習題

2.1 根據定義，-1是奇數嗎？為什么是？為什么不是？

2.2 給出下列命題的反換式、逆換式以及逆反式：

如果下雨，那么我帶雨傘。

2.3 證明兩個奇數的乘積是一個奇數。

2.4 證明是無理數。

2.5 證明是無理數。

2.6 證明對于任意正整數n，是整數或是無理數。

2.7 證明存在一個正七面體模具，即七個面都相同的多面體。提示：論證過程不是嚴格的數學證明，而是基于某些直覺，即物理對象的幾何形狀在某個維度上拉伸的性質。

2.8 證明所有偶數的平方都可以被4整除。

2.9（a）證明或者給出反例：如果c和d是完全平方數，那么cd也是一個完全平方數。

（b）證明或者給出反例：如果cd是一個完全平方數并且c≠d，那么c和d都是完全平方數。

（c）證明或者給出反例：如果c和d都是完全平方數，使得c>d，并且有x²=c和y²=d，則有x>y（假設x、y都是整數）。

2.10 反證法證明：如果17n+2是奇數，則n是奇數。

2.11 評判下述證明是否正確。

x>y

x²>y²

x²-y²>0

(x+y)(x-y)>0

x+y>0

x>-y

2.12 命題“如果p，那么q”的逆反式的逆換式是什么？更簡單的等價命題是什么？

2.13 用量詞和蘊含式表達下列命題?？梢约僭O“正數”“實數”和“質數”都是已知的，而“偶數”和“不同的”需要用命題來表達。

（a）每個正實數都有兩個不同的平方根。

（b）每個正偶數都可以表示為兩個質數的和^[5]。

2.14 用非構造性證明方法論證存在無理數x和y，使得x^y是有理數。提示：考慮，分別分析兩種情況，一種是有理數，另一種是無理數。后一種情況是將其再提升次冪。

2.15 應用第1章給出的概念，解釋例2.9的證明步驟，說明當X被挑選出來時，剩下的5個人中，至少有3個人與X認識，或至少有3個人與X不認識。

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[1] 術語“構造性”很重要的意義是用于構造性數學（constructivemathematics）領域，該領域不接受任何只有存在性而無構造性的論點。在構造性數學中，不允許從一個假命題推斷出其否定為真，否定命題的真值必須直接證明。例如，構造性數學不接受反證法（后面章節會解釋）和像習題2.14中的論點。計算機科學家們更喜歡能夠生成算法的論點，普遍不堅持構造性數學中嚴格意義的“構造性證明”。對我們來說，證明了某事為真就足以證明它的否定為假。

[2] 這里首次使用了變量p和q來表示命題（proposition），即可以為真或為假的陳述句。第9章將討論這些命題變量的運算，稱之為命題演算（propositionalcalculus）系統。我們在這里只是使用命題變量來表示如何組合命題。

[3] 不失一般性是指某個簡單論點或相仿的論點對于特例的情況等同于普遍的情況。

[4] 這是數學子領域——Ramsey理論[以數學家和哲學家FrankP. Ramsey（1903—1930）的名字命名]中首個最簡單的成果，也是Ramsey在研究謂詞邏輯問題時首次證明的定理。

[5] 這就是著名的哥德巴赫猜想。目前該猜想仍未被證明，既不知道是真，也不知道是假。