2.3 狀態轉移矩陣的性質及其計算方法

2.3.1 線性定常系統狀態轉移矩陣的運算性質

1.

證明

這一性質表明，Φ（t）=eAt滿足齊次狀態方程=Ax，且AΦ（t）與Φ（t）A滿足交換律。事實上，Φ（t）=e At是非奇異矩陣（證明見性質4），從式（2-13）可見，齊次狀態方程對應初始狀態x（0）的解x（t）為Φ（t）=eAt的n個線性無關列向量的線性組合。因此，Φ（t）=eAt的n個線性無關列向量構成齊次狀態方程的基本解組，其僅與系統矩陣A有關，而與輸入、輸出無關，這與標量微分方程解的結構理論本質一致。鑒于此，Φ（t）=eAt也稱為=Ax的基本解矩陣。

2.Φ（0）=I

這一性質可由的定義式中令t=0得證。結合性質1，有。

3.Φ（t）Φ（τ）=Φ（t+τ）

證明

由二項式定理，有

故

這一性質表明，狀態轉移矩陣具有分解性。由此分解性，易推知，若n為整數，則Φ（nt）=（Φ（t））n。

4.（Φ（t））-1=Φ（-t）

證明 由狀態轉移矩陣的分解性，有

Φ（t）Φ（-t）=Φ（t-t）=Φ（0）=eA·0=I

Φ（-t）Φ（t）=Φ（-t+t）=Φ（0）=eA·0=I

又由逆矩陣定義得

（Φ（t））-1=Φ（-t）或（Φ（-t））-1=Φ（t）

這一性質表明，狀態轉移矩陣非奇異，系統狀態的轉移是雙向、可逆的。t時刻的狀態x（t）由初始狀態x（0）在時間t內通過狀態轉移矩陣Φ（t）轉移而來，即x（t）=Φ（t）x（0）；則x（0）可由x（t）通過Φ（t）的逆轉移而來，即x（0）=（Φ（t））-1x（t）。

5.Φ（t2-t1）Φ（t1-t0）=Φ（t2-t0），t0＜t1＜t2

證明 由狀態轉移矩陣的分解性，有

這一性質表明，系統狀態的轉移具有傳遞性，t0至t2的狀態轉移等于t0至t1、t1至t2分段轉移的累積。

以上性質均與標量指數函數eat的基本性質相似，但一般有

eAteBt≠e（A+B）t

請讀者證明：只有當A與B為可交換矩陣，即AB=BA時，才有

eAteBt=e（A+B）t

2.3.2 線性定常系統狀態轉移矩陣的計算方法

1.級數展開法

直接根據矩陣指數的定義式計算，即

級數展開法具有編程簡單、適合于計算機數值求解的優點，但若采用手工計算，因需對無窮級數求和，難以獲得解析表達式。

2.拉普拉斯變換法

設t0=0，對式（2-1）兩邊取拉普拉斯變換得

sx（s）-x（0）=Ax（s）

（sI-A）x（s）=x（0）

x（s）=（sI-A）-1x（0）

取拉普拉斯反變換得，t0=0時，式（2-1）的解為

與式（2-13）對比，得

事實上

故（sI-A）的逆一定存在，即

則

因此，式（2-16）給出了求解e At閉合形式的一種簡便方法，只要預先算出“預解矩陣”[（sI-A）-1]，然后對“預解矩陣”進行拉普拉斯反變換即求得eAt。

3.利用特征值標準型及相似變換計算

（1）若n階方陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn，且互異

設對應的模態矩陣為

式中，列向量Vi為對應于特征值λi的特征向量，即AVi=λiVi，且有

則

證明 因為 所以

又V-1AV=

=Λ，其中，Λ為方陣A對應的對角線標準型。

V-1A2V=V-1AAV=V-1AIAV=V-1AVV-1AV=（V-1AV）（V-1AV）=Λ2

推廣得

將式（2-20）代入式（2-19）得

則

故式（2-18）得證。

由式（2-18）及以上證明過程，可得如下結論：

①對方陣A進行相似變換所得相似矩陣PAP-1的矩陣指數等于對A的矩陣指數作相同的相似變換，即

②若n階方陣A的特征值λi（i=1，2，…，n）互異，則其矩陣指數eAt的n個特征值分別為eλit，i=1，2，…，n，且eAt與A具有相同的模態矩陣V。

（2）若n階方陣A有重特征值時

當A有重特征值時，只有在A有n個線性無關的特征向量即諸重特征值的幾何重數等于其代數重數的條件下，A才能經相似變換化為對角線標準型Λ；否則，存在非奇異變換陣P，使相似變換后的矩陣P-1AP為約當（Jordan）標準型J，即

僅考慮諸重特征值的幾何重數均為1的特殊情況，則

式中，Ji（i=1，2，…，l）為形如式（2-25）所示的mi維約當塊，即

式（2-25）中的λi（i=1，2，…，l）為方陣A的m i重特征值，其幾何重數αi=n-rank（λiI-A）=1，且

若m i=1，則Ji=λi，為約當塊的特例。對應于式（2-23），由式（2-22），有

式中，mi維子矩陣（i=1，2，…，l）為式（2-25）所示約當塊Ji的矩陣指數，根據矩陣指數的定義式，可證明為式（2-27）所示的上三角形矩陣，即

4.化為A的有限項多項式計算eAt

（1）凱萊-哈密頓（Cayley-Hamilton）定理

n階方陣A滿足其特征方程，即設n階方陣A的特征方程為

f（λ）=|λI-A|=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0

則

f（A）=An+an-1An-1+…+a1A+a0I=0

凱萊-哈密頓定理是矩陣論的重要定理，基于該定理可將eAt的無窮級數定義式簡化為有限項多項式計算，從而適合求eAt的解析形式。有關該定理的證明可參閱矩陣理論的有關著作。

（2）待定系數法計算eAt

根據凱萊-哈密頓定理，對n階方陣A，當k≥n時，Ak可用A的（n-1）次多項式表示，即在eAt的無窮級數定義式中，僅有A0=I，A，…，An-1是獨立的，而所有k≥n的A k均可表示為I，A，…，An-1的線性組合，故eAt可用A的（n-1）次多項式表示，即

式中，α0，…，αn-1為待定的一組關于t的標量函數，其求解需要先計算A的特征值。

①若n階方陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn，且互異，則采用式（2-17）的模態矩陣V對式（2-28）作相似變換，得

由式（2-20）、式（2-22），式（2-29）化簡為

將式（2-30）展開，得

式（2-31）為關于α0，…，αn-1的n個獨立方程，解之，得

②若n階方陣A有重特征值，這時由式（2-31）構成的關于α0，…，αn-1的獨立方程數將小于n，必須補充新的方程。不失一般性，設A有一個m重的特征值λ0，其余n-m個特征值λ1，λ2，…，λn-m為單特征值，則由式（2-31）構成的關于α0，…，αn-1的獨立方程數為n-m+1個，即

這時可對下式

eλt=α0（t）+α1（t）λ+α2（t）λ2+…+αn-1（t）λn-1

兩邊在λ=λ0處從一階到m-1階逐階求導（m-1）次，以補充（m-1）個獨立方程，即

聯立求解式（2-33）及式（2-34），可求得待定的標量函數α0，…，αn-1。特別地，若n階方陣A的特征值λ0為n重，則α0，…，αn-1的解為

【例2-1】 已知A

求eAt。

解

方法一 運用級數展開法求解

方法二 運用拉普拉斯變換法求解

方法三 利用特征值標準型及相似變換求解

A為友矩陣的轉置，可直接列出其特征方程

|λI-A|=λ2+4λ+3=0

特征值λ1=-1，λ2=-3，可求得其對應的特征向量分別為

則

即有

方法四 待定系數法計算

eAt=α0（t）I+α1（t）A

式中

則

【例2-2】 已知A=

分別應用特征值標準型及相似變換、待定系數法求eAt。

解 矩陣A的特征方程

特征值λ1=2，λ2=1（2重），2重特征值λ2=1的幾何重數α2=n-rank（λ2I-A）=3-2=1。

方法一 應用特征值標準型及相似變換計算

2重特征值λ2的幾何重數α2=1，故其對應的獨立特征向量個數為1個，A只有兩個線性無關的特征向量，只能與約當陣相似，易求得相似變換矩陣

則

方法二 應用待定系數法求解

eAt=α0（t）I+α1（t）A+α2（t）A2

因為λ1=2，λ2=1（2重），由式（2-31）僅構成兩個關于α0，α1，α2的獨立方程，即

需對下式

eλt=α0（t）+α1（t）λ+α2（t）λ2

兩邊在λ=λ2處求一階導數，以補充一個獨立方程，即

teλ2t=α1（t）+2α2（t）λ2

聯立求解，得

則

【例2-3】 已知A=

分別應用特征值標準型及相似變換、待定系數法求eAt。

解 矩陣A的特征方程

特征值λ1=2，λ2=4（2重），2重特征值λ2=4的幾何重數α2=n-rank（λ2I-A）=3-1=2。

方法一 應用特征值標準型及相似變換計算

2重特征值λ2的幾何重數α2=2，故其獨立特征向量個數為2個，則A有3個線性無關的特征向量，其能與對角陣相似。易求得相似變換矩陣

則

方法二 應用待定系數法求解

與例2-2方法二求解步驟相同，可得

則

【例2-4】 已知線性定常系統=Ax的狀態轉移矩陣

求系統矩陣A。

解

方法一 由線性定常系統狀態轉移矩陣的運算性質：

方法二 由線性定常系統狀態轉移矩陣的運算性質：

【例2-5】 線性定常系統齊次狀態方程為，其中A為2×2維的常數陣。已知當

時，狀態方程的解

當

時，狀態方程的解

求系統狀態轉移矩陣Φ（t）及系統矩陣A。

解 對應初始狀態x（0），自由運動的解為：x（t）=Φ（t）x（0）。由題意得

即

則