2.2 線性定常齊次狀態方程的解

線性定常系統在輸入u為零時，由初始狀態引起的運動稱為自由運動，其可用式（2-1）所示的齊次狀態方程描述，即

式中，x為線性定常系統的n維狀態向量；x（t0）為n維狀態向量在初始時刻t=t0的初值；A為線性定常系統的n×n維系統矩陣。

式（2-1）的解x（t）（其中t≥t0）稱為自由運動的解或零輸入響應。若矩陣A僅為一階，即A=a（a為常數），則向量-矩陣微分方程式（2-1）變為式（2-2）所示的標量微分方程，即

式（2-2）為一階線性齊次常微分方程，由高等數學常微分方程求解理論，其滿足初始條件的解為

式（2-3）中的指數函數可展為泰勒級數

仿照標量微分方程的解，設式（2-1）的解為式（2-5）所示的向量冪級數，即

將式（2-5）代入式（2-1），得

若所設解為真實解，則式（2-6）兩邊同冪次項系數應相等，即

將初始條件代入式（2-5），得b0=x（t0），則式（2-1）的解為

式中，I為n階單位矩陣。仿照式（2-4）中標量指數函數的無窮級數定義，定義式（2-8）括號中的n階矩陣無窮級數為矩陣指數，即

式中，規定A0=I。

則式（2-1）的解可用系統矩陣A的矩陣指數表達為

式（2-10）表明，線性定常系統在無輸入作用即u（t）≡0時，任一時刻t的狀態x（t）是由起始時刻t0的初始狀態x（t0）在t-t0時間內通過矩陣指數演化而來的。鑒于此，將矩陣指數稱為狀態轉移矩陣，并記為

狀態轉移矩陣是現代控制理論最重要概念之一，由此可將齊次狀態方程的解表達為統一形式，即

式（2-12）的物理意義是：自由運動的解僅是初始狀態的轉移，狀態轉移矩陣包含系統自由運動的全部信息，其唯一決定了系統中各狀態變量的自由運動。對線性定常系統而言，在某一確定時刻，其狀態轉移矩陣為n階常數矩陣，式（2-12）所表達的x（t0）與x（t）之間的轉移關系在數學上可視為n維向量中的一種以狀態轉移矩陣為變換陣的線性變換。

以上分析均設初始時刻t0≠0。若t0=0，則對應初始狀態為x（0），自由運動的解為

為了表達簡便，以下的討論若不作說明，均設初始時刻t0=0。