3.2 外力偶矩、扭矩與扭矩圖

本節首先介紹如何由軸傳遞的功率和轉速計算外力偶矩，然后講述如何根據平衡原理，利用截面法確定內力——扭矩。

工程實際中，往往并不直接給出作用于軸上的外力偶矩，而是給出軸所傳遞的功率和軸的轉速。設外力偶矩Me（單位為N?m）作用于軸上，輸入到軸上的功率為P（單位為kW=103 N?m/s），軸的轉速為n（單位為r/min），則由功率與力偶做功的關系：

得

作用于軸上的所有外力偶矩都確定后，即可利用截面法來研究橫截面上的內力——扭矩。

以圖3-2（a）所示受一對外力偶作用的圓軸AB為例，用截面法求任一截面n-n上的內力：

（1） 假想將圓軸沿橫截面n-n截開分成兩部分I和II，如圖3-2（b）所示。

（2） 取任一部分研究其受力平衡，如取圖 3-2（b）所示左側部分 I，為滿足平衡條件，橫截面n-n上的分布合力應合成為一力偶矩，稱為扭矩（torque），用T表示，單位為N·m或kN·m。可見桿件受到外力偶作用而發生扭轉變形時，在桿的橫截面上產生的內力為扭矩。由平衡方程

∑Mx=0， T?MeA=0

得

T=M eA

若取右側部分II為研究對象，仍然可以得到截面上的扭矩T=MeB=MeA，但其方向剛好與左側部分截面上的扭矩相反，如圖3-2（b）所示。

為了使同一截面左右兩部分桿件上的扭矩不但數值相等，而且符號相同，通常將扭矩的符號進行統一規定：按右手螺旋法則將T表示為矢量，當矢量方向與截面外法線方向相同時為正，反之為負，如圖3-3所示。根據這一規定，圖3-3中同一截面左右兩部分上的扭矩大小相等，符號一致，都是正的。

當作用于軸上的外力偶多于兩個時，不同橫截面上的扭矩不盡相同，于是可將扭矩寫成橫截面位置的函數（稱為扭矩方程）。此時往往用圖線表示各橫截面上扭矩沿軸線的變化情況。圖中以沿軸線的橫坐標x表示橫截面的位置，取扭矩為縱坐標，這樣繪出的圖稱為扭矩圖（torque diagram）。下面通過例題說明扭矩圖的繪制。

例題圖3-1（a）所示傳動軸的轉速n=300 r/min，主動輪A的功率PA=400 kW，3個從動輪的輸出功率分別為PC=120kW, PB=120kW, PD=160kW，試作該軸的扭矩圖。

分析：除了軸的兩端外，還在中間作用有集中力偶矩，所以整個軸的扭矩不同，應分為三段分別利用截面法求解。另外，在確定外力偶矩的轉向時，應注意主動輪上外力偶矩的轉向與軸的轉向相同，而從動輪上外力偶矩的轉向則與軸的轉向相反，這是因為從動輪上的外力偶矩是阻力偶矩。

解：

（1） 利用式（3-1）計算主動輪和從動輪上的外力偶矩，即

（2） 應用截面法，分別用假想的任意截面1-1、2-2、3-3將軸截斷，并假設所截開橫截面上的扭矩符號均為正，依次取如例題圖3-1（b）、（c）、（d）所示的研究對象分析。

對于如例題圖3-1（b）所示的研究對象，由平衡方程

ΣMx=0， T1+MeB=0

得

T1=?MeB=?3.82 kN?m

對如例題圖3-1（c）所示的研究對象，應用平衡方程

ΣMx=0， T2+MeB+MeC=0

得

T2=?MeB?MeC=?7.64 kN?m

同理，由如例題圖3-1（d）所示研究對象的平衡，得

（3） 根據上述計算結果，以橫坐標x軸表示截面位置，以縱坐標表示對應截面的扭矩，作扭矩圖，如例題圖3-1（e）所示。

討論：

（1） 從例題圖3-1（e）不難看出，在中間作用有集中外力偶矩處的橫截面兩側，扭矩有突然的間斷，間斷值恰好等于集中力偶矩。該結論具有普遍意義，可以仿照桿件受軸向拉壓的情況證明：凡是集中力偶矩作用的截面上，扭矩有跳躍，截面右側與左側扭矩的差等于集中力偶矩。

（2） 請讀者計算繪制主動輪置于軸一端時的內力圖，并比較主動輪置于端部和置于中間時的扭矩最大值，思考哪種布局更合理。

當外力偶矩沿軸線以任意函數m（x）連續變化時，仍然成立與式（2-1）類似的關系：

式（3-2）表示了扭矩與分布外力偶矩之間的導數關系，它其實就是扭轉桿件內力（扭矩）的平衡微分方程，其證明同軸向拉壓桿件的情況。可以通過對上述關系積分，并結合前面提到的集中外力偶矩作用處的扭矩變化特征，來直接計算任一截面的扭矩。