數字的起源是什么？究竟什么是數字？我們為什么要發明數字？關于這個問題，我看過的最好的解釋來自幼兒教育動畫片《芝麻街》。在名叫“一二三，跟我數”的那一集里，粉紅皮毛、綠色鼻子的漢弗萊先生在“毛絨武器”飯店做午餐服務員。我們可愛的漢弗萊先生接到了一群企鵝的訂餐電話，接完電話以后，漢弗萊認真地把訂餐信息傳遞給了廚房，他大喊道：“魚，魚，魚，魚，魚，魚。”在接下來的劇情中，我們的另一位主人公厄尼向漢弗萊介紹了如何用數字6更好地總結訂單的信息。對于“為什么要發明數字”這個問題，這是我聽過的最簡單、最生動，也是最有趣的答案。

從這個動畫故事里，孩子們認識到數字是一種方便好用的工具。如果沒有數字，6只企鵝的訂餐信息就只能表示為“魚，魚，魚，魚，魚，魚”，如果有更多只企鵝訂餐，我們的漢弗萊先生恐怕就招架不住了。但是，只要發明了數字，不管有多少只企鵝訂餐，都可以很清楚簡潔地用數字表示出來。

對于成年人來說，雖然數字的發明讓我們不必浪費時間重復叫喊，但是數字卻有一個很大的缺點，那就是它的抽象性。數字6比6條魚要抽象得多，它不僅可以表示6條魚，還可以表示很多其他的東西：6個盤子、6只企鵝、句子“魚，魚，魚，魚，魚，魚”中“魚”字的數量，諸如此類。數字6是所有這些東西的高度抽象化的表達。

從這個角度來看，數字不再是動畫片里淺顯易懂的概念了，它的抽象性為它蒙上了一層神秘的色彩。數字仿佛是柏拉圖理想國里的某種玄而又玄的東西，它抽象而神秘地存在于現實生活中。從這個層面來看，數字不像是我們日常生活中接觸到的各種實實在在的事物，而是與“真理”、“正義”之類的東西一樣，是一種高高在上的抽象概念。你越是從哲學的角度上思考數字的概念，越會覺得它仿佛是一團看不透徹的迷霧：數字到底是從哪兒冒出來的？是我們人類發明了數字，還是數字本來就客觀地存在于自然界中，只是被我們人類發現了而已？

如果你再進一步考慮一下數字的“性質”，就會覺得問題變得更加微妙了。正如其他數學符號或數學概念一樣，數字也有自己的“生命”和“行為模式”。我們人類無法操控數字的性質和行為模式。即使數字是存在于人類的思維之中的，但一旦它們被定義出來，我們就再也無權干涉它們的行為和性質了。數字服從于某些特殊的規律，有自己的特殊性質，它們要以特定的方式與另一個數字結合，這就好像一個人有自己獨特的個性一樣。人類完全無法改變數字的這些性質，我們只能默默地觀察它們的“行為”，試圖了解和學習它們的“性質”。在這個意義上，數字就好像我們頭頂的繁星，又好像微觀世界里的原子，它們都在冥冥之中服從于某些神秘的客觀規律，這些規律不以我們人類的意志為轉移。當然，不同的是，繁星和原子客觀地存在于我們人類社會以外，而數字似乎只存在于我們的腦海之中。

是的，數字的確具有這種神秘的雙重性：它既方便實際，又神秘莫測；它既是6條魚、6個盤子那類具體的東西，又是比繁星和原子更為縹緲虛幻的抽象存在；它既是最實用直觀的工具，又是理想國里的抽象概念。也許正是數字的這種奇妙的特性，才使得它成為我們人類歷史上最有用的工具之一。著名的物理學家尤金·維格納曾這樣寫道：“在自然科學的領域里，數學的應用是如此廣泛，數學的威力是如此巨大。數學的神通廣大、無所不至已經超出了我們人類智慧所能理解的范圍。”

也許你會覺得我有點兒言過其實，也許你會問：你所謂的數字的“生命”到底指什么？或者你為什么說“我們人類完全無法掌控數字的性質”？為了說明這個問題，讓我們回到《芝麻街》的例子中來。假設，在漢弗萊先生把企鵝們所下的6條魚的訂單傳達給廚房之前，他又接到了另一個電話：另一個房間里恰好也有6只企鵝，他們恰好也想訂6條魚。在接完這兩個電話并記下這兩個訂單以后，漢弗萊要怎么把信息傳達給廚房呢？如果漢弗萊先生還沒有得到厄尼的點撥，他就要為每一只企鵝顧客大喊一聲“魚”，喊足12聲；如果他已經學會了數字的概念，那么他就會告訴廚房：第一個訂單要6條魚，第二個訂單也要6條魚。實際上，漢弗萊先生需要的是“加法”的概念，如果他懂得加法，他就會驕傲地對廚房喊道：“我要6加6條魚。”（如果漢弗萊先生愛表現的話，他就會說：“我要12條魚。”）

這個極為有用又極富創造性的新工具就叫作加法。與數字一樣，發明加法是為了給我們提供方便：有了數字，我們便不必重復叫喊同一個名詞；有了加法，我們便不必重復說同一個數字。這便是數學發展的動力和過程：更進一步的抽象化給了我們更多的啟迪和方便，也讓數學有了更強大的力量和效用。

數數也許并不是一件多么高超的技能。很快，我們的漢弗萊先生就能學會數一位數、兩位數、三位數……用不了多久，他會發現自己可以無窮無盡地數下去。

雖然數字的邊界是無限的，但人類的能力卻是有限的。我們可以定義數字6和數學符號“＋”，但一旦我們明確了它們的定義，我們就再也不能干涉“6＋6”等于多少。不管你喜不喜歡，6＋6必須等于12。因為任何其他的答案都是不符合邏輯的。在這個意義上，數學永遠包含著兩個部分：一部分是有意為之的“發明”，另一部分是隨之產生的“發現”。我們發明了這樣或那樣的概念（比如，數字6和數學符號“＋”），然后我們又發現了這些概念所產生的結果（比如，6＋6=12）。在下面的章節中你將會看到，在數學領域，人類的自由是有限的。我們可以自由決定提出什么樣的問題，以及如何研究這些問題，但是問題的答案卻在我們的控制范圍之外，不管我們喜歡也好，不喜歡也罷，一旦問題被提出，它們的答案就已經在某個地方等著我們了。