就像世界上的其他東西一樣，算術有它嚴肅性的一面，也有它趣味性的一面。

對于算術嚴肅性的一面，你可能已經非常熟悉了，不外乎是我們在學校里數學課上學到的內容，以及日后我們在工作中用到的算術：如何處理一列列的數字，如何把它們相加，如何把它們相減，如何把它們放進表單里進行計算，如何處理稅務報表和年終報表上的數字等。算術嚴肅性的一面當然是非常實用的，也是非常必要的，但對大多數人來說，它也是枯燥無味、毫無樂趣的。

算術趣味性的一面是怎樣的呢？大部分人對此都非常陌生，除非你接受的是培養高級數學家的數學教育。但其實，這并不像你想的那么高深莫測，只要擁有孩子般的好奇心，算術趣味性的一面就是一些十分自然、十分簡單的內容。

在保羅·洛克哈特的著作《一個數學家的嘆息》中，作者認為，在兒童教育中，教師應該用一種更具體的方式向孩子們展示數字的概念。他認為，應該讓孩子們把數字想象成一組組石頭。比如，數字6就是如下圖所示的一組石頭。

現在，你可能會覺得這種表示方法沒什么意思，把數字表示成一組組石頭，又能怎么樣？這組石頭和那組石頭有什么區別嗎？好吧，把數字表示成一組組石頭確實不是什么驚人的創舉，但是，先別著急下結論，讓我們來挪動一下這些石頭，情況可能就會大不一樣。別忘了，人類的創造性不是表現在我們有什么東西，而是表現在我們如何使用所擁有的東西上。

比如說，我們把著眼點放在分別有1~10塊石頭的組別中。在這10組石頭里，哪幾組石頭可以被擺成一個正方形呢？顯然，只有兩組可以，那就是4塊石頭那一組和9塊石頭那一組。為什么呢？因為4=2×2，9=3×3。4和9這兩個數字是其他數字的平方，所以能夠被擺成一個正方形，這樣的數字我們稱之為“平方數”。

下面，我們再來看另外一個問題：在這10組石頭中，有哪幾組可以擺成一個兩行，并且每行的石頭數量一樣多的長方形？這個問題也不難吧：2、4、6、8、10都可以，因為它們都是能被2整除的偶數。而剩下的5個數字——也就是奇數，就不能擺成石頭數量相同的兩行，不信你試試看，一定會有一塊石頭多出來。

但是，如果把上圖中的任意兩組石頭拼在一起，兩組石頭就可以組成一個規則的長方形。抽象成數學規律，那就是：奇數＋奇數=偶數。

好，現在讓我們把上面的游戲規則放寬一些：我們不僅考慮10以下的數字，也考慮大于10的數字；同時，拼長方形的時候，我們不要求石頭一定要擺成兩行，我們也接受行數多于2的長方形。在這樣的條件下，我們可以發現，有些石頭數量為奇數的組也能被擺成規則的長方形。比如，15塊石頭的一組可以被擺成一個3乘以5的長方形。

于是，我們可以看出，雖然15毫無疑問是一個奇數，但它也是一個“可以被分解的數字”：15可以被分解為3個“5”。這樣的數字我們稱之為“合數”。與15一樣，乘法表上的任何一個數字都可以被擺放成一個完整的長方形。

然而，我們不難發現，有一些數字，無論你怎么擺放，都不可能擺出一個完整的長方形（此處我們假設1行不算是一個長方形，兩行或兩行以上才算作長方形）；無論你擺幾行，總是會有多出來的石頭。這些數字“脾氣”古怪，完全無法被分解，除了把它們擺成一行以外，我們拿它們完全沒轍。這類“脾氣古怪”的數字就是我們常說的“質數”。

看，不同的數字的確有不同的結構特點，這些結構特點就是數字的“性格”和“脾氣”。但是，為了充分了解數字的行為特點，我們不能只研究一個個孤立數字的性質，我們需要把它們擺放到一起，看看數字是如何相互作用的。

我們已經知道，奇數＋奇數=偶數，那么如果從1開始，把連續的奇數相加，會發生什么呢？

1＋3=4

1＋3＋5=9

1＋3＋5＋7=16

1＋3＋5＋7＋9=25

你有沒有發現，這些連續奇數的和總是一個平方數（在前面的討論中，我們已經介紹了平方數的概念，比如4和9就分別是2和3的平方，而且4×4=16，5×5=25，所以16和25也是平方數）。你可以很容易地驗證，當你繼續加上更大的連續奇數，這個規律仍然成立。事實上，這條規律是沒有界限的，你可以一直往上加到正無窮大，從1開始的連續奇數的和永遠會是一個平方數。那么，為什么會有這樣的規律呢？這些帶著難看的附屬物、永遠也擺不整齊的奇數，為什么會和絕對對稱、煥發著古典平衡美光芒的平方數扯上關系呢？其實，只要把一組組石頭按照正確的方式擺放，這條看似奇怪的規律就會變得十分明顯。千萬別小看排列石頭的這種技巧，它就是優雅的數學證明的雛形 ！

其實，這其中的關鍵點是一個很簡單的事實：所有奇數塊的石頭都一定可以擺成一個橫邊和豎邊一樣長的L字形。只要把多出來的那塊石頭放在L字橫邊和豎邊的交界處，然后把剩下的石頭分成相同數量的兩組，分別作為L字的橫邊和豎邊就可以了。然后，只要你把邊長分別相差1的幾個等邊L字形疊加在一起，一直疊加到邊長為1的L字形為止，你就一定會得到一個正方形?？戳讼旅娴膱D形，應該就一目了然了。

這種化數字為圖形的思維方式，在最近出版的另一本書籍中也有應用，當然這本書和《一個數學家的嘆息》一書的性質和寫作目的都有很大的不同。小川洋子的小說《博士最愛的公式》講述了一個非常引人入勝的故事：一名聰明能干但沒受過多少正規教育的年輕家政女工和她10歲的兒子受雇照料一位年邁的數學家。這位數學家腦部遭受了創傷性損傷，導致他只有80分鐘的短暫記憶，這位缺失長期記憶的數學家因此只能過著一種奇怪的“活在當下的”生活。他終日困坐在自己的小房間里，除了數字，他已經什么都沒有了。出于想與人交流的本能，這位數學家試圖和這位家政女工進行溝通，但是他所掌握的語言只剩下數字了，所以他只能通過詢問家政女工的鞋碼和生日等數字，并對這些數字進行奇怪的數學分析來達到交流的目的。同時，數學家很喜歡家政女工的兒子，他給這個小男孩起了個昵稱叫“根號”，因為小男孩的頭頂十分扁平，使數學家想到了根號的形狀。

有一天，數學家給“根號”小朋友出了一個小小的題目，他說：“根號，你能算出1到10這10個數字的和嗎？”

經過認真的加法運算，“根號”小朋友回答說：“答案是55?！?

數學家又問他：“有沒有什么更巧妙的算法，能不做加法就直接得到答案呢？”

“根號”小朋友有些生氣，他踢著椅子大叫道：“不能做加法？這也太不公平了吧！”

有趣的是，這位聰明的家政女工自己卻慢慢地被數字的世界所吸引，她開始悄悄地試著解開數學家出的這道謎題。這個家政女工說：“我也不知道自己為何會被小孩子的數學題所吸引，這些問題千奇百怪，看起來也沒有什么實際的價值，似乎只是小孩子的游戲罷了。一開始，我是有意識地想取悅我的這位古怪的雇主。但是慢慢的，這種功利的目的已經被我拋到腦后了，我只是單純地在和這些題目較勁兒，非要把它們解出來。早晨，我一覺醒來，頭腦中第一個出現的問題居然是數學家給出的這個算式：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55。而且，這個算式一整天都在我的腦子里轉來轉去。這個算式就像刻在了我的頭腦中，無論如何我都不能擺脫它?！?

實際上，這位數學家給出的這道小謎題可以有多種解法。（試試看，你能找出幾種？）在小說接下來的情節中，數學家自己給出了這樣的解法：他說，1到10這10個數字可以看作一組組的石塊，這些石塊可以被擺成一個三角形，第1行是1塊石頭，第2行是2塊石頭，以此類推，第10行是10塊石頭。

上圖有什么明顯的特點？那就是這個長方形看起來不完整，似乎只有1/2；而缺失的另外1/2正好給了我們發揮創造力的空間。如果我們把圖中的三角形復制一下，再顛倒一下，拼接到空白的地方，那么這個不完整的長方形就被我們補齊了。補齊后的矩陣形式更加簡單：它是一個由10行石塊組成的長方形，每一行有11塊石頭，顯然，補齊后，石頭的總數是110塊。

我們知道，補全為長方形后，石頭的總數增加了一倍。也就是說，原來的石頭的塊數是現在的1/2，用110除以2，我們就可以輕松地知道原來石頭的塊數是55塊。

這種借助擺石頭來做算術的方法，可能看起來有些奇怪，但其實這是一種非常古老的計算手段，數學有多長的歷史，這種擺石頭算法的歷史就有多長。熟悉語言學的讀者應該知道，計算一詞，英文中叫作calculate，這個詞是由拉丁語詞匯calculus演化而來的，calculus在拉丁語中的意思正是“計算用的鵝卵石”。要體會計算的樂趣，領略數學的美妙，你并不需要愛因斯坦般的天賦（“愛因斯坦”在德語中的意思是“一塊石頭”），但手持一些小石塊確實能夠幫助你更直觀、更形象地理解一些巧妙的計算方法。