1.2 數學史的分期和數學觀

1.2.1 數學史的分期

數學科學發展具有階段性，目前學術界通常將數學科學發展劃分為五個時期：

（1）數學萌芽期（公元前600年以前）；

（2）初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；

（3）變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；

（4）近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；

（5）現代數學時期（20世紀40年代以來）。

1.2.2 數學觀的演化

當代數學觀是人類幾千年文明發展的必然結果。自誕生以來，數學的內涵發生了巨大變化，據統計數學已有過200余種定義。對數學的看法不一，既有賴于時代的發展，也因人們看問題的角度及對數學理解的層次有異。所有的學問都是一種智慧，更是一種境界；是一種頭腦，更是一種心胸；是一種本領，更是一種態度；是一種職業，更是一種使命；是一種日積月累，更是一種人性的升華。

公元前6世紀以前，數學主要是關于“數”的研究。畢達哥拉斯學派的基本信條就是“萬物皆數”，但當時“數”僅限于有理數。自公元前6世紀始，數學是對“數”和“形”的研究。公元前4世紀希臘哲學家亞里士多德所給數學定義為：數學是量的科學，這里的量也不能單純理解為今天的數量。

北非希波主教圣·奧古斯丁（Aurelius Augustinus，354—430年）的神學體系于5～12世紀在西歐基督教會中占統治地位。他認為，“好基督徒應提防數學家和那些空頭許諾的人。這樣的危險已存在，數學家已與魔鬼簽訂了協約，要使精神進入黑暗，把人投入地獄。”古羅馬法官則裁決“對于作惡者、數學家諸如此類的人”，應禁止其“學習幾何技藝和參加當眾運算像數學這樣可惡的學問”。

至16世紀，英國哲學家培根（Francis Bacon，1561—1626年）將數學分成“純粹數學”和“應用數學”。所給純粹數學的定義為：處理完全與物質和自然哲學公理相脫離的量的科學。

17世紀，算術、代數和幾何在解析幾何中得到統一。數可被映射為圖形上的點，而圖形可變成方程。正是這種解析手段打開了通向一大批高等數學學科的道路。故解析幾何的奠基者笛卡兒（Rence Descartes，1596—1650年）認為：凡是以研究順序和度量為目的的科學都與數學有關。

在萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716年）看來，數學是聰明人和有志者的事業，即使其數學基礎知識很少，或者對數學細節尚未了解，但只要有遠大目標和足夠才智，他血液中就具備了數學，就可以在數學上取得良好的進展，這也許是對他自己數學研究的真實寫照。

微積分的創立，使數學成為研究數、形及運動和變化的學問，但運動和變化的數學描述還是離不開數與形。19世紀，恩格斯（Friedrich Engels，1820—1895年）所給數學定義為：數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學。

切比雪夫（П.Л. Чебышев，1821—1884年）是圣彼得堡數學學派的奠基者。對于數學的發展，切比雪夫有著獨到見解：“原來的數學發展有兩個階段：第一階段是由神創立的，像德洛斯祭壇的故事就說明如此；第二階段是由半人半神建立的，費馬（Pierrede Fermat， 1601—1665年）和帕斯卡（B.Pascal，1623—1662年）就是這樣的怪物。現在數學發展進入了第三階段，數學完全由社會實際需要所創立。”

作為切比雪夫弟子的馬爾可夫，以從事數學教學和研究為驕傲。曾有人向他請教數學的定義，他毫不掩飾地說： “數學，那就是高斯、切比雪夫、李雅普諾夫（A.M.Ляпyнoв， 1857—1918年）、斯捷克洛夫（B.A.Steklov，1864—1926年）和我所研究的東西”。正是馬爾可夫對數學的酷愛之感和癡愛之情深深地感染了學生，激發了學生對數學的學習興趣。在一次概率論課上，馬爾可夫的開場白為：“我獲悉喀山數學會提出研究課題：概率論的公理化基礎，現在我們就開始著手干吧。”

數學能夠醫治病痛，這也許聽來滑稽，但卻有其事。捷克斯洛伐克的數學家波爾查諾（Bernard Bolzano，1781—1848年），記述了自己的親身經歷：有次我在布拉格度假時，突感渾身發冷，疼痛難忍。為分散注意力，我拿起了歐幾里得的《原本》，第一次閱讀第五卷中歐多克斯（Eudoxus，約公元前408—前347年）關于比例理論的精彩論述，這種高明的處理方法使我無比興奮，以至于從病痛中完全解脫了。

隨著數學家開發的領域擴展到群論、統計學、最優化和控制理論之中，數學的歷史邊界已經完全消失，從這個廣泛背景觀察，數學不只是討論數與形，而且還討論各種類型的模式和次序。希爾伯特認為：數學是處理無限的科學。他相信一切數學概念最后都會協調一致，其信條是：數學的任何問題最終要么有個真正解答，要么被證明不可能求解。

集合論的創立者康托爾提出：“數學是絕對自由發展的學科，它只服從明顯的思維。即其概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經建立和存在的概念相聯系。”

19世紀中葉以后，數學是一門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構（群，環，域……）、序結構（偏序，全序……）和拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）這三種母結構之上。布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。

博雷爾（Email Borel，1871—1956年）認為：“數學是我們確切知道我們在說什么，并肯定是否正確的唯一科學。”這里博雷爾強調了數學的絕對真理性。

幾乎與博雷爾相對，羅素（Bertrand A.W.Russell，1872—1970年）在20世紀初這樣定義數學：“純粹數學完全由這樣一類論斷組成，假定某個命題對某些事物成立，則可推出另外某個命題對同樣這些事物也成立。這里既不管第一個命題是否確實成立，也不管使命題成立的那些事物究竟是什么。只要我們的假定是關于一般的事物，而不是某些特殊的事物，那么我們的推理就構成為數學。這樣，數學可定義為這樣一門學科，我們永遠不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內容是否正確。”

按羅素的數學定義，數學已達到如此玄妙境界：任一給定前提的真或假已不起作用，重要的是如何從前提推導到結論。利用這一準則，數學家可以聲言，月球是用青青的干奶酪造成的。再通過一系列更進一步的前提，他可以令人信服地論證，并最后得出結論，登月者應當帶點脆餅干去。

羅素還認為，“數學不僅擁有真理，且擁有至高無上的美：一種冷峻嚴肅的美，就像是一尊雕塑。這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界。”羅素11歲開始學習歐幾里得幾何學，他感到學習數學就像初戀一樣令人陶醉，從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西。

1941年，柯朗（Courant，1888—1972年）認為：“數學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，其基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性。”

20世紀50年代，前蘇聯數學家提出：“現代數學就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關系和相互聯系的數學。”

這里的“量”顯然和亞里士多德的量含義不同：不僅包括現實世界的各種空間形式與數量關系，而且包括了一切可能的空間形式和數量關系。格涅堅科（B.V.Gnedenko， 1912—1995年）認為，數學現已成為認識世界的強有力工具，成為社會生產力。及時正確地應用數學方法可使我們建立相關定量理論，預測我們感興趣的事件，選擇解決問題的最佳方案。數學理論的價值和生命力不是其結構如何優美，而是其同社會實際問題有多少深入和牢固地聯系。

20世紀80年代美國學者提出：“‘數學’ 這個領域已被稱做模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。”

春有花開，夏有驚雷，秋收冬藏，四季循環往復；球形的雨從云中飄落；繁星夜夜周而復始地從天空中劃過；世界上沒有兩片完全相同的雪花，但所有雪花都是六角形……我們生活在由諸多模式組成的世界中。在這個定義中，“模式”代替了“量”，而所謂的“模式”有著極廣泛的內涵，包括了數的模式，形的模式，運動與變化的模式，推力與通信的模式，行為的模式等。這些模式可以是現實的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的。

我國當代學者也給了一些數學定義。

陳省身（Shiing-shen Chern，1911—2004年）認為，大致說來，數學和其他科學一樣，其發展基于兩個原因：奇怪的現象和數學結果的應用。數學把“奧妙變為常識，復雜變為簡單”。他說，“數學研究與其他科學相比，其顯著的特點就是向多方面發展”。

吳文俊認為，數學這門基礎學科已經越來越滲透到各個領域，成為各種科學、技術和生產以致日常生活所不能缺少的有力武器。在現代科學技術中，如果不借助數學，不與數學發生關系就不可能達到應有的精確性和可靠性。

錢學森（1911—2009年）認為，數學是社會科學和自然科學的基礎，哲學是社會科學和自然科學的概括。

齊民友認為，數學的生長像竹子，根在大地，然后自己一節一節向上長，間或爆出新筍，長成新竹。若干年后，竹子開花，結成種子，重回大地。

方延明：數學是研究現實世界中數與形之間各種形式模型的結構的一門科學。

徐利治：數學是“實在世界的最一般的量與空間形式的科學，同時又作為實在世界中最具特殊性、實踐性及多樣性的量與空間形式的科學”。

高隆昌和胡勛玉：能對大自然中任意對象予以符號化、量化和形式語言化，從而進行邏輯演算，以揭示大自然規律的科學叫做數學。

子曰：“君子不器。”數學恰是不器之學，堪比孔子意義下的君子。數學最顯著特點是體系的嚴謹性，要求每個概念都要給出明確定義，但“數學”本身卻無法給出十全十美、無懈可擊的定義，其根本原因是由于數學科學還在不斷的飛速發展。其他許多基礎學科也是如此，如“科學”至今也無法給出完美無缺的定義。有時過分苛刻的定義會成為事物發展的桎梏，故我們不必追求過分嚴密的數學定義而應給其留有發展空間。正如美籍波蘭學者塔斯基（Alfred Tarski，1901—1983年）所說：“對于足夠豐富的數學系統來說，要給出真理的令人滿意的定義是不可能的，但在較小范圍內這種定義是可能的。”

1.2.3 數學科學的主要研究方向

按美國《數學評論》雜志的分類，現代數學的研究方向包括90多個二級學科，400多個三級學科，更細的分科已難以統計。下面為主要研究方向：

（1）數理邏輯與數學基礎

a. 演繹邏輯學（符號邏輯學）

b. 證明論（元數學）

c. 遞歸論

d. 模型論

e. 公理集合論

f. 數學基礎

（2）數論

a. 初等數論

b. 解析數論

c. 代數數論

d. 超越數論

e. 丟番圖逼近

f. 數的幾何

g. 概率數論

h. 計算數論

i. 模型式與模函數論

（3）代數學

a. 線性代數

b. 群論、環論和域論

c. 序結構研究

d. 李群和李代數

e. 可除代數和體

f. Kac-Moody代數

g. 編碼理論與方法

h. 模論和格論

i. 代數群

j. 泛代數理論

k. 范疇論和同調代數

l. 群表示論

m. 代數K理論

n. 微分代數

o. 代數編碼理論

（4）代數幾何學

a. 連續與離散的對偶性

b. Riemann-Roch-Grothendick理論

c. Scheme theory

d. Topis theory

e. L-adic上同調和etale上同調

f. Grothendick圈

g. 晶體與晶狀上同調

h. de Rahm系數

i. Hodge系數理論

j. 新同倫代數

k. Topis的上同調

l. 穩和拓撲

（5）幾何學

a. 幾何學基礎

b. 歐氏幾何學

c. 非歐幾何學

d. 球面幾何學

e. 向量和張量分析

f. 仿射幾何學

g. 射影幾何學

h. 微分幾何學

i. 分數維幾何

j. 計算幾何學

k. 流形上的分析

l. 黎曼流形與洛侖茲流形

m. 齊性空間與對稱空間

n. 調和映照及其在理論物理中的應用

o. 子流形理論

p. 楊-米爾斯場

q. 辛流形

（6）拓撲學

a. 點集拓撲學

b. 代數拓撲學

c. 同倫論和同調論

d. 低維拓撲學

e. 微分拓撲學

f. 維數論和奇點理論

g. 格上拓撲學

h. 纖維叢論

i. 幾何拓撲學

（7）函數論

a. 微積分學

b. 函數逼近論和級數論

c. Rn中調和分析實方法

d. 多單復變函數論

e. 復流形和復動力系統

f. 非緊半單李群的調和分析

（8）非標準分析

（9）常微分方程

a. 定性理論

b. 穩定性理論

c. 解析理論

d. 泛函微分方程

e. 特征與譜理論及其反問題

f. 分支理論

g. 混沌理論

h. 奇攝動理論和動力系統

i. 復域中的微分方程

（10）偏微分方程

a. 橢圓形偏微分方程

b. 雙曲形偏微分方程

c. 拋物形偏微分方程

d. 非線性偏微分方程

e. 連續介質物理與力學及反應

f. 非線性波

g. 微局部分析與一般偏微分算子理論

h. 調混合形及其他帶奇性的方程

i. 非線性發展方程

j. 無窮維動力系統

k. 偏微分方程其他學科

（11）動力系統

a. 微分動力系統

b. 拓撲動力系統

c. 復動力系統

（12）積分方程

a. 線性積分方程

b. 第一類Fredholm方程

c. 奇異積分方程

d. 積分方程組

e. 非線性積分方程

（13）泛函分析

a. 線性算子理論

b. 變分法

c. 拓撲線性空間

d. 希爾伯特空間

e. 函數空間

f. 巴拿赫空間

g. 算子代數和非線性泛函分析

h. 測度與積分

i. 廣義函數論

（14）計算數學

a. 插值法與逼近論

b. 常微分方程數值解

c. 偏微分方程數值解

d. 積分方程數值解

e. 數值代數

f. 連續問題離散化方法

g. 隨機數值實驗

h. 誤差分析

i. 計算數學其他學科

（15）概率論

a. 幾何概率

b. 概率分布

c. 極限理論

d. 隨機過程（含平穩過程）

e. 馬爾可夫過程

f. 隨機分析

g. 鞅論

h. 應用概率論

i. 隨機場

（16）數理統計學

a. 抽樣理論

b. 假設檢驗

c. 非參數統計

d. 方差分析和回歸分析

e. 蒙特卡洛方法

f. 統計推斷

g. 貝葉斯統計

h. 試驗設計

i. 多元分析和統計線性模型

j. 統計判決理論

k. 時間序列分析

l. 數據分析及其圖形處理（17）應用統計數學

a. 統計質量控制

b. 可靠性數學和統計模擬c. 保險數學

（18）運籌學

a. 線性規劃

b. 非線性規劃

c. 動態規劃

d. 組合最優化

e. 參數規劃

f. 整數規劃和圖論

g. 隨機規劃

h. 排隊論

i. 對策論（博弈論）

j. 庫存論和最優化

k. 決策論和統籌論

l. 搜索論

（19）組合數學

a. 組合計數和組合設計

b. 組合算法

c. 組合概率方法

d. 密碼學和圖論

e. 復雜度分析

f. 線性計算幾何

（20）模糊數學

a. 模糊控制和決策

b. 模糊識別和評判c. 模糊聚類分析

（21）數學物理

a. 規范場論

b. 引力場論的經典理論與量子理論

c. 孤立子理論

d. 統計力學

e. 連續介質力學等方面的數學問題

（22）控制論

a. 有限維非線性系統

b. 分布參數系統的控制

c. 隨機系統的控制

d. 最優控制理論與算法

e. 參數辨識與適應控制

f. 穩健控制

g. 線性系統的代數與幾何方法

h. 控制的計算方法

i. 微分對策理論

（23）計算機的數學基礎

a. 可解性與可計算性

b. 機器證明

c. 計算復雜性

d. VLSI數學基礎

e. 計算機網絡與并行計算

（24）計算數學與科學工程計算

a. 偏微分方程數值計算

b. 初邊值問題數值解法及應用

c. 奇異性問題

d. 非線性微分方程及其數值解法

e. 邊值問題數值解法及其應用

f. 代數微分方程

g. 有限元和邊界元數值方法

h. 變分不等式的數值方法

i. 辛幾何差分方法

j. 數理方程反問題的數值解法

k. 常微分方程數值解法及其應用

l. 二點邊值問題

m.STIFF問題研究

n. 數值代數大型稀疏矩陣求解

o. 代數特征值問題及其反問題

p. 非線性代數方程

q. 一般線性代數方程組求解

r. 快速算法

s. 有理逼近和多元逼近

t. 曲面擬合和光滑拼接

u. 曲面造型和曲面設計

v. 散亂數據插值

w. 計算幾何

（25）若干交叉學科

a. 信息論及應用

b. 經濟數學

c. 生物數學

d. 不確定性的數學理論

e. 分形論及應用

按照我國國務院學位辦關于授予博士、碩士學位和培養研究生的學科專業簡介，數學科學一般分成五個緊密聯系的二級學科。

基礎數學，又稱純粹數學，是數學的核心和靈魂。其思想、方法和結論是整個數學科學的基礎，是自然科學；社會科學、工程技術等方面的思想庫。基礎數學主要包含數理邏輯、數論、代數、幾何、拓撲、函數論、泛函分析、微分方程等分支，并還在源源不斷地產生新的研究領域，范圍異常廣泛。

計算數學是研究用電子計算機數值求解科學和工程問題的理論和算法，其目標是高效、穩定地求解各類科學技術領域中產生的數學問題。研究高效的計算方法與發展高速的計算機處于同等重要的地位；此外，數值模擬已能夠用來減少乃至代替耗資巨大甚至難以實現的某些大型實驗。近年來，隨著電子計算機的飛速發展，產生了符號演算、機器證明、計算機輔助設計、數學軟件等新的學科分支，并與其他領域結合形成了計算力學、計算物理、計算化學、計算生物等交叉學科。

應用數學是聯系數學科學與現實世界的重要橋梁，主要研究自然科學、工程技術、信息、經濟、金融、管理、社會與人文科學中的數學問題，包括建立相應的數學模型，利用數學方法解實際問題，研究具有實際背景和應用前景的數學理論等。第二次世界大戰以來，應用數學得到了迅猛的發展，其思想和方法深刻地影響著其他科學的發展，并促進了某些重要的綜合性學科（如非線性科學）的誕生和成長。同時，在研究解決實際問題的過程中，新的重要數學問題不斷產生，有力地推動著數學本身的發展。

概率論與數理統計是研究隨機現象內在規律性的學科。概率論旨在從理論上研究隨機現象的數量規律，是數理統計的基礎。數理統計是研究如何有效地收集、分析和使用隨機性數據的學科，為概率論的實際應用提供了廣闊的天地。概率論和數理統計相互依存，相互推動，借助著計算機的技術，在科學技術、工農業生產、經濟金融、人口健康和環境保護等方面發揮著重要的作用。概率統計思想滲入各個學科已成為近代科學發展的明顯特征之一。

運籌學和控制論以數學和計算機為主要工具，從系統和信息處理的觀點出發，研究解決社會、經濟、金融、軍事、生產管理、計劃決策等各種系統的建模、分析、規劃、設計、控制及優化問題，是一個包含眾多分支的學科。運籌學結合數學其他分支、計算機科學、管理科學、通過對建模方法和最優化方法的研究，為各類系統的規劃設計、管理運行和優化決策提供理論依據。控制論目前處于數學科學、計算機科學、工程學等學科交叉發展的前沿，是以自動化、機器人、計算機和航天技術為代表的新技術革命的理論基礎。