1.1 數學科學的歷史性及其特征

1.1.1 數學科學的歷史性

數學科學與其他知識門類相比是累積性較強的科學。重大的數學理論總是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，它們不僅不會推翻原有理論，而且總是包容原有理論。例如，數系的建立表現出明顯的累積性；非歐幾何可看成是歐氏幾何的拓廣；抽象代數是在初等代數的基礎上發展起來的；現代分析中諸如函數、導數和積分等概念的推廣均包含了古典定義作為其特例。下面僅以數系的發展過程來體現數學科學的累積性。

（一）數系的發展與完善

數是數學的最基本元素，也是人類文明的偉大創造。沒有數的世界是難以想象的，沒有數既不能表達，也不能理解任何事物。隨著人類歷史的發展，數的概念隨之也在不斷擴展，一個時代對于數的認識與應用及數系理論的完善程度，反映了當時數學發展的水平。以集合論為基礎的數集，從自然數集開始擴充，逐步建立起嚴密、科學的數系理論。從自然數到有理數、實數、復數、超復數等，數系的每一次擴充都標志著數學理論的一次飛躍。

人類對數的認識，是從人類對自然界認識的基礎上抽象而來的。抽象數的概念是在擺脫物體的各種具體屬性后產生的，故人類對于數的認識始于自然數。在中國的經典數學著作《九章算術》中記載有負數及其運算法則，但西方負數概念的建立和使用經歷了一個曲折的過程，歐洲直到15世紀才在方程討論中出現負數。在18世紀以前，歐洲數學家對負數概念大多持保留態度，他們被當時盛行的機械論框住了頭腦，只看到負數與零在量值上的大小比較（認為零是最小的量，而比零還小是不可思議的），看不到正負數間的辯證關系。即使當時一些著名數學家也這樣認識。甚至到1831年，英國代數學家德·摩根（Augustus De Morgan，1806—1871年）還強調負數與虛數一樣都是虛構的。

無理數產生于公元前5世紀。據說在一次海上泛舟聚會時，畢達哥拉斯學派的成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）在研究單位正方形對角線的數量表示時，發現這條對角線無論如何不能用他們所謂的數來表示。這個發現引起了學派成員的恐慌，為了使無理數的發現不被泄露，他們把希帕蘇斯投進了大海。

18世紀，數學家在澄清無理數的邏輯基礎方面幾乎沒有進展，但他們以相對平靜的態度接受了一些數的無理性。歐拉（Leonard Euler，1707—1783年）于1737年證得e是無理數。1761年，蘭伯特（J.G.Lambert，1728—1777年）用類似方法證明了圓周率π是無理數。后勒讓德（A.M.Legendre，1752—1833年）甚至猜測π可能不是任何有理系數方程的根。這就促使數學家將無理數分為代數數和超越數。1873年和1882年，法國數學家埃爾米特（C.Hermite，1822—1901年）和德國數學家林德曼（Lindemann，1852—1939年）分別證明了e和 π的超越性。而無理數邏輯結構的真正解決是在19世紀，直至戴德金（R.Dedekind，1831—1916年）和康托爾（Georg Cantor，1845—1918年）建立實數理論后。

18世紀，數學家還談不上有完整的數系概念和建立數系的企圖。雖然在接受負數與復數方面還存在疑慮與爭議，但在弄清楚復數的意義方面也有一些功績。隨著微積分的發展，復數幾乎進入了所有的初等函數領域。達朗貝爾（Jean Le Rond d'Alembert，1717—1783年）在1747年關于一切復數均可表示成形式a+bi的斷言開始被多數人所接受。1797年，韋塞爾（Wessel，1745—1818年）創造了復數的幾何表示，并發展了復數的運算法則。到1806年瑞士人阿爾岡（Jean-Robert Argand，1768—1822年）、1831年高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855年）各自獨立發表了關于復數的幾何表示研究后，籠罩著虛數的疑云終于被逐漸驅散。

在數系的發展與完善的過程中，數學家總是把新東西作為理想元素添加進來，讓這些新事物盡可能享有原來事物的性質。這種類似于形式主義的態度，可以說是對“異端”的一種最寬松態度。只要不產生矛盾即可推而廣之。正是不斷加進這種“理想元素”，使得對于數性質的研究越來越方便。

與數學科學累積性不同，在自然科學的其他領域都不乏新理論徹底推翻原理論的案例。

（二）“地心說”與“日心說”

四方上下曰宇，古往今來曰宙。人類對宇宙的認識經歷了如下階段：托勒密（PtolemyⅠSoter，約公元前367—前283年）的地心說；哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543年）的日心說；開普勒（Johannes Kepler，1571—1630年）的行星運行的三大定律；伽利略（Galileo Galilei，1564—1642年）和牛頓（Isaac Newton，1642—1727年）的力學體系及萬有引力定律；康德-拉普拉斯的星云假說；愛因斯坦（Albert Einstein，1879—1955年）的廣義相對論及關于膨脹宇宙的大爆炸理論。

“地心說”由古希臘哲學家亞里士多德（Aristotle，公元前384—前322年）提出，他認為地球居于宇宙的中心靜止不動，月球、行星、太陽及其他恒星均圍繞地球做完美的圓周運動。

公元2世紀托勒密發展了亞里士多德的“地心說”理論，總結了希臘天文學的優秀成果，寫成了流傳千古的名著《天文學大成》。這部13卷的著作被阿拉伯人推為“偉大之至”，結果書名就成了《至大論》 （Almagest）。在該書中托勒密提出了地心體系的基本構造。托勒密的本輪-均輪宇宙體系，由于具有極強的擴展能力，能夠較好地容納望遠鏡發明前不斷出現的新天文觀測，合理地解釋行星的逆行、亮度的變化及行星運動速度的不均勻性等現象，故一直被作為最好的天文學體系，統治了西方天文學界一千余年。

托勒密全面繼承了亞里士多德的地心說，并利用前人積累和自己長期觀測得到的數據，寫成了《偉大論》。其中他把亞里士多德的9層天擴大為11層，把原動力天改為晶瑩天，又往外添加了最高天和凈火天。托勒密設想，各行星都繞著一個較小的圓周上運動，而每個圓的圓心則在以地球為中心的圓周上運動。他把繞地球的那個圓叫“均輪”，每個小圓叫“本輪”。同時假設地球并不恰好在均輪的中心，而偏開一定的距離，均輪是一些偏心圓；日月行星除作上述軌道運行外，還與眾恒星一起，每天繞地球轉動一周。托勒密這個不反映宇宙實際結構的數學圖景，卻較為完滿的解釋了當時觀測到的行星運動情況，并取得了航海上的實用價值，從而被人們廣為信奉。

隨著天文觀測材料的不斷增多，要合理地解釋這些現象所需要的本輪也不斷增多。至哥白尼時代，本輪數已增加到80多個，使得托勒密體系極為復雜。同時隨著航海業的發展，對精確天文歷表的需要變得日益迫切。但用于編制力表的托勒密理論越來越煩瑣，人們開始關注天文學理論的變革，而哥白尼正是在此時提出了革命性理論。

哥白尼18歲時被送進波蘭舊都的克拉科夫大學學習教會法律，在那里產生了對天文學的濃厚興趣。1496年，23歲的哥白尼來到了文藝復興的策源地意大利，先后在波侖亞大學和帕多瓦大學攻讀教會法律和醫學，同時發展其在天文學方面的興趣。他學習了天文觀測技術及希臘的天文學理論。對希臘自然哲學著作的系統鉆研，使他開始懷疑托勒密理論。1506年，他回到波蘭后開始構建新宇宙體系。

1539年，哥白尼寫出了天文學史上的偉大著作《天體運行論》，系統論述了其日心說理論。哥白尼深知這一理論太富于革命性，有悖于傳統天文學觀點，所以遲遲沒有出版。當年哥白尼的學生，德國威丁堡大學的數學教師——雷提卡斯（Rheticus，1514—1564年）專程拜訪哥白尼，勸他立即出版該書。哥白尼只同意由雷提卡斯發表關于他著作的《簡報》。隨后幾年又出現了該《簡報》的簡編本，并沒有引起爭論，于是哥白尼決定由雷提卡斯負責《天體運行論》的出版事宜。

雷提卡斯無法照顧印刷過程的每一環節，出版工作由路德教會教師安德里亞·奧西安德（Andreas Osiander，1498—1552年）具體負責。出于保護作者免遭教會迫害的好意，奧西安德擅自在著作前面加了一個沒有署名的序言，宣稱作者并不認為地球是圍繞太陽旋轉的，這樣做只是一個方便的假設，以便在此基礎上建立更有效的行星運動的數學模型。直到1609年，開普勒才發現哥白尼根本不知道這篇序言，而且他本人絕不同意序言中的觀點。

1543年5月24日，剛剛印好的《天體運行論》送到病入膏肓的哥白尼面前。據說，他只用顫抖的手撫摸了一下這本書，就與世長辭了。

哥白尼日心說體系與占統治地位的宗教思想相抵觸，一開始就遭到了各方面的反對。直到牛頓發現萬有引力定律之后，才徹底推翻托勒密地心說體系，并為天文學家所公認。哥白尼革命成為近代科學革命的第一階段。

1.1.2 數學科學的特征

（一）數學的抽象性

數學的抽象性就是暫時撇開事物的具體內容，僅從抽象的數方面進行研究。如在簡單計算中，2+3既可理解成兩只羊加三只羊，也可理解成兩部機床加三部機床。掌握了2+3的運算規律，那就不論是羊、機床，還是汽車或者其他事物都可按加法的運算規律進行計算。

數學中的許多概念都是從現實世界抽象而來的。如幾何學中的“直線”概念，并非指現實世界中拉緊的線，而是把現實線的質量、彈性、粗細等性質都拋棄掉，只保留屬性“向兩方無限伸長”，但現實世界中沒有向兩方無限伸長的線。幾何圖形的概念、函數概念都是比較抽象的。抽象并不是數學科學的獨有屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性，只是數學的抽象性不同于其他學科的抽象性而已。

數學的抽象性具有三個特征：①保留了數量關系或空間形式。②數學抽象經過一系列階段而形成，達到的抽象程度超過了自然科學中的一般抽象。從最原始的概念一直到像函數、復數、微分、積分、泛函、n維甚至無限維空間等抽象的概念都是從簡單到復雜，從具體到抽象這樣不斷深化的過程。當然，形式是抽象的，但是內容卻是非常現實的。正如列寧（V.I.Lenin，1870—1924年）所說，“一切科學的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然。”③不僅數學概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的。物理或化學家為了證明自己的理論，總是通過實驗方法；而數學家證明定理卻不能用實驗的方法，必須用推理和計算，如我們雖千百次地精確測量等腰三角形的兩底角都是相等的，但還不能說已經證明了等腰三角形的底角相等，而必須用邏輯推理的方法嚴格地給予證明。在數學里證明一個定理，必須利用已學過或已證明的概念和定理，用邏輯推理的方法導出新定理。數學歸納法就是一種比較抽象的數學證明方法，其原理是把研究元素排成一個序列，某種性質對于這個序列的首項是成立的，假設當第k項成立，如果能證明第k+1項也能成立，則該性質對這序列的任何一項都成立。

（二）數學的精確性

數學的第二個特點是精確性，或者說邏輯的嚴密性，結論的確定性。

數學推理和結論是無可爭辯、毋庸置疑的。在數學中嚴謹的推理和一絲不茍的計算，使得每個結論都是牢固的、不可動搖的，這種思想方法不僅培養了科學家，也有助于提高人類的科學文化素質，這是全人類共同的精神財富。

數學證明的精確性、確定性早就充分顯示出來。最早出現于古希臘的數學向演繹證明的變革，這也許是人類文明史上最偉大的變革。歐幾里得（Euclid，約公元前330—前275年）的幾何經典著作《原本》是典型事例。該書從少數定義、公理出發，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系，把豐富而零散的幾何材料整理成了系統嚴明的整體，成為人類歷史上的數學杰作之一，一直被后世推崇。兩千多年來，所有初等幾何教科書及19世紀前一切有關初等幾何的論著都以《原本》作為依據。

關于歐幾里得幾何的嚴密體系，愛因斯坦曾評價道，“世界第一次目睹邏輯體系的奇跡，這個邏輯體系如此精密地推進，以致其每個命題都是絕對不容置疑的。推理的這種可贊嘆勝利，使人類理智獲得了為取得以后成就所必須的信心。”

數學科學的嚴密性不是絕對的，數學的原則也不是一成不變的，也在不斷發展中。例如，《原本》也有不完美的地方，某些概念不明確，基本命題中還缺乏嚴密的邏輯根據。因此，后來又逐步建立了更嚴密的希爾伯特（David Hilbert，1862—1943年）公理體系。然而，歌德爾（Kurt G?del，1906—1978年）不完全性定理打碎了希爾伯特建立公理化體系的夢想。

（三）數學的廣泛應用性

沒有數學科學的發展，現代科學技術的進步也是不可能的，從簡單的技術革新到復雜的人造衛星發射乃至“神七”上天都離不開數學。而幾乎所有的精密科學甚至化學通常都是以一些數學公式來表達相關定律，并在發展自己的相關理論時，廣泛地應用數學工具。當然，力學、天文學和物理學對數學的需要也促進了數學科學的發展，如正是對力學的研究促使了微積分的建立和發展。

數學的抽象性和其應用的廣泛性緊密相連，某個數量關系代表一切具有這樣數量關系的實際問題，如力學系統的振動和電路的振蕩等可用同一個微分方程來描述。拋開具體物理現象的意義來研究這一公式，所得的結果又可用于類似的物理現象中，這樣掌握了一種方法就能解決許多類似問題。不同性質的現象具有相同的數學形式，反映了物質世界的統一性，因為量的關系不只是存在于某特定的物質形態或其特定的運動形式中，而是普遍存在于各種物質形態和各種運動形式中，故數學科學的應用很廣泛。

正因為數學來自現實世界，正確地反映了客觀世界聯系形式的一部分，所以才能被應用于現實世界和指導實踐，才表現出數學科學的預見性。例如，在火箭、導彈發射前，可通過精密的計算，預測其飛行軌道和著陸點；在天體中的未知行星未被直接觀察到以前，就從天文計算上預測其存在。

下面舉幾個應用數學科學的典型實例。

（1）海王星的發現

太陽系中的海王星是1846年在數學計算基礎上發現的。自1781年天王星被發現后，天文學家觀察其運行軌道總是和預測結果有相當程度的差異，是萬有引力定律不正確，還是其他原因？亞當斯（J.C.Adams，1819—1892年）懷疑在其周圍有另一顆行星存在，影響了其運行軌道。1844年，亞當斯利用引力定律和對天王星的觀察資料，推算這顆未知行星的軌道。他花了很長的時間計算出這顆未知行星的位置，以及其出現在天空中的方位。亞當斯于1845年9～10月，把計算結果分別寄給了劍橋大學天文臺臺長查理士和英國格林尼治天文臺臺長艾里，但二人都迷信權威，將之束之高閣。

1845年，法國天文學家、數學家勒維烈（U.J.J.Le Verrier，1811—1877年）經過一年多的計算，于1846年9月寫信告知德國柏林天文臺助理員加勒（J.G.Galle，1812—1910年），“請把望遠鏡對準黃道上的寶瓶星座，即經度326 °的地方，那時你將在1 °之內，見到一顆九等亮度的星。”按勒維烈所指出的方位進行觀察，加勒果然在離所指位置相差不到1°的地方找到了一顆在星圖上沒有的星——海王星。海王星的發現不僅是力學和天文學，特別是哥白尼日心學說的偉大勝利，也是數學計算的偉大勝利。

（2）谷神星的發現

1801年元旦，意大利天文學家皮亞齊（Giuseppe Piazzi，1746—1826年）發現了谷神星。不過它很快又躲藏起來，皮亞齊只記下了這顆小行星是沿著9°的弧而運動，對于其整個軌道，皮亞齊和其他天文學家都沒有辦法求得。24歲的高斯根據觀察的結果進行了計算，求得了這顆小行星的軌道。天文學家于同年的12月7日在高斯預先指出的方位又重新發現了谷神星。

（3）電磁波的發現

英國物理學家麥克斯韋（C.Maxwell，1831—1879年）概括了由實驗建立起來的電磁現象，呈現為二階微分方程的形式。他用純數學的觀點，從這些方程推導出電磁波的存在，這種波以光速傳播著。據此他提出了光的電磁理論，該理論后來被全面發展和論證了。麥克斯韋的結論還推動了人們尋找純電起源的電磁波，如由振動放電所發射的電磁波。這種電磁波后來果然被德國物理學家赫茲（Heinrich Rudolf Hertz，1857—1894年）發現了。這就是現代無線電技術的起源。

（4）數學和音樂

數學和音樂常以某種形式的默契向人們昭示世界的對稱，宇宙的神秘與魅力所在。近年來，科學家研究發現，音樂也具有令人驚訝的幾何結構。佛羅里達州立大學音樂教授考蘭德，耶魯大學的蘭丘教授和普林斯頓大學的德米特里教授，以“音樂天體理論為基礎”，利用數學模型設計了出一種新的方式，對音樂進行分析歸類。提出了所謂的“幾何音樂理論”，把音樂語言轉換為幾何圖形。他們把音符元素，像“和音”、“旋律”等進行分類。采取序列的注釋，加以分類，相同的類型歸為“同類家族”，同類的家族元素再用復雜的幾何結構來表示。不同類型的分類，產生了不同的幾何空間。

這是一種全新的量化音樂方法。該方法可分析和比較很多種西方音樂（或一些非西方音樂），因該方法側重于西方風格的音樂概念，像“和音”等音樂元素，并不是所有的音樂中都存在。這種方法可對過去的音樂理論進行合并，使音樂融為數學的形式。研究者聲稱，音樂的空間形式是清晰的，這種幾何學的空間形式將幫助人們更好地理解音樂，概念化的音樂可讓人們能夠完成之前無法完成的事情。依靠這種看得見的音樂空間結構，可創造出新的音樂手法和手段，可用直觀的理念來改變傳統的音樂授課方式。而且，不同的音樂理念可用邏輯的結構聯系起來，音樂的歷史變成了探索不同對稱性和幾何形狀的過程。用這種方法，音樂家可把其手頭的工作轉換成了數學上的數學本質問題。用幾何模型來定位音樂元素的方法，將幫忙音樂家查找并發現更多未知的音樂元素。用數學模型來分析音樂也為不同音樂風格之間的融合提供了一種可能性。

（5）數學與詩歌

最高的詩是數學。數學家的工作是發現，而詩人的工作是創造。最高的數學和最高的詩一樣，都充滿了想象，充滿了智慧，充滿了創造，充滿了和諧，也充滿了挑戰。詩和數學又都充滿靈感，充滿激情，充滿人類的精神力量。從詩中可體驗到數學，而從數學中又可體會到詩意。海亞姆（Omar Khayyam，1048—1131年）不僅因給出三次方程的幾何解載入數學史冊，同時又作為《魯拜集》的作者而聞名于世。18世紀意大利的馬斯凱羅尼（Mascheroni）和19世紀法國的柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789—1857年）都是詩人加數學家。而20世紀的智利詩人帕拉（Nicanor Parra，1914—）曾做過數學教授。其實在中國數學界，華羅庚（1910—1985年）、蘇步青（1902—2003年）也愛寫詩。現各摘取兩首：

蘇步青《游七七亭》

單衣攀路徑，一杖過燈汀。

護路雙雙樹，臨江七七亭。

客因遠游老，山是故鄉青。

北望能無淚，中原戰血腥。

蘇步青《南雁蕩山愛山亭晚眺》

愛山亭上少淹留，煙繞村耕欲漸休。

牛背只應橫笛晚，羊腸從此入山幽。

云飛千嶂風和雨，灘響一溪夏亦秋。

長憶春來芳草遍，夕陽渡口系歸舟。

華羅庚《數學詩題》

（一）

巍巍古寺在山林，不知寺內幾多僧。

三百六十四只碗，看看周遭不差爭。

三人供食一碗飯，四人同吃一碗羹。

請問先生明算者，算來寺內幾多僧？

（二）

小小寞湖有新蓮，婷婷五寸出水面。

孰知狂風荷身輕，忍看素色沒波漣。

漁翁偶遇立春早，殘卉離根二尺全。

借問英才賢學子，荷深幾許在當年？

蘇老的詩渾厚深沉而又格律嚴謹，很有杜甫的風格。華老的詩不僅充滿數學機理，而且還頗帶幾分禪意。

（6）數學和語言

在研究語言中發展了數學，產生了不少交叉學科，如代數語言學、統計語言學、應用數理語言學等。馬爾可夫（Andrei Andreevich Markov，1856—1922年）在俄語字母序列的數學研究中，提出了隨機過程論，今已成為獨立的數學分支。句法的形式化分析也可借助于數學。前蘇聯數學家庫拉金娜用集合論方法建立了語言模型，精確地定義了一些語法概念。數理邏輯學家巴希勒（Bar-Hillel）提出了范疇語法，建立了一套形式化的句法類型及演算法則，通過有限步驟，可以判斷一個句子是否合乎語法。另外，語言符號的冗余性可用信息論的方法去研究，語言符號的離散性可借助于集合論模型來研究，語言符號的遞推法可用公理化方法去研究，語言符號的層次性可借助于圖論去研究，語言符號的模糊性與模糊數學發生了聯系，語言符號的非單元性又與數理邏輯發生了聯系等。

典型例子是《靜靜的頓河》的作者考證。該書出版時署名作者為肖洛霍夫（MихаилАлександрович Шолохов，1905—1984年）。出版后有人懷疑肖洛霍夫抄襲了克留柯夫的作品，為弄清楚誰是《靜靜的頓河》的真正作者，捷澤等學者采用數學方法進行了考證。從句子的平均長度、詞的選用、結構分析、用詞頻率等進行統計與分析，最后得出結論，該書作者的確是肖洛霍夫。

數學科學應用的極其廣泛性正如我國數學家華羅庚所指出，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在，凡是出現“量”的地方就少不了用數學，研究量的關系，量的變化，量的變化關系，量的關系的變化等現象都少不了數學。數學之為用貫穿到一切科學部門的深處，而成為它們的得力助手與工具，缺少了它就不能準確地刻畫出客觀事物的變化，更不能由已知數據推出其他數據，因而就減少了科學預見的精確度。

（四）推理的嚴謹性和結論的明確性

數學定義的準確性，數學推理的邏輯嚴密性，數學結論的確定性是無可置疑的。數學真理本身是不容置疑的，但數學科學的嚴格性不是絕對的、一成不變的，數學的基本原則不是一勞永逸的，而是在不斷發展著。

為追求確定性的知識，許許多多的學者都把目光投向了數學科學，投向了歐幾里得創立的幾何公理化方法，企圖借鑒數學方法，從其他學科領域里也獲得確定性的知識。美國的《獨立宣言》和法國的《人權宣言》都滲透著公理化思想。

數學推理的進行具有這樣的精密性，這種推理對于懂得它的人來說，都是無可爭辯和確定無疑的。數學證明的這種精密性和確定性，人們從中等學校的課程中就已知道。當然數學的嚴格性不是絕對的，它在不斷發展著；數學的原則不是僵立不動的而是不斷變化的，并且也可能成為甚至已經成為科學爭論的對象。

關于數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標準，從歐幾里得幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關于嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理”以后，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的。

（五）數學科學的其他特性

從數學科學研究的過程、數學與其他學科之間的關系方面來看，數學科學還有形象性、似真性、擬經驗性、可證偽性等特點。對數學科學特點的認識也是有時代特征的，關于數學的似真性，波利亞（George Polya，1887—1985年）在《數學與猜想》中指出：“數學被人看做是一門論證科學。然而這僅僅是其一個方面，以最后確定形式出現的定型數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而數學科學的創造過程與任何其他知識的創造過程一樣，在證明一個數學定理前，你先得猜測這個定理的內容，在完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，把觀察到的結果加以綜合然后加以類比。你需要一次次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明，但這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，則就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”正是從這個角度，可以說數學科學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性、可證偽性特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析、比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。

此外，數學語言與通常語言有重大區別，它把自然語言擴充、深化，而變為緊湊、簡明的符號語言。這種語言具有國際性，其功能超過了普通語言，具有表達與計算功能。同時具有公理化特性，從前提、數據、圖形、不完全和不一致的原始資料出發進行推理，這就是公理化方法。在使用這種方法時，歸納與演繹并用。還有最優化，考查所有的可能性，從中尋求最優解。數學模型的應用是數學另一特性，對現實現象進行分析。從中找出數量關系，化為數學問題，并予以解決。

總之，數學的特征表述各異，看法眾多，或許數學科學的魅力就在于此。