任務3 數學分析：輪式移動機器人的運動學模型

智能移動機器人的控制模塊的主要任務之一是處理機器人的運動問題。為了得到良好的運動控制效果，必須對機器人的相關運動進行明確的數學描述。

1.兩輪差動移動機構運動學模型

如圖2.17所示，在世界平面坐標系XOY中，機器人的位置坐標和姿態可以唯一確定。同時以機器人為中心建立機器人本體坐標系X'O'Y'，因此，機器人的運行速度在世界平面坐標系XOY中可表示為直線運動速度Vx、Vy和旋轉運動角度ω。

設車輪的半徑為r，兩輪間距2d=l，初向角為θ。若右輪的轉動角度為ωr，左輪的轉動角度為ωl，車輪著地點的速度分別為Vl（左輪）、Vr（右輪），則可得

設兩輪軸線的中點為機器人的形心，則機器人的平移速度和角速度分別為

Vx=0

其中，若ω=為正，則機器人逆時針運轉，否則為順時針運轉。

運動參數（Vx,Vy,ω）可以表現為從場地坐標系（世界坐標系XOY）所觀察到的固結在機器人上的坐標系（X'O'Y'）隨時間變化的函數。由于機器人在平移的過程中Vx方向始終為0，所以只要計算Vy方向的運動量即可，于是就有以下的公式演算。

反推可獲得

假設機器人的轉彎半徑為ρ，則

對于兩輪獨立驅動機器人，通過左右車輪的反向運動（Vr+Vl=0）能實現方向變換（ρ=0）。

2.三輪全向移動機構運動學模型

如圖2.18所示，三輪全向移動機器人的3個車輪按照120°均勻分布。設車輪的半徑為r，機器人中心到車輪的距離為d，從位于右方的車輪計起，按逆時針方向3個車輪的轉角分別為φ1、φ2、φ3，初向角為θ1、θ2、θ3，機器人借助這3個車輪的特殊結構可實現任意方位的運動。

設機器人的中心以速度V做平移運動，同時做旋轉運動，則距離旋轉中心d的車輪處的速度為dω，則車輪i的著地點的速度Pi為機器人中心的平移速度與車輪i轉動的切向速度（ei）之和。即

其中分別為各車輪旋轉方向對應的單位矢量。

根據各個車輪的轉動所獲得的速度等于其內積，可得各車輪的旋轉速度與機器人速度之間的關系式為

3.四輪全向移動機構運動學模型

如圖2.19所示，四輪全向移動機器人一般在空間內按照90°均勻分布。和三輪機器人類似，初向角為θ1、θ2、θ3、θ4，轉角為φ1、φ2、φ3、φ4。可得到各個車輪的旋轉速度與機器人速度之間的關系式為（其中，φ1、φ2、φ3、φ4均大于0）