一般來說，老師教會學生加法運算以后，就會馬上讓他們學習減法運算，這恐怕是世界各地數學教育通用的教學方式了。因為加法運算和減法運算所用到的數學技巧基本一樣，逆轉加法運算的過程就是減法運算了。減法運算最大的難點是“借位”，學會了“借位”的技巧，做減法就變得輕而易舉了。實際上，加法中已經有了“進位”的技巧，減法中的“借位”就是加法中“進位”制運算過程的逆運算。如果你會做23＋9的運算，那么23－9的運算也應該很容易掌握。

但實際上，問題并不是這么簡單。如果我們在一個更深的層次上探究這個問題，就會發現，減法運算其實給我們制造了一些加法運算中不會出現的復雜問題：減法會產生負數。如果你只有2塊曲奇餅干，而我非要從你那里拿走6塊曲奇餅干，會產生什么樣的結果呢？顯然，現實中我無法成功地拿走6塊曲奇餅干，因為你根本沒有那么多塊餅干。但是，從理論上來說，我完全可以從你那里拿走6塊曲奇餅干，而你則剩下負4塊餅干（先不討論負4塊餅干有什么含義）。

減法的出現，使得人類不得不擴展我們對數字的認識。負數的概念要比正數的概念抽象得多——從來沒有人見過負4塊曲奇餅干長什么樣子，更加沒法吃到負4塊曲奇餅干——但是，通過抽象的思維，我們可以想象出負4塊曲奇餅干。實際上，要想在數學的世界中繼續前進，你就必須學會想象負4塊曲奇餅干的概念。日常生活中，負數的概念無處不在，從我們的個人債務到銀行賬戶的欠款；從零攝氏度的溫度到地下的停車場，這些都會涉及負數。

雖然我們都聽說過并且時常接觸負數的概念，但很多人對負數的真正含義仍然一知半解。我的同事安迪·魯伊納曾向我指出，在日常生活中，人們其實一直在使用各種各樣有趣的途徑，千方百計地繞過令人害怕的負數。在共同基金發給客戶的賬單上，虧損的數額通常用紅色字體來表示，或者是加上括號以區別于贏利的數字，這些小技巧都是為了避免負號的出現。在歷史書上，愷撒大帝的出生年份被表示為公元前100年（100 B.C.），這也是為了不寫出－100這個令人不安的數字。地下停車場所處的樓層被標記為B1層（地下一層）、B2層（地下二層）等，因為人們不喜歡看到－1層、－2層這樣的標示。溫度的表示恐怕是唯一的例外，人們有時確實會說：室外溫度是－5攝氏度（至少在我居住的美國紐約州伊薩卡市，人們會這么說，不知道世界其他地方的人是怎樣表述零攝氏度以下的溫度的）。小小的負號好像帶著某種令人恐懼的魔力，負號是如此“負面”，以致大家總是唯恐避之不及。

比負號更加令人不安的是“負負得正”的奇怪法則：負數乘以負數居然會得到一個正數！我想，我有必要試著向大家解釋一下“負負得正”法則背后的玄機。

當我們用一個負數乘以一個正數的時候，這個算式的意思到底是什么呢？比如，我用（－1）×3，這到底是一種什么樣的運算呢？我們都知道1×3的意思很簡單，就是1＋1＋1，那么以此類推，（－1）×3的意思自然應該是（－1）＋（－1）＋（－1），所以（－1）×3應該等于－3。如果你對此還有任何疑問，我們可以用借錢和還錢來進行一個類比：如果你每周向我借1元錢，那么3周以后你一共欠我3元錢，這應該很容易理解。

理解了（－1）×3的意思，我們只要再進一步，就能理解為什么會有“負負得正”的規律?？纯聪旅孢@幾行算式：

（－1）×3=－3

（－1）×2=－2

（－1）×1=－1

（－1）×0=0

（－1）×（－1） =？

看一下這些等式右邊的數字，它們有什么規律呢？很顯然，這些數字是逐漸增加的：－3，－2，－1，0……每個算式的得數比上一個算式的得數增加1。所以，從邏輯上來說，(－1）×（－1）的得數必須是1，對嗎？

這是（－1）×（－1）=1的解釋方法之一。這種解釋方法的優點是，它保留了正常數學運算的規律：適用于正數的規律也應該適用于負數。

如果你是一位冥頑不化的實用主義者，你可能會問：現實生活中真的是“負負得正”嗎？這種規則在現實生活中，真的有對應的現實意義嗎？我不得不承認，很多時候“負負得正”的規則似乎并不適用。傳統智慧總是教育我們要亡羊補牢、迷途知返，因為“兩個錯誤的行為并不能互相抵消為一個正確的行為”，錯上加錯的行為只會使結果越錯越厲害。在語言上，也有很多“負負不得正”的例子，有時候兩次否定仍然表示否定的意思，比如：在英語中，“I can’t get no satisfaction”表示的意思是“我不滿意”。（寫到這里，我不得不感嘆語言是一種多么玄妙的東西，牛津大學的杰出語言哲學家J·L·奧斯汀曾經做過一次語言學的講座。講座中，奧斯汀指出：在很多語言里，雙重否定表示肯定，但沒有任何語言里的雙重肯定會表示否定的意思。對此，聽眾席中的哥倫比亞大學哲學家西德尼·摩根貝沙在臺下諷刺地回應道：“說得對，說得對！”）

但是，在現實生活中，仍然有很多“負負得正”的例子存在著。一個神經元細胞發出的指令可以被另一個神經元細胞發出的指令所抑制。如果第三個神經元細胞發出的指令又抑制了第二個神經元細胞，那么第一個神經元細胞就可以再次發出指令。在這個例子中，第三個神經元細胞發出的指令雖為抑制指令，但對第一個神經元細胞來說，其效果實際上是“興奮”或者“解除抑制”，這就是雙重抑制等于興奮的一個“負負得正”的例子。在基因和蛋白質的互動過程中，也有這樣“負負得正”的例子：有時候，基因片段會因某些分子的抑制作用而不能發展、起作用；而特定的蛋白質可以將這些有抑制作用的分子抑制住，于是基因片段又可以起作用了。

如果說這些生物學的例子是抽象的，那么我還想到了一個更好、更直接的政治學和社會學的例子。俗語說：“我的敵人的敵人就是我的朋友”，與此相關的說法還有“我的敵人的朋友就是我的敵人”、“我的朋友的敵人就是我的敵人”等。這些十分繞口的話其實都可以用一個三角圖形來清楚地表示。

在下圖中，圓圈表示關系中的各方。在這一圖形中，各方可以是個人和個人、公司和公司，也可以是國家和國家。連接圓圈的線段表示雙方之間的關系，正面的朋友關系用實線表示，負面的敵對關系用虛線表示。

在社會學中，左圖的關系被稱為“均衡關系”。在這幅圖中，各方之間都是朋友關系，任何一方都沒有理由改變態度，因為與朋友的朋友保持友好關系是很自然、很正常的一件事，這個關系網是穩定的。同樣，右圖呈現的這種一條實線、兩條虛線的關系圖也是一種“均衡關系”，這幅圖中的關系網也是穩定的。雖然圖中表述的是敵對關系，但是沒有矛盾和不穩定的地方。要知道，共同的敵人永遠是穩固友誼的基石。

當然，三角形的關系圖也可能會出現不穩定的“非均衡關系”。例如，如果三角形中的三方彼此都是敵對關系，那么這樣的關系圖就是不穩定的：矛盾相對較小的兩方往往傾向于聯合起來共同對抗第三方。

還有一種更不均衡的三角形關系圖，那就是圖中只有一條虛線。例如，卡羅爾和愛麗絲是朋友，同時，卡羅爾和鮑勃也是朋友。但是，鮑勃和愛麗絲卻是敵人。比如，鮑勃和愛麗絲兩人曾經是情侶，卻因分手導致關系破裂，如今鮑勃和愛麗絲都向自己的朋友卡羅爾抱怨對方。不難理解，這種情況會給整個朋友圈帶來極大的心理壓力。要使這個關系網恢復平衡，要么鮑勃和愛麗絲的關系緩和，要么卡羅爾與雙方中的一方決裂，站到另一方的陣營中去。

不管是上述的哪一種情況，關系圖的平衡與否都與乘法有著很大的關系。如果任意兩邊符號的乘積（無論正負）等于第三邊的符號，那么這個三角關系就是穩定的。而在不穩定的三角形關系圖中，兩邊符號的乘積和第三邊的符號是相反的。

這些關系網背后的含義我們暫不談論，即使我們從一個純數學的角度來審視這些關系網，也會發現一些有趣的問題?？紤]一個多邊的關系網，假設網絡中的每一方都認識其他各方，讓我們來考慮這樣一個問題：哪些關系結構是穩定的？顯然，“各方都友好”是一個很穩定的網絡結構：網絡中的各方彼此之間都是朋友關系，網絡中的每一個三角形都是均衡的（三邊均為實線），所以，這個關系網肯定是穩定的。比較不容易想到的是，穩定的關系網絡結構并不只這一種。比如，“冷戰”也是一種穩定的關系結構：網絡中的所有人分為兩大敵對陣營（兩個陣營可以是任意大小、任意組成形式的），同一陣營里的所有人互為好友，而與對方陣營里的每個人都互為敵人（這種情況恐怕相當常見）。事實上，這種兩級化的“冷戰”關系網是非常穩定的，這是唯一一種穩定性能和“各方都友好”型關系網相媲美的關系結構。因為我們不難驗證，任何分出3個陣營的關系網都會使關系網中的某些三角形處于不均衡狀態。

很多歷史學家用這種關系網絡的模型來分析第一次世界大戰前的國際形勢，1872~1907年間，英國、法國、俄國、意大利、德國和奧匈帝國之間的關系發生過多次反復：一時結成聯盟，一時又翻臉反目。這些關系的變化都可以用下圖的關系網絡表示出來。

經過分析可以看出，前5幅關系圖都是不均衡、不穩定的關系圖，因為每幅圖中至少有一個三角形是不均衡的。為了解決相互關系中的不均衡性，這6個國家不斷地重新結盟或關系破裂，但每次的變化又造成了關系網中新的不均衡性。最終，在第6幅圖中，歐洲分裂成了兩個勢不兩立的敵對陣營，這樣的關系網絡在理論上是穩定的，但兩大陣營的敵對關系最終把整個歐洲拖進了戰爭的深淵。

舉這個例子，并不是為了說明關系網絡的模型有多么強大的預測能力，事實上，這種模型的預測能力并不強大，穩定的關系網也不能避免戰爭的發生。在這里，我想說明的是，這些復雜的國際關系變化在很大程度上都基于一個非常簡單的道理：“我的敵人的敵人就是我的朋友”，而這個道理其實就是乘法運算中最基本的“負負得正”法則。只要能從紛繁復雜的表象中提煉出事物的抽象本質，負數運算這種看似與現實世界關系不大的數學技巧，其實可以幫助我們解開很多現實生活中的難題，看清很多現象背后的必然趨勢。