3.3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)——純剪切

在研究軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形之前，本節(jié)先研究一個(gè)比較簡(jiǎn)單的扭轉(zhuǎn)問題，即薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)。這是一個(gè)純剪切的情況，可以幫助我們認(rèn)識(shí)切應(yīng)力和切應(yīng)變的規(guī)律。本節(jié)仍然根據(jù)對(duì)變形特征的實(shí)驗(yàn)觀察，獲得橫截面上的應(yīng)力特征和分布形式，然后依據(jù)靜力等效由內(nèi)力確定應(yīng)力，并在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獲得聯(lián)系切應(yīng)力和切應(yīng)變的剪切胡克定律。

圖3-4（a）為一等截面的薄壁圓筒（壁厚δ遠(yuǎn)小于其平均半徑r0，一般δ≤r0/10）為了觀察其變形特征，受扭前先在圓筒表面畫上縱向線及圓周線。當(dāng)圓筒兩端加上一對(duì)力偶Me后，可以觀察到，如圖3-4（b）所示：各縱向線仍為直線，且均傾斜了同一微小角度γ；各圓周線的形狀、大小和之間的間距都沒有變化，只是繞軸線轉(zhuǎn)了不同角度。由此說明，圓筒橫截面及含軸線的縱向截面上均沒有正應(yīng)力，即橫截面上只有切應(yīng)力τ，它沿圓周方向，并組成與外力偶矩Me相平衡的內(nèi)力系。因?yàn)楸”诘暮穸?span id="7eefg9t" class="italic">δ很小，所以可以認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布，又因在同一圓周上各點(diǎn)情況完全相同（軸對(duì)稱），即切應(yīng)力相同，如圖3-4（c）所示。這樣，任一橫截面上的切應(yīng)力對(duì)圓筒軸心的力矩為2πr0δ?π?r0。由平衡方程∑Mx=0，得

用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)縱向截面從圓筒中取出邊長(zhǎng)分別為dx、dy（無限小）和δ（有限大）的六面體，如圖3-4（d）所示，其左、右兩側(cè)面是橫截面的一部分，上面有等值反向的切應(yīng)力τ，組成一個(gè)力偶矩為（τδdy）dx的力偶。為了保持平衡，六面體的上、下面上必存在等值反向的切應(yīng)力τ′，并組成一力偶。由ΣMz=0，得

式（3-4）表明：在互相垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等；兩者均垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則同時(shí)指向或同時(shí)背離這一交線。這就是切應(yīng)力互等定理。由上述六面體沿筒厚度δ方向任意截取無限小長(zhǎng)度dz的微小單元體dxdydz，仍然可以證明該結(jié)論。后面將進(jìn)一步證明：該定理對(duì)任意受力狀態(tài)都成立，即任一點(diǎn)處沿兩個(gè)相互垂直的平面上的切應(yīng)力均具有該性質(zhì)。

如圖3-4（d）所示的六面體的四個(gè)側(cè)面上，只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力作用，這種受力情況稱為純剪切。

觀察薄壁圓筒上由縱向線及圓周線組成的方格在外力偶作用下的變形[見圖3-4（b）]可以發(fā)現(xiàn)：變形后圓筒兩端發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，原來的方格變成了傾斜的平行四邊形，即原來相互垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)微量γ，在圖3-4（d）所示的六面體上也同樣可以顯示該變形特征，按照式（1.4）的定義，γ就是切應(yīng)變。若?為圓筒兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，l為圓筒的長(zhǎng)度，切應(yīng)變γ為

通過薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)：切應(yīng)力低于剪切比例極限時(shí)，扭轉(zhuǎn)角 ?與外力偶矩 Me成正比，如圖3-5（a）所示的低碳鋼薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)曲線。由式（3-3）和式（3-5）可知，切應(yīng)力τ與Me成正比，切應(yīng)變γ與扭轉(zhuǎn)角?成正比。因此由圖3-5（a）便可作出圖3-5（b）所示的τ-γ曲線，其中OA為一直線端，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力τp為剪切比例極限。這表明：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)變γ與切應(yīng)力τ成正比，可以寫為

式（3-6）稱為材料的剪切胡克定律（Hooke's law in shear），式中比例常數(shù)G為材料的剪切彈性模量（shear modulus of elasticity），其量綱與彈性模量E的相同，單位為Pa。其值隨材料而異，鋼材剪切彈性模量約為80 GPa。

至此，我們已經(jīng)引入了三個(gè)彈性常量，即彈性模量E、泊松比ν、剪切彈性模量G。值得指出的是，對(duì)各向同性材料三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系：

可見，三個(gè)常數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，知道任意兩個(gè)，就可確定另一個(gè)。上述結(jié)論將在第 7 章給出證明。