1.5 MATLAB在系統數學模型變換中的應用

本節主要介紹基于MATLAB的線性定常系統（LTI）建模分析的常用命令函數。

1.5.1 系統的模型

1.傳遞函數模型

設單輸入單輸出（SISO）連續系統的傳遞函數為

在MATLAB中，可用傳遞函數分子、分母多項式按s的降冪系數排列的行向量，即

num=[b1，b2，…，bn-1，bn]

den=[a0，a1，…，an-1，an]

描述式（1-211）所示傳遞函數G（s）的多項式模型。而由命令函數tf（）則可建立系統的傳遞函數模型TF，其調用格式為

sys=tf（num，den）

其中，num、den分別是傳遞函數分子、分母多項式系數行向量，且系數均按s的降冪排列。

【例1-24】 已知系統傳遞函數為

則可以利用程序MATLAB Program 1＿1將上述系統模型表示出來，并將其建立在MATLAB的工作空間（Workspace）中。

%MATLABProgram1＿1
num=[29]；                 %G（s）分子多項式按s的降冪系數排列的行向量
den=[1 3 2 4 6]；          %G（s）分母多項式按s的降冪系數排列的行向量
G=tf（num，den）           %建立傳遞函數模型，存放于G

執行MATLAB Program 1＿1后得到

Transfer function：
              2s+9
-----------------------
s∧4+3s∧3+2s∧2+4s+6

對SISO線性定常離散系統，其脈沖傳遞函數一般可表示為關于z的降冪多項式分式形式，即

在MATLAB中，對于式（1-212）所示離散系統，同樣可用tf（）命令建立其脈沖傳遞函數模型，調用格式為

nu m=[cm，cm-1，…，c1，c0]；

den=[an，an-1，…，a1，a0]；

sys=tf（num，den，Ts）

其中，Ts為系統采樣周期。

另外，系統的傳遞函數還可表示成零極點形式，即

在MATLAB中，可用傳遞函數的零點向量、極點向量及增益，即

描述式（1-213）所示傳遞函數G（s）的零極點模型。而由命令函數zpk（）則可建立零極點模型ZPK，其調用格式為

sys=zpk（z，p，k）

2.狀態空間模型

r維輸入、m維輸出的MIM O線性定常系統的狀態空間表達式為

式中，x，y、u分別為n×1、m×1、r×1維的列向量，A、B、C、D分別為n×n、n×r、m×n，m×r維的常數矩陣。

在MATLAB中，只要按照矩陣輸入方式建立式（1-214）系統相應的系數矩陣，即

A=[a11，a12，…，a1 n；a21，a22，…，a2 n；…；an 1，an 2，…，an n]

B=[b11，b12，…，b1 r；b21，b22，…，b2 r；…；bn 1，bn 2，…，bn r]

C=[c11，c12，…，c1 n；c21，c22，…，c2 n；…；cm 1，cm 2，…，cm n]

D=[d11，d12，…，d1r；d21，d22，…，d2r；…；dm 1，dm 2，…，dmr]

即可描述式（1-214）系統的狀態空間模型。而由命令函數ss（）則可建立系統的狀態空間模型SS，其調用格式為

sys=ss（A，B，C，D）

對線性定常離散系統

在按常數矩陣輸入方式建立系數矩陣G，H，C，D后，同樣調用

sys=ss（G，H，C，D，Ts）

則可建立式（1-215）離散系統的狀態空間模型。其中，Ts為系統采樣周期。

3.組合系統模型

MATLAB提供了兩個子系統G1、G2并聯連接系統函數parallel（）、串聯連接系統函數series（）及反饋連接系統函數feedback（），由此可計算相應組合系統的模型，其調用格式分別為

sys=parallel（G1，G2）

sys=series（G1，G2）

sys=feedback（G1，G2）

其中，G1、G2為子系統1、子系統2已建立的模型，其可均為傳遞函數模型TF，也可均為狀態空間模型SS。

1.5.2 系統模型的轉換

1.狀態空間表達式向傳遞函數形式的轉換

MATLAB提供了模型轉換函數，可以完成系統數學模型的相互轉換，利用ss2tf（）函數可由系統狀態空間表達式求其傳遞函數（陣）。對SISO系統，ss2tf（）的調用格式為

[num，den]=ss2tf（A，B，C，D）

執行以上語句，可實現將描述為（A，B，C，D）的系統狀態空間模型中各系數矩陣轉換為傳遞函數模型中分子、分母多項式系數行向量num、den。對多輸入系統，ss2tf（）的調用格式為

[num，den]=ss2tf（A，B，C，D，iu）

其中，iu用于指定變換所使用的輸入量，iu默認則為單輸入情況。

【例1-25】 已知系統狀態空間表達式為

試應用MATLAB求取系統的傳遞函數陣。

解 該系統為雙輸入單輸出系統，因此其傳遞函數陣G（s）為1×2維向量，即

其中，G1（s）、G2（s）分別為輸出量y與輸入量u1、u2之間的傳遞函數。利用ss2tf（）函數可以進行指定輸入的狀態方程向傳遞函數的轉換。MATLAB Program 1＿2為求解本題的程序。

G（s）=[G1（s）G2（s）]

%MATLABProgram 1＿2
A=[2.25-5-1.25-0.5；2.25-4.25-1.25-0.25；
   0.25-0.5-1.25-1；1.25-1.75-0.25-0.75]；
B=[46；24；22；02]；
C=[0202]；
D=[00]；
[num1，den1]=ss2tf（A，B，C，D，1） %指定第一輸入信號u1
所對應的轉換
G1=tf（num1，den1）
[num2，den2]=ss2tf（A，B，C，D，2） %指定第二輸入信號u2
所對應的轉換
G2=tf（num2，den2）

程序MATLAB Program 1＿2的運行結果為

num1=
        0  4.0000  14.0000  22.0000  15.0000
den1=
        1.0000  4.0000  6.2500  5.2500  2.2500
Transfer function：
              4s∧3+14s∧2+22s+15
        -----------------------------
        s∧4+4s∧3+6.25s∧2+5.25s+2.25
num2=
        0  12.0000  32.0000  37.0000  17.0000
den2=
        1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500
Transfer function：
              12s∧3+32s∧2+37s+17
        -----------------------------
        s∧4+4s∧3+6.25s∧2+5.25s+2.25

由此得系統的傳遞函數陣為

與ss2tf（）類似，應用MATLAB函數ss2zp（）可由系統狀態空間表達式求其零極點模型的參數（z，p，k）。對SISO系統，ss2zp（）的調用格式為

[z，p，k]=ss2zp（A，B，C，D）

而對多輸入系統，其調用格式為

[z，p，k]=ss2zp（A，B，C，D，iu）

2.傳遞函數到狀態空間表達式的變換

利用MATLAB函數tf2ss（）、zp2ss（）可分別由多項式形式、零極點形式的傳遞函數求其狀態空間模型中的各系數矩陣。其調用格式分別為

[A，B，C，D]=tf2ss（num，den）

[A，B，C，D]=zp2ss（z，p，k）

上面兩條語句分別由已知的（num，den）、（z，p，k）經模型轉換返回狀態空間表達式中各系數矩陣（A，B，C，D）。

【例1-26】 已知系統傳遞函數為

應用MATLAB的模型轉換函數求狀態空間模型的系數矩陣。

解 MATLAB Program 1＿3為求解本題的程序。

%MATLABProgram1＿3
num=[18，36]；
den=[140.4391150]；
[A，B，C，D]=tf2ss（num，den）

程序MATLAB Program 1＿3的運行結果為

A=
        -40.4000-391.0000  -150.0000
        1.0000          0         0
              0      1.0000         0
B=
        1
        0
        0
C=
        0   18   36
D=
        0

應該指出，函數ss（）不僅可用于建立系統的狀態空間模型SS，而且可將任意LTI系統模型sys（傳遞函數模型TF、零極點模型ZPK）轉換為狀態空間模型SS，其調用格式為

SYS=ss（sys）

事實上，MATLAB中建立LTI系統3種模型的3個函數tf（）、zpk（）及ss（）均可用類似的調用格式實現由一種模型到另一種模型的轉換。

1.5.3 系統的線性非奇異變換與標準型狀態空間表達式

1.系統的線性非奇異變換

MATLAB中函數ss2ss（）可實現對系統的線性非奇異變換。其調用格式為

GT=ss2ss（G，T）

其中，G、GT分別為變換前、后系統的狀態空間模型，T為線性非奇異變換陣。或為

[At，Bt，Ct，Dt]=ss2 ss（A，B，C，D，T）

其中，（A，B，C，D）、（At，Bt，Ct，Dt）=（TAT-1，TB，CT-1，D）分別為變換前、后系統的狀態空間模型的系數陣，T為線性非奇異變換陣。

【例1-27】 已知系統狀態空間表達式的系數陣為

A=

，

B=

，

C=[0.5-0.4375 0.4375]，D=0

試應用ss2ss（）函數進行系統的線性非奇異變換。

解 變換陣T只要保證其非奇異即可，在此選擇單位反對角陣作為變換陣。MATLAB Program 1＿4為求解本題的程序。

%MATLABProgram 1＿4
A=[10-42；800；020]；
B=[2；0；0]；
C=[0.5 -0.4375 0.4375]；
D=0；
G1=ss（A，B，C，D）；     %建立變換前原狀態空間模型G1
T=fliplr（eye（3））；    %構造線性非奇異變換陣T為單位反對角陣
GT=ss2ss（G1，T）         %獲得變換后狀態空間模型GT

程序MATLAB Program 1＿4運行結果略。

MATLAB沒有提供將一般狀態空間表達式化為約當標準型的函數，但可先利用其計算約當標準型函數jordan（）求出化約當標準型的變換陣，再利用函數ss2ss（）得約當標準型。jordan（）的調用格式為

[T，J]=jordan（A）

執行以上語句，可得到化A為約當標準型J的變換陣T，即J=T-1AT，T由A的線性獨立特征向量、廣義特征向量為列向量構成。

【例1-28】 應用MATLAB求解例1-11。

解 MATLAB Program 1＿5為求解本題的程序。

%MATLABProgram 1＿5
A=[010；001；230]；
B=[0；0；1]；
C=[100]；
D=0；
G=ss（A，B，C，D）；     %建立變換前狀態空間模型
[T，J]=jordan（A）；     %求化A為約當標準型的變換陣T及約當陣J
GT=ss2ss（G，inv（T））  %狀態空間模型變換，變換陣為T-1

程序MATLAB Program 1＿5運行結果略。

2.標準型狀態空間表達式的實現

MATLAB提供了標準型狀態空間表達式的實現函數canon（），以得到LTI系統模型sys的標準型狀態空間表達式的實現。其調用格式為

G1=canon（sys，type）

若LTI系統模型sys為對應狀態向量x的狀態空間模型，可應用函數canon（）將其變換為在新的狀態向量下的標準型狀態空間表達式，其調用格式為

[G1，P]=canon（sys，type）

其中，sys為原系統狀態空間模型，P是返回的線性非奇異狀態變換陣，滿足=Px關系。或為

[At，Bt，Ct，Dt，P]=canon（A，B，C，D，type）T=[α β]

其中，（A，B，C，D）為對應x的原系統狀態空間模型的系數陣，（At，Bt，Ct，Dt）則為對應新狀態向量（仍滿足=Px）的標準型狀態空間模型的系數陣。

以上函數canon（）調用中的字符串type確定標準型類型。它可以是模態（modal）標準型，也可以是伴隨（companion）標準型形式。

當系統矩陣A可對角化但具有共軛復數特征值時，若仍用1.3.1節的方法化成對角標準型，計算特征向量將出現復數向量，且對角標準型及變換陣均為復數矩陣，給分析計算帶來困難，且復數的物理意義也不清晰，此時，可將系統矩陣化為模態（modal）標準型。設二階系統∑（A，B，C）具有共軛復數特征值λ1，2=σ±jω，則可用線性非奇異狀態變換將系統矩陣化為形如

的模態（modal）標準型。且可證明變換陣為

式中，列向量α、β分別是對應特征值λ1=σ+jω的復數特征向量α+jβ的實部、虛部。

【例1-29】 已知系統∑（A，B，C，D）的系數陣為

A=

，

B=

，

C=[1 2 5 2]，D=0

將其變換為模態標準型或對角標準型，并給出變換陣。

解 應用狀態方程的規范實現函數canon（）容易進行該變換，MATLAB Program 1＿6為求解本題的程序。

%MATLABProgram 1＿6
A=[5210；0460；0-3-50；0-3-6-1]；
B=[1；2；3；4]；C=[1252]；D=0；
sys=ss（A，B，C，D）；
[G，T]=canon（sys，′modal′）

程序MATLAB Program 1＿6運行結果略。