ=0，即x軸正半軸上的點表示水平偏振光;θ=π/2，即x軸負半軸上的點表示垂直偏振光。

② 球的北極（η=π/4）表示右旋圓偏振光;南極（η=-π/4）表示左旋圓偏振光。

③ 北半球上的每一點表示右旋橢圓偏振光;南半球上的每一點表示左旋橢圓偏振光;橢圓相應的方位角和橢率角分別為該點經度和緯度值的一半;因此，θ為常數的所有點表示所有方位角相同而橢率角不同的橢圓偏振光;η為常數的所有點表示所有橢率角相同而方位角不同的橢圓偏振光。

④ 相對球心對稱的兩點，即球直徑的兩端，對應的偏振光是正交偏振光。

3)自然光、部分偏振光與邦加球表示法

除能表示完全偏振光外，斯托克斯矢量還能表示部分偏振光及自然光。對部分偏振光，可以證明，有下面不等式成立，即

部分偏振光S可理解為自然光Sun與完全偏振光Spo的疊加，即

或者

這里

對于完全偏振光Spo，它的斯托克斯參量與偏振橢圓的方位角θ、橢率角η之間滿足

完全偏振光可以由邦加球面上的一點表示，這里邦加球的半徑為，經度和緯度分別為2θ、2η。

定義部分偏振光的一個重要參量偏振度P為

于是，部分偏振光的斯托克斯矢量可表示為

若將總光強歸一化，即令s0=1，此時邦加球為單位球。偏振態由P、θ、η決定，不難發現:

① 在邦加球球心處，P=0，表示自然光;

② 在邦加球球面上，P=1，表示完全偏振光;

③ 在邦加球內任意一點，0<P<1，表示部分偏振光;

④ 在邦加球外的點，P>1，沒有物理意義。