1.4 離散系統的狀態空間描述

離散（時間）系統是系統的輸入、輸出和狀態變量只在某些離散時刻取值的系統，與其相關的外部數學描述方法有差分方程和系統脈沖傳遞函數。同樣，對于離散系統也可采用狀態空間表達式描述，在形式上與連續系統的狀態空間描述方法完全類似。本節闡述離散系統的狀態空間描述，以及從系統差分方程或脈沖傳遞函數求離散狀態空間表達式的問題即SISO離散系統的實現問題。同樣由于狀態變量的選擇不是唯一的，離散系統的實現也是非唯一的。

1.4.1 離散系統的狀態空間表達式

線性離散系統的狀態空間表達式的一般形式為

式中，x（k）為系統的n維狀態向量；u（k）為系統的r維輸入向量；y（k）為系統的m維輸出向量；G（k）為n×n維線性離散系統的系統矩陣；H（k）為n×r維線性離散系統的輸入矩陣；C（k）為m×n維線性離散系統的輸出矩陣；D（k）為m×r維線性離散系統的輸入/輸出關聯矩陣（或直接傳遞矩陣）。

注意：以上各向量和矩陣均是由t=kT時刻所確定的，其中，k=0，1，2，…；T為采樣周期。上式中x（k）為x（kT）的縮略形式，u（k）、y（k）等也為縮略形式。

由式（1-172）可見，離散系統的狀態方程描述了（k+1）T時刻的狀態與kT時刻的狀態及輸入量之間的關系，其輸出方程描述了kT時刻的輸出量與kT時刻的狀態及輸入量之間的關系。

與連續系統類似，線性離散系統狀態空間表達式的方塊圖如圖1-28所示。圖中，方塊T為單位延遲器，它表示將輸入的信號延遲一個節拍，即如果其輸入為x（k+1），那么其輸出為x（k）。

對線性定常離散系統而言，G（k），H（k），C（k），D（k）均為常數矩陣，其狀態空間表達式為

本節主要針對單變量線性定常離散系統進行分析討論。

1.4.2 差分方程化為狀態空間表達式

連續時間系統中由描述輸入、輸出關系的微分方程或傳遞函數建立狀態空間表達式的方法完全適用于離散時間系統。化標量差分方程為離散狀態空間表達式與化標量微分方程為連續狀態空間表達式類似，可分兩種情況討論。

1.差分方程不含輸入函數的高階差分

此時標量差分方程具有如下形式

選取各采樣時刻的y（k），y（k+1），…，y（k+n-1）為n個狀態變量，即令

由式（1-174）和式（1-175）得一階差分方程組，即

又輸出方程為

根據式（1-176）和式（1-177）可寫出向量-矩陣形式的狀態空間表達式為

2.差分方程包含輸入函數的高階差分

此時描述單輸入單輸出線性定常離散時間系統的差分方程為

與連續系統微分方程中包含輸入函數導數項時選擇狀態變量類似，可選取如下一組狀態變量

式中，待定系數β0，β1，…，βn-1由下式確定

令

則由式（1-180）、式（1-181）和式（1-182）得離散系統式（1-179）的狀態空間表達式為

【例1-22】 設一個3階差分方程為

y（k+3）+5y（k+2）+7y（k+1）+3y（k）=u（k+1）+2u（k）

求相應的離散狀態方程和輸出方程。

解 差分方程的系數為

a1=5，a2=7，a3=3，b0=0，b1=0，b2=1，b3=2

由式（1-181）和式（1-182）可求得相應的系數βi為

β0=0，β1=0，β2=1，β3=-3

則根據式（1-183）得離散狀態空間表達式為

對應離散系統狀態空間表達式的結構圖如圖1-29所示，其中z-1為單位延遲環節。

1.4.3 由脈沖傳遞函數化為狀態空間表達式

設線性定常離散系統的脈沖傳遞函數為

式中，Y（z）為輸出的Z變換；U（z）為輸入的Z變換。根據式（1-184）可寫出輸出量與輸入量之間的差分方程，然后利用1.4.2節所述方法轉換為離散狀態空間表達式。實際上，式（1-184）和線性定常連續系統傳遞函數式（1-124）形式類似，故也可仿照1.3.3節中連續系統的實現方法將脈沖傳遞函數化為離散狀態空間表達式。

例如，可仿照1.3.3節連續系統實現的級聯分解法推導式（1-184）對應的離散狀態空間表達式。將式（1-184）改寫為

則有

令

則式（1-186）成為

引入中間變量M（z），將式（1-187）改寫為

由式（1-189）得

選取狀態變量的Z變換為

由式（1-192）得

對式（1-193）作Z反變換得（n-1）個一階差分方程

由式（1-192）有

將式（1-190）和式（1-192）代入式（1-195）得

對式（1-196）作Z反變換得一階差分方程

將式（1-192）代入式（1-191）得

將式（1-198）代入式（1-188）并作Z反變換得

由式（1-194）、式（1-197）和式（1-199）得式（1-184）的離散狀態空間表達式為

式（1-200）為式（1-184）脈沖傳遞函數的能控標準型實現。

又例如，也可仿照1.3.3節連續系統并聯實現的方法根據脈沖傳遞函數建立離散狀態空間表達式，同樣可根據脈沖傳遞函數是否含重極點分兩種情況討論。若脈沖傳遞函數（z）只含單實極點即其具有互異的實極點z1，z2，…，zn，則（z）可應用部分分式法分解為

式中

取離散狀態變量的Z變換為

則

對式（1-203）和式（1-204）作Z反變換，則得離散狀態空間表達式為

式（1-205）為對角標準型實現。

對于脈沖傳遞函數（z）含重實極點的情況，也可仿照連續系統傳遞函數含重實極點時的約當標準型實現方法進行處理，本書不再贅述。

【例1-23】 已知一離散系統的脈沖傳遞函數為

試寫出其對角標準型狀態空間表達式。

解 將G（z）用部分分式展開為

則

由上式可以畫出系統模擬結構圖，如圖1-30所示，在圖上設置狀態變量，即得狀態空間表達式為

1.4.4 由離散系統狀態空間表達式求脈沖傳遞函數矩陣

r維輸入、m維輸出的多輸入多輸出（MIM O）線性定常離散系統的狀態空間表達式如式（1-173），即為

對上式進行Z變換，得

令系統初始條件為零，由式（1-207）得

式中

為系統的脈沖傳遞函數陣，其是一個m×r維矩陣，表征了MIMO離散系統的動態特性。若為單輸入單輸出線性定常離散系統，由式（1-210）求得的G（z）則為脈沖傳遞函數。