1.4 計算機中的數制和編碼基礎

計算機的工作過程就是對數據進行處理。計算機是一個典型的數字化設備，它只能識別0和1，所有的計算機都是以二進制數的形式進行算術運算和邏輯操作的。

1.4.1 計算機中的數制及轉換

1．計算機中的數制

計算機最早是作為一種計算工具出現的，所以最基本的功能是對數進行加工和處理。數在機器中是以器件的物理狀態來表示的。一個具有兩種不同的穩定狀態且能相互轉換的器件可以用來表示1位（bit）二進制數。二進制數有運算簡單、便于物理實現、節省設備等優點，所以目前在計算機中的數幾乎全部采用二進制表示。但是二進制數書寫起來太長，且不便于閱讀和記憶，又加上目前大部分微型計算機是8位、16位或32位的，都是4的整數倍，而4位二進制數即是1位十六進制數，所以微型計算機中的二進制數都采用十六進制數來表示，日常生活中我們主要使用十進制數。因此在使用微型計算機時常用的計數制有二進制數、十六進制數、十進制數3種。

（1）十進制數（Decimal）

以10為基數的計數制稱為十進制計數制。十進制數有如下兩個特點：

① 有0～9共10個不同的數碼。

② 在加法中采用逢10進1的原則。

人們在實際生活中常用的是十進制數。

（2）二進制數（Binary）

以2為基數的計數制稱為二進制計數制。二進制數有如下兩個特點：

① 有0、1共2個不同的數碼。

② 在加法中采用逢2進1的原則。

計算機中使用的是二進制數。

（3）十六進制數（Hexadecimal）

十六進制是人們學習和研究計算機中二進制數的一種工具，它是隨著計算機的發展而廣泛應用的。十六進制數有如下三個特點：

① 有0～9、A、B、C、D、E、F共16個不同的數碼。

② 在加法中采用逢16進1的原則。

③ 在書寫一個十六進制數時，如果該數據的高位為A～F，則在高位的前面加“0”，如0AH、0EFH、0FEABH、0CB98H等。

十進制數、二進制數和十六進制數之間的關系如表1-4所示。

為了區別十進制數、二進制數及十六進制數三種數制，可以在數的后面加1個字母。規定B（binary）表示二進制數，D（decimal）表示十進制數，H（hexadecimal）表示十六進制數，其中十進制數后面的字母D可以省略。

2．各種數制之間的轉換

人們習慣的是十進制，計算機采用的是二進制，而二進制的表示多采用十六進制，因此必須掌握數制的轉換問題。

（1）二進制數和十六進制數間的相互轉換

根據表1-4所示的對應關系即可實現它們之間的轉換。

二進制整數轉換為十六進制數，其方法是從右（最低位）向左將二進制數分組：每4位為1組，最后一組若不足4位則在其左邊添加0，每組用1位十六進制數表示。如：

1111111000111B=1FC7H

十六進制數轉換為二進制數，只需用4位二進制數代替1位十六進制數即可。如：

3AB9H=0011101010111001B

（2）十六進制數和十進制數間的相互轉換

十六進制數轉換為十進制數十分簡單，只需將十六進制數按權展開即可。如：

十進制整數轉換為十六進制數可用除16取余數法，即用16不斷地去除待轉換的十進制數，直到商等于零為止。將所得的各次余數，依倒序排列，即可得到所轉換的十六進制數。例如，將38947轉換為十六進制數，即38947=9823H。其方法及算式如圖1-15所示。

一個十進制小數轉換成十六進制小數時，可采用乘16取整的方法進行。例如，將十進制數0.7875轉換為十六進制數，轉換結果為0.7875D=0.C99H。其方法和算式如圖1-16所示。

注意小數轉換不一定能算盡，只需算到一定精度的位數即可，因此可能會產生一些誤差，但當位數較多時，這個誤差就很小了。

如果一個十進制數既有整數部分又有小數部分，可將整數部分和小數部分分別進行十六進制數的等值轉換，然后合并即可得到結果。

1.4.2 帶符號數的表示

1．機器數與真值

計算機在處理實際問題時所遇到的數據通常是帶符號數。在計算機中，對于帶符號數來說，一般用最高位表示數的正、負。對于正數，最高位規定為“0”，對于負數，最高位規定為“1”，例如：

56H可以表示01010110B（對于8位二進制數來說，D7位表示數的正負，D6～D0表示數的絕對值），-56H可以表示11010110B。

0256H可以表示0000 001001010110B（對于16位二進制數來說，D15位表示數的正負，D14～D0表示數的絕對值），-0256H可以表示1000 001001010110B。

在計算機中，用二進制數表示有符號數，用最高位表示符號，其余的為數值位，這樣一組連同符號也編碼化的二進制數稱為機器數，機器數所代表的數值大小稱為機器數的真值。

【例1-2】 寫出X1=+42，X2=-42，X3=+91，X4=-91的真值和機器數。

設機器的字長為8位，則有：

[X1]真=+101010B=+42，X1的機器數為00101010B。

[X2]真=-101010B=-42，X2的機器數為10101010B。

[X3]真=+1011011B=+91，X3的機器數為01011011B。

[X4]真=-1011011B=-91，X4的機器數為11011011B。

2．機器數的原碼、反碼、補碼

數據在計算機內采用符號數字化處理后，機器可表示并識別帶符號的數據。為了改進運算方法、簡化控制電路，人們研究出多種有符號數的編碼形式，最常用的有三種方法，即原碼、反碼、補碼表示法。

數X的原碼記為[X]原，反碼記為[X]反，補碼記為[X]補。

（1）原碼表示法

對于帶符號數來說，用最高位表示數的正負，其余各位表示數的絕對值，這種表示方法稱為原碼表示法，即僅將符號位數字化表示為0或1，數的絕對值與符號一起編碼，或者稱為“符號-絕對值”的編碼。

原碼表示的特點如下：

① 最高位為符號位，正數為0，負數為1。

② 8位二進制原碼表示數的范圍是-127～+127，十六位二進制原碼表示數的范圍是-32767～+32767。

③ 0的原碼有兩種表示方法，即+0和-0，設字長為8位：

[+0]原=00000000B

[-0]原=10000000B

采用原碼表示時，編碼簡單直觀，但也帶來一些麻煩，一是引起機器中“零”的表示不唯一，零有二義性，給機器判零帶來麻煩，必須在設計時約定好機器采用正零或負零；二是不便于進行加減運算。用原碼進行四則運算時，符號位需單獨處理，而且原碼加減運算規則復雜。例如對有符號數的加法規則為：若兩個數同號，兩數絕對值相加，結果冠以共同的符號；若兩個數異號，兩數絕對值相減，結果冠以絕對值大的數值的符號。而減法又有一套規則。故原碼表示法一般不用于加減運算。

（2）反碼表示法

正數的反碼與原碼相同，如[56H]反=[56H]原=01010110B。

負數的反碼等于原碼除符號位外，其余各位按位取反。因此，求-56H反碼的過程如下：

對應正數56H的原碼為0101 0110B；按位求反后為1010 1001B，即-56H的反碼為10101001B。

反碼的特點：

① 反碼表示法中，最高位仍為符號位，正數為0，負數為1。

② “0”有兩種表示方法：當字長是8位時，[+0]反=00000000B，[-0]反=11111111B。

③ 8位二進制反碼表示數的范圍是-127～+127，16位二進制反碼表示數的范圍是-32767～+32767。

④ 正數的反碼與原碼相同，負數的反碼符號位為1，其數值部分按位取反。

（3）補碼

在計算機內，帶符號數并不是用反碼表示的，而是用補碼表示的，引入“原碼”、“反碼”的目的只是為了方便理解“補碼”的概念而已。

不用原碼表示的原因是：用原碼表示時，“0”的原碼并不唯一，0的原碼可以表示為00000000B（即+0），也可以表示為10000000B（即-0），這會造成混亂；再就是用原碼表示時，減法并不能轉化為加法運算，反碼也存在類似的問題。在計算機中，帶符號數用補碼表示后，減法可以轉化為加法運算，例如：

① 100H是8位二進制能表示的最大數，加上100H后，對計算結果沒有影響，原因是8位二進制無法存放100H中的“1”，即D8位。

② 由于8位二進制不能存放D8位，結果133H中最高位“1”自然丟失。

顯然，56H-23H的結果與56H+0DDH的結果相同，即引入補碼后，減法可以用加法來完成。可見，在8位二進制中，23H與0DDH互為補碼。

下面以鐘表為例進一步理解補碼的問題。對一個現實生活中的鐘表來說，現在時鐘指在11時，需要調校到6時，則可以順時針撥11+7=12+6=6；也可以逆時針撥11-5=6。這里，自動丟失的循環最大值（12）稱為模，即當模是12時，11-5=12+7=6，其中7稱為-5的補碼，即

(-5)補=12-|-5|=7

依次類推，對于n位（如8位）二進制而言，其模為2n（28），則（負數）補=2n-|負數|。

補碼的定義如下：

正數的補碼與反碼、原碼相同；負數的補碼等于它的反碼加1。

例如，+23H的補碼：00100011B；-23H的補碼：-23的原碼為10100011B，-23H的反碼為11011100B；反碼加1后為11011101B，即-23H的補碼為11011101B（相當于無符號數的0DDH）。

可見，用補碼表示時，若最高位為0，表示該數為正數，數值部分就是真值；若最高位為1，則表示該數為負數，數值部分并不是它的真值，必須再求補后，才得到該數的絕對值，如上例中的-23H的補碼為11011101B，按位取反后為00100010B，加1后為00100011B，即23H。

補碼的特點：

① 補碼表示中，最高位仍為符號位，正數為0，負數為1。

② 0僅有一種表示方法，即[+0]補=[-0]補。

③ 8位二進制補碼表示數的范圍是-128～+127，16位二進制補碼表示數的范圍是-32768～+32767；對于同一個數，作為8位二進制數的補碼和作為16位二進制數的補碼不同，這一點要特別注意。

注意：對于8位二進制數10000000B，若為補碼表示為[-128]補，若為原碼表示[-0]原，若為反碼表示為[-127]反。

關于補碼，注意以下幾點：

① 在微型計算機中所有帶符號的數都是用補碼表示的。一個數據是帶符號的數還是不帶符號的數，事先是已知的。

② 當求補碼的真值時，例如8位的補碼，若最高位為0時，其余7位即為此數的二進制數值。但當最高位為1（即負數）時，需要把其余7位求反以后最低位加1，才是它的二進制數的絕對值。例如：

[X]補=10010100B

[X]真=-(1101011)=-1101100B=-108D

③ 采用補碼的目的在于可用加法運算代替減法運算，從而可以簡化硬件結構，降低成本。

【例1-3】 計算64-10=？

【解】

64-10=54，可用[X]補=[64]補-[+10]補進行減法運算。而[64]補=01000000B，[+10]補=00001010B。運算如圖1-17所示。

該運算也可寫成下式：

64-10=64+(-10)=54

可用[X]補=[64]補+[-10]補進行加法運算。其中[-10] 補=11110110B，運算如圖1-18所示。

故[X]補=00110110B。由以上運算可知，補碼相加的結果與補碼相減的結果是一致的。因此，可用補碼相加代替補碼相減的運算。

④ 補碼運算時符號位不需要單獨處理，符號位與數值部分一起參加運算，在不發生溢出的情況下，運算結果（包括符號位）是正確的。

8位二進制數用來表示有符號數、原碼、反碼和補碼，如表1-5所示。

從表1-5 可以看出，8位二進制數，無符號數表示范圍是0～255，有符號數原碼表示范圍中-127～+127，反碼表示范圍是-127～+127，補碼表示范圍是-128～+127。

3．帶符號數溢出及其判斷方法

（1）什么是溢出

在選定了運算字長和數的表示方法之后，如果運算的結果超出了計算機所能表示的數據范圍，則稱這種情況為廣義上的溢出。

從嚴格意義上講，廣義上的溢出既包括帶符號數的溢出，也包括無符號數的溢出，但下面把帶符號數的數據結果超出表示范圍稱為溢出，而把無符號數的數據結果超出表示范圍稱為進位。因為對于無符號數的加減運算，無論運算的結果是否超出數據表示范圍（在計算機字長范圍內），運算結果都是正確的。而對于帶符號數的加減運算，如果沒有溢出，則運算結果是正確的，而如果產生溢出，則運算結果是錯誤的。

對于8位字長的微處理器，其原碼、反碼和補碼表示的范圍分別為

原碼 -127～+127（0FFH～7FH）

反碼 -127～+127（80H～7FH）

補碼 -128～+127（80H～7FH）

當8位帶符號數的運算結果超過以上范圍時，就會產生溢出。

對于16位字長的微處理器，其原碼、反碼和補碼表示的范圍分別為

原碼 -32767～+32767（0FFFFH～7FFFH）

反碼 -32767～+32767（8000H～7FFFH）

補碼 -32768～+32767（8000H～7FFFH）

當16位帶符號數的運算結果超過以上范圍時，就會產生溢出。

【例1-4】 已知X=01000000B，Y=01000001B，進行補碼的加法運算。

【解】

[X]補=01000000B=+64

[Y]補=01000001B=+65

[X]補+ [Y]補=10000001B=-127

兩個正數相加，其結果應該是+129，但運算結果為-127，這顯然是錯誤的，其原因在于和數+129 > +127，超出了8位補碼所能表示的最大值，使數值部分占據了符號位的位置，產生了溢出錯誤。

（2）判斷溢出的方法

溢出只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。利用雙進位方法判斷有無溢出是一種常用的方法，其規則如下：在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減時，如果次高位向最高位有進位（或借位），而最高位向前無進位（或借位），則結果發生溢出；反之，如果次高位向最高位無進位（或借位），而最高位向前有進位（或借位），則結果也發生溢出。

這種方法是利用最高位和次高位的進位/借位狀態進行“異或”來判斷的。對8位二進制數來說，如果溢出記為OF，最高位和次高位的進位/借位狀態分別記為C7和C6，則OF=C7⊕C6，當OF=1時表示有溢出，當OF=0時表示無溢出。

在微機中，可用多字節表示更大的數，避免產生溢出錯誤。

1.4.3 定點數和浮點數

計算機中運算的數有整數，也有小數。通常有兩種規定：一種是規定小數點的位置固定不變，這時的機器數稱為定點數；另一種是小數點的位置可以浮動，這時的機器數稱為浮點數。微型計算機中常使用定點數。

1．定點數

所謂定點法，是指小數點在數中的位置是固定不變的，以定點法表示的實數稱為定點數。根據小數點位置的固定方法不同，又可分為定點整數和定點小數表示法。前面介紹的整數均為定點整數，可以認為小數點固定在數的最低位之后。

如果小數點隱含固定在整個數值的最右端，符號位右邊所有的位數表示的是一個整數，即為定點整數。例如，對于16位機，如果符號位占一位，數值部分占15位，于是機器數0111111111111111 的等效十進制數為+32767，其符號位、數值部分、小數點的位置示意如圖1-19所示。

如果小數點隱含固定在數值的某一位置上，即為定點小數。

如果小數點固定在符號位之后，即為純小數。假設機器字長為16位，符號位占一位，數值部分占15位，于是機器數1000000000000001的等效十進制數為-2-15，其符號位、數值部分、小數點的位置示意圖如圖1-20所示。

2．浮點數

所謂浮點數，是指計算機中數的小數點位置不是固定的，或者說是“浮動”的。在計算機中，浮點數法一般用來表示實數，可以采用“階碼表示法”來表示浮點數，它由整數部分和小數部分組成，一個實數可以表示成一個純小數和一個乘冪之積。

采用浮點數最大的特點是，比定點數表示的范圍大。

例如，對于十進制數56.725=102×0.56725；對于二進制數110.11=22×1.1011。

對于任何一個二進制數N，都可以表示為

N=(2±E)×(±S)

浮點數在計算機中的編碼基本格式如圖1-21所示。

其中，E稱為階碼，階碼為0表示E為正，為1表示E為負。由此可見，小數點的實際位置隨著階碼E的大小和符號而浮動決定；±S為全部有效數據，稱為尾數部分。

例如，1001.011=20100×(0.1001011)。此處，0100部分稱為階碼且為正，(0.1001011)部分稱為尾數。

浮點數的格式多種多樣。例如，某計算機用4個字節表示浮點數，階碼部分為8位補碼定點整數，尾數部分為24位補碼定點小數，如圖1-22所示。

【例1-5】 描述用4個字節存放十進制浮點數“136.5”的浮點格式。

【解】 由于(136.5)10=(10001000.1)2，將二進制數“10001000.1”進行規格化，即

10001000.1=0.100010001×28

階碼28表示階符為“+”，階碼為“8”的二進制數為“0001000”；尾數中的數符為“+”。小數值為“100010001”。

十進制小數“136.5”在計算機中的表示如圖1-23所示。

在實際應用時，由于階碼指數可使用不同的編碼（原碼、補碼等），尾數的格式和小數點的位置也可以有不同的規定，所以浮點數的表示方法不唯一，不同的計算機可以有不同的規定。

1.4.4 計算機中常用的編碼

計算機除了用于數值計算外，還要進行大量的文字信息處理，也就是要對表達各種文字信息的符號進行加工。例如計算機和外設如鍵盤、（字符）顯示器、打印機之間的通信都采用字符方式輸入/輸出。目前計算機中最常用的兩種編碼是美國信息交換標準代碼（ASCII碼）和二-十進制編碼（BCD碼）。

1．美國信息交換標準代碼（ASCII碼）

ASCII（American Standard Code for Information-Interchange）碼是美國信息交換標準代碼的簡稱，主要給西文字符進行編碼。它采用7位二進制數表示一個字符，包括32 個標點符號，10個阿拉伯數字，52個英文大小寫字母，34個控制符號，共128個。編碼與字符之間的對應關系如附錄A所示。

在計算機系統中，存儲單元的長度通常為8位二進制數（即一個字節），為了存取方便，規定一個存儲單元存放一個ASCⅡ碼，其中低7位表示字母本身的編碼，第8位（即bit7）用做奇偶校驗位或規定為零（通常如此）。因此，也可以認為ASCII碼的長度為8位。

奇偶校驗的主要目的是用于在數據傳輸過程中，檢測接收方的數據是否正確。收發雙方預約為何種校驗，接收方收到數據后檢驗1的個數，判斷是否與預約的校驗相符，倘若不符，則說明傳輸出錯，可請求重新發送。奇校驗時，bit7的取值應使得8位ASCII碼中1的個數為奇數；偶校驗時，bit7的取值應使得ASCII碼中1的個數是偶數。例如：

“8”的奇校驗ASCII碼為00111000B，偶校驗ASCII碼為10111000B。

“B”的奇校驗ASCII碼為11000010B，偶校驗ASCII碼為01000010B。

2．BCD碼（二進制編碼的十進制數）

十進制畢竟是人們最習慣的計數方式，在向計算機輸入數據時，常用十進制數輸入，但計算機只識別二進制數，因此每1位十進制必須用二進制數表示。1位十進制數包含0～9十個數碼，必須用4位二進制數表示，這樣就需要確定0～9與4位二進制數0000B～1111B之間的對應關系，其中較常用的8421BCD碼規定了十進制數0～9與4位二進制數編碼之間的對應關系，見表1-6。

例如，4567.89的BCD碼為0100010101100111.10001001（每1位十進位數用相應的4位二進制數表示即可）。BCD碼的一個優點就是10個BCD碼組合格式容易記憶。一旦熟悉了4位二進制數的表示，對BCD碼就可以像十進制數一樣迅速自如地讀出。同樣，也可以很快地得出以BCD碼表示的十進制數。例如，將1 個BCD數轉換成相應的十進制數：

(011101101001.100100110101)BCD=769.935

BCD碼采用4位編碼，4位一組表示1位十進制數，分別表示十進制數的個位、十位、百位等，低4位對高4位的進位為“逢十進一”。它不是二進制數，而是按4位二進制數的展開值和按4位一組解釋為十進制數。BCD碼和二進制數之間的轉換不能直接實現，二進制數轉換為BCD碼時，必須先將其轉換為十進制數。例如，要將二進制數1101.1B轉換為BCD碼，首先需要將二進制數按權展開，轉換為十進制數，再轉換為BCD碼：

1101.1B=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1=13.5

13.5=(00010011.0101)BCD

同樣，要將BCD碼轉換為二進制數，首先要把BCD碼轉換為十進制數，然后再轉換為二進制數。

BCD編碼可以簡化人機關系，但它比純二進制編碼的效率低。對同一個給定的十進制數，用BCD編碼表示的位數比用純二進制表示的位數要多。而每位數都需要某些數字電路與之對應，這就使得與BCD碼連接的附加電路成本提高，設備的復雜性增加，功耗較大。用BCD碼進行運算所花的時間比用純二進制碼進行運算所花的時間要多，而且復雜。

計算機中存儲BCD碼的形式有兩種：壓縮BCD碼和非壓縮BCD碼。

（1）壓縮BCD碼

壓縮BCD碼用4位二進制數表示1位十進制數，一個字節可以表示2位十進制數。例如10010111B表示十進制數97。

（2）非壓縮BCD碼

非壓縮BCD碼用8位二進制數表示1位十進制數，高4位總為0000，低4位的0000～1001表示0～9。例如00001001B表示十進制數9。

盡管BCD碼比較直觀，但BCD碼與二進制數之間的轉換并不方便，需要轉換成十進數后，才能轉換為二進制數，反之亦然。

前面介紹了在使用計算機時二進制數、十進制數、十六進制數、ASCII碼、BCD碼以及帶符號數的表示等問題，這里要注意微型計算機能處理的數據只有二進制數，計算機并不認識什么正數、負數、BCD碼、ASCII碼等，計算機中數的表現形式只有二進制數，其他的數制和性質需要人們來進行分析與說明。如在某存儲器中存放一個二進制數11111111B（0FFH），這個數多大？這要看人們如何看了，如果是一個無符號數，就是255；如果是一個有符號數，就是-1；如果是個BCD碼，就是一個無效的數；如果是個ASCII碼，就代表“DEL”鍵的ASCII碼值。