本章小結

? 證明是一種規范、通用、精確的數學論證，從一個或多個前提開始，并使用邏輯規則推導出結論來。

? 量詞，如“對于所有的”“對于任意的”“對于每一個”“對于某些”和“存在”，規定了謂詞的范圍。

? 謂詞是一個命題模板，帶有一個或多個參數。謂詞本身既不為真也不為假，只有代入了特定的參數時才有值“真”或者“假”。

? 一個構造性證明展示了如何去尋找存在的事物。一個非構造性證明展示了事物的存在性，但沒有展示如何去尋找存在的事物。

? 算法是一個詳細而精確的過程，可以由機器（如計算機）執行。

? 為了證明兩個命題是等價的，從兩個方向分別證明通常是最容易的：要證明“p當且僅當q”需要證明“如果p，那么q”和“如果q，那么p”。

? 直接證明法從假設前提為真開始，并基于該假設推導出結論。

? 反證法從假設命題為假開始，并基于該假設推導出矛盾。

? 命題“如果p，那么q”的逆反式是“如果非q，那么非p”、反換式是“如果非p，那么非q”、逆換式是“如果q，那么p”。

? 命題和它的逆反式是等價的（而反換式、逆換式都與原命題不等價）。因此，要證明一個命題，證明它的逆反式就足夠了。

? 情況分析證明命題的方法是將命題劃分為限定的多個子命題（這些命題窮舉所有的可能性），然后分別證明每個子命題。

? 具有對稱性的論證可以避免重復幾乎相同的論證。