2.什么是極限

即使沒有牢牢把握極限的含義，也是有可能理解微積分的，盡管這很困難。作為微分學基本概念的導數就是一個極限，作為積分學基本概念的積分也是一個極限。

為了解釋極限的含義，我們在本章中只關注離散變量函數的極限，因為極限從離散的角度更容易理解。當閱讀這本書后面的內容時，你會學到如何將極限概念應用于連續變量函數。這些函數被如此命名是因為它們的變量具有連續變化的實數值。離散變量函數中的變量則是從一個值跳到另一個值。還有復變量函數，其變量的取值是復數——基于-1的純虛平方根的數。湯普森的這本書不討論復變量函數。

數列是一組按一定順序排列的數。這些數不必互不相同，也不必是整數。下面考慮數列1,2,3,4,…，這個數列里只有正整數。它是一個無窮數列，因為它可以一直繼續下去。如果它停止了，那么它就是一個有限數列。

如果將一個數列的各相鄰項用加號連接起來，那么我們就得到了一個級數。若此數列是有限的，則該級數（和式）就給出了一個有限的和；若此數列是無限的，則相加到指定項就會得到一個“部分和”。如果一個無窮級數的部分和隨著項數的增加越來越接近一個數k，那么k就稱為該級數的部分和的極限，或者稱為該無窮級數的極限。此時，我們稱該級數“收斂”到k。如果一個級數不收斂，那么我們就說這個級數是“發散的”。

一個無窮級數的極限有時稱為它“趨于無窮時的和”，但這當然不是在項數有限的情況下通常算術意義上的和。你無法通過相加獲得一個無窮級數的“和”，因為要相加的項數是無限的。當我們談到一個無窮級數的“和”時，這只是在用一種簡捷的方法來命名其極限。

無窮級數可以通過以下三種不同的方式收斂到其極限。

（1）部分和越來越接近極限而沒有實際達到極限，但它們絕不會超過極限。

（2）部分和達到極限。

（3）部分和在收斂之前超過了極限。

讓我們舉幾個例子來看看第一種和第三種方式。

公元前5世紀，古希臘哲學家愛利亞的芝諾[3]提出了幾個著名的悖論，旨在表明運動中存在著某種極其神秘的東西。其中一個悖論是想象有一位跑者從點A跑到點B。他先跑完全程的一半，然后跑完剩余距離的一半，再跑完剩余距離的一半，以此類推。他每次跑的距離越來越短，跑過的總距離構成了一個減半級數。隨著他與點A之間的距離所構成的級數收斂到1，他與點B之間的距離則趨于其極限零。當然，這位跑者可以用一個沿著從點A到點B做直線運動的點來模擬。這位跑者會到達目的地B嗎？

這取決于具體情況。

假設這位跑者在跑完這個級數中的每一項對應的距離之后都會停下來休息一秒。這種情況可以用一枚棋子（代表一個點）來模擬：設想將它從桌子的一邊推到相對的一邊。你先將棋子推到一半距離處，然后停頓一秒，再將它推到剩余距離的一半處，再停頓一秒。如果這個過程繼續下去，這枚棋子（這個點）將越來越接近極限位置，但永遠不會到達極限位置。

有一個基于此的老笑話。一位數學教授讓一名男生待在一個空房間的一邊，讓一名漂亮的女生待在對面的墻邊。男生得到命令后，向女生走了一半的距離，等了一秒，然后又走了剩余距離的一半，以此類推。他每次在把剩下的距離減半之前總會停頓一秒。女生說：“哈哈，你永遠也到不了我這里！”男生回答道：“沒錯，但我可以足夠接近你。”

現在假設在每一次推動棋子后不再等待一秒，而是以穩定的速度移動這枚棋子。再假設這個恒定速度能使這枚棋子在一秒內走全程的一半，在半秒內走完此時剩余距離的一半，以此類推，在這個過程中沒有任何停頓。這樣，一個離散的過程就轉變成了一個連續的過程。兩秒后，棋子就到達了桌子的另一邊。如果芝諾所說的跑者以某一速度前進，那么他就會在一段有限的時間后到達目的地。以這種方式建模所構成的減半級數恰好收斂于這一極限。

芝諾所說的跑者引出了各種有趣的悖論，它們涉及所謂的“無限機器”。一個簡單的例子是：一盞燈在一分鐘后關閉，然后在半分鐘后打開，在四分之一分鐘后又關閉，以此類推，打開和關閉的時間構成一個無窮級數。這個時間級數收斂于兩分鐘。兩分鐘后，這盞燈是開著的還是關著的？這當然是一個思想實驗，不能真的用一盞燈來操作，但可以用抽象的方式來回答嗎？不行，因為在這個由打開和關閉的時間構成的無窮級數[4]中，不存在最后一次運算。這就好像在問π的最后一位數是奇數還是偶數。

要想“看到”的極限是1，有一種簡單的方法是像湯普森在第17章的圖46中所做的那樣，沿著一條數軸標出這些分數對應的長度。圖Ⅵ中的這個被剖分的單位正方形展示了一種類似的“看了就明白”的證明，我們由此可以看出該級數收斂到1。這個級數的部分和由離散變量函數生成[5]，其中n取整數1,2,3,4,5,…。

我們現在看一個在最終收斂之前超過了其極限的無窮級數。將剛才那個減半數列中每間隔一項的加號改為減號，就給出了這樣的一個例子：。這個“交錯級數”（alternating series）的部分和交錯地大于和小于這一極限，它們與之差可以任意小，但每一個結束于正項的部分和都大于該極限。

當一個無窮級數逼近而永遠不會達到其極限時，部分和與極限之差越來越接近零。事實上，它們如此接近，以至于你可以假設它們的差就是零。因此，正如湯普森喜歡說的那樣，它們的差可以被“扔掉”。在早期的微積分書籍中，無限接近零的那些項就稱為“無窮小”。這些數生活在無限接近零而不知何故又不是零的夢幻之地，它們顯然有些令人毛骨悚然。例如，在那個減半級數中，那些接近零的分數永遠不會變成無窮小，因為它們始終是1的一個有限部分。無窮小是1的一個無窮小部分。它比你能說出的任何有限分數都要小，但永遠不會為零。它是合法的數學實體嗎？應該將它從數學中驅逐出去嗎？

最直率地反對無窮小的是18世紀的英國哲學家喬治·伯克利主教。他在1734年出版了一本名為《致異教徒數學家或分析家》（The Analyst, or a Dis‐course Addressed to an Infidel Mathematician）的書，在其中抨擊了無窮小。那位異教徒數學家就是天文學家埃德蒙·哈雷，哈雷彗星就是以他的姓氏命名的，他還說服牛頓出版了著名的《自然哲學的數學原理》（The Principia:Mathematical Principles of Natural Philosophy）。

以下是伯克利主教對無窮小的一些抱怨。（“流數”是牛頓用來表示導數的一個術語。）

這些流數是什么？是倏逝增量的速度。這些同樣的倏逝增量又是什么？它們既不是有限的量，也不是無窮小的量，但也不是無。我們能不能將它們稱為已逝的量的鬼魂呢？

…………

除了上述流數外，還有其他流數，這些流數的流數稱為二階流數。而這些二階流數的流數則稱為三階流數，以此類推，接下去還有四階流數、五階流數、六階流數等，直至無窮。正如我們的感官對于那些極其微小的物體的感知十分吃力和困惑，要依靠源自感知的想象力去構建關于時間的極小量或其中產生的最小增量的清晰想法也讓人感到十分吃力和困惑。更困難的是要理解瞬間，或那些處于剛開始存在的狀態的流動量的增量：在它們最初起源或開始存在之后，成為有限的極小量之前。而要想象從這種新生的不完美實體中分離出來的速度，似乎就愈加困難了。但速度的速度，二階速度、三階速度、四階速度和五階速度等，如果我說得沒錯的話，這些都超過了所有人的理解能力。大腦越去分析和追求這些難以捉摸的想法，就越會感到迷茫和困惑。這些事物起初轉瞬即逝、細微異常，很快就消失在視線之外。無疑，在任何意義上，二階流數或三階流數看起來都是晦澀難懂的謎。一個剛出現的速度的剛出現的速度，一個剛開始存在的增長的剛開始存在的增長，是一個沒有大小的東西。不管從什么角度看，如果我沒說錯的話，人們會發現對它是不可能有清晰概念的。不管是不是這樣，我懇求每一位有思想的讀者來嘗試一下。如果二階流數是不可想象的，那么我們該怎么看待三階流數、四階流數、五階流數等呢？沒有盡頭。

依我看來，能夠理解二階流數或三階流數、二階差或三階差的人，在理解或對付神學中的論題時是不會有任何困難或異議的。

瑞士數學家約翰·伯努利[6]在發展微積分方面做出了開創性的工作，他清晰地表達了無窮小的悖論。他說，它們是如此微小，以至于“如果一個量增加（或減少）了一個無窮小，那么這個量沒有增大（或減小）”。

在兩個世紀的時間里，大多數數學家同意伯克利主教的觀點，拒絕使用“無窮小”這個術語。你不會在《輕輕松松學會微積分》這本書中找到它。伯特蘭·羅素[7]在1903年出版的《數學原理》（Principles of Mathematics）一書的第39章和第40章中對無窮小進行了有力的抨擊。他稱它“在數學上是無用的”“不必要的、錯誤的和自相矛盾的”。遲至1941年，著名數學家理查德·庫朗寫道：“這些無窮小的量現在被明確地、不光彩地拋棄了。”和羅素等人一樣，他認為微積分應該用極限的概念來取代無窮小。

威廉·詹姆斯[8]的朋友、美國偉大的數學家和哲學家查爾斯·皮爾斯[9]對此表示強烈反對。當時，他幾乎是唯一支持萊布尼茨的人。萊布尼茨認為無窮小和虛數一樣真實合理。以下是皮爾斯的一些典型評論。我在皮爾斯撰寫的《論文集》（Collected Papers）和《數學新元素》（New Elements of Mathematics）的各卷本的索引中查找“無窮小”時，發現了這些評論。

無窮小可能存在，并且對哲學非常重要，正如我所相信的那樣。

無窮小的原理要比極限的原理簡單得多。

慷慨地承認虛數，同時又將無窮小視為不能想象而加以抵制……這是自洽的嗎？

從嚴格意義和字面意義上講，無窮小是完全可以理解的，這與大量現代微積分教科書中的說法相反。

關于這樣的一些量的想法并沒有任何矛盾之處……作為一名數學家，我更喜歡無窮小的方法，而不是極限的方法，因為前者理解起來要容易得多，而且更少受到各種陷阱的滋擾。

如果皮爾斯生前能看到耶魯大學的亞伯拉罕·魯賓遜[10]的研究，他一定會感到很高興。1960年，令世界各地的數學家感到驚訝的是，魯賓遜找到了一種方法，將萊布尼茨的無窮小作為合法的、精確定義的數學實體重新引入！他在微積分中使用無窮小的這種方法稱為“非標準分析”。（“分析”是一個應用于微積分和所有要用到微積分的高等數學的術語。）對于許多微積分問題，非標準分析給出了比標準分析更簡單的解答，它無疑更接近一種解釋無窮收斂級數的直觀方法。魯賓遜的成就很難在這里詳細介紹，但你能在馬丁·戴維斯和魯本·赫什的《非標準分析》（Nonstandard Analysis）中找到很好的介紹。此文發表在1972年6月的《科學美國人》（Scientific American）上。

數學家和科幻作家魯迪·魯克在其著作《無窮與心靈》（Infinity and the Mind,1982年）中極力捍衛無窮小：

普通人對于無窮是如此恐懼，以至于直到今天，全世界教授微積分的人都是將其作為對極限過程的研究，而不是在其真正含義——無窮小分析上進行研究。

作為一個成年后大部分時間以教授微積分課程為生的人，我可以告訴你，試圖向一屆又一屆不理解復雜而又煩瑣的極限理論的新生解釋這些理論，這是多么令人感到厭倦……

但更為光明的未來還是有希望的。魯賓遜對超實數的研究將無窮小建立在一個邏輯上無懈可擊的基礎之上，而基于無窮小的微積分教科書也在各地出現了。

哪一種方式更可取？是去談論那些無窮小的量，這些量如此之小，以至于如湯普森所說，你可以“把它們扔掉”，還是去談論那些接近某個極限的值？關于無窮小與極限這種語言之間的爭論毫無意義，因為它們只是同一事物的兩種說法。這就像是將三角形稱為有三條邊的多邊形，還是稱為有三個角的多邊形。微分或積分的計算是完全一樣的，這與你喜歡如何去描述你在做的事情無關。現在，由于有了非標準分析，無窮小又變得體面了，你只要愿意就可以毫不猶豫地使用這個術語。

你可能會認為，如果一個無窮級數的項變得越來越小，那么這個級數必定是收斂的。但是，事實絕非如此。最著名的例子是。這個級數稱為“調和級數”，它在物理學和數學中都有著無數的應用。盡管其中的分數變得越來越小，逐漸收斂到零，但它的部分和在無限增大，沒有極限！這個級數的部分和的增長速度慢得令人惱火：在100項之后，它的部分和僅比5略大一點；要到1045項之后，它的部分和才能達到100！

如果我們在這個調和級數中去掉所有分母為偶數的項，它會收斂嗎？令人驚訝的是，它也不收斂，盡管它的增長速度更慢。如果我們從這個級數中去掉分母中一次或多次包含某一特定數字的所有項，那么這個級數就會收斂了。對于每個被去掉的數字，表Ⅰ給出了該級數精確到小數點后兩位的極限。

無窮級數的極限可以用無限小數來表示。例如，0.333333…是級數的極限。順便說一下，有一種簡單得不可思議的方法可以確定任何循環小數的整分數極限。這里的訣竅是：循環節（重復數字段）由幾位數字構成，就將循環節除以幾個9[11]。因此，0.3333…就簡化成。如果循環小數是0.123123123…，那么它的極限就是，這個分數可化簡為。

無理數，比如無理根以及像π和e這樣的超越數[12]，是許多無窮級數的極限。例如，π是像這樣高度有規律的級數的極限，數字e[13]（你會在本書的第14章中遇到它）是的極限。

雖然阿基米德并不知道微積分，但他計算圓周率的方法是將正多邊形的周長隨著其邊數增加的極限作為圓的周長，這就已經蘊含了積分的思想。我們可以用無窮小的語言來這樣表述：一個圓可以被視為一個具有無窮多條邊的正多邊形，其周長由無窮多條線段組成，每條線段的長度都是無窮小。

人們已經發現了許多技巧來判定一個無窮級數是收斂的還是發散的，還發現了一些在收斂時求出極限的方法，有時這些方法用起來并不容易。如果一個等比級數（每相鄰兩項之比不變）中的各項在減小，那么我們就很容易求出其極限。以下是求減半級數的極限的方法。設x等于整個級數，即。在該等式的兩邊都乘以2，有

約化各項，可得

注意，1之后的這個級數與我們取為x的原始減半級數相同。這樣，我們就能用x來替換該級數，從而將上式寫成2x=1+x。重新整理各項，有2x-x=1，由此得到該級數的極限x的值為1。

利用同樣的技巧可以求出是的極限。這種方法適用于各項遞減的任何等比級數。

在有關極限的文獻中，關于彈跳球的題目很常見。這些題目假設一個理想的彈跳球從距離地面一定高度處掉落到堅硬的地板上。每次反彈后，它都會上升到前一次下落高度的一個恒定比例處。下面是一個典型的例子。

彈跳球從4英尺高處掉落，每次反彈后都會達到前一次下落高度的處。當然，在實際情況下，橡膠球只能反彈有限次，但這個理想化的彈跳球能反彈無限多次。彈跳球反彈的高度逐漸逼近極限零，但由于每次反彈所用的時間也逼近極限零，因此這個彈跳球（就像芝諾所說的跑者一樣）最終會到達極限位置。經過無限多次反彈之后，它會在一段有限的時間后停下來。在這個彈跳球停止反彈前，它所經過的距離一共是多少？

我們可以再次利用剛才用于計算減半級數極限的那種技巧，暫時只考慮彈跳球最初下落4英尺以后第一次反彈的情況：彈跳球會上升3英尺，然后下落3英尺，這樣它經過的距離總共為6英尺。此后每次反彈（上升加下落）的距離都是前一次反彈距離的。設x為彈跳球第一次下落4英尺以后經過的總距離，我們寫出等式：

約化這些分數，可得

由于每一項都是其后一項的，我們在上式兩邊同時乘以，得到

注意，在8之后，這個級數與x是相同的，因此我們可以用x來替換它，則有

=8+x，

4x=24+3x，

x=24（英尺）。

這是彈跳球在最初下落4英尺以后多次反彈經過的距離，因此這個彈跳球經過的總距離為24+4=28（英尺）。

美國偉大的益智題設計大師薩姆·勞埃德在他的《世界經典智力游戲》（Cyclopedia of Puzzles）[14]中以及他的英國同行亨利·歐內斯特·杜德尼在《益智題與奇趣題》（Puzzles and Curious Problems）第223題中各自給出了下面這道關于球反彈的題目。一個球從比薩斜塔的179英尺高處下落（見圖Ⅶ），每次反彈的高度是上一次下落高度的。這個球經過無限次反彈，在最終停止之前會經過多長距離？

我們可以利用前面用過的那種技巧來解答此題，但因為每次反彈的高度都是上一次下落高度的，所以我們可以采用一種更快捷的方法找到答案。

在最初下落179英尺之后，第一次反彈的高度是17.9英尺。隨后各次反彈的高度分別為1.79英尺，0.179英尺，0.0179英尺，以此類推。將這些數相加，得到總和為19.8888…英尺。我們現在將這個距離加倍，就得到各次反彈后上升和下落的距離之和為39.7777…英尺。最后，我們加上最初下落的179英尺，就得到這個球經過的總距離為218.7777…英尺，或者說是英尺。

對于不按等比級數方式遞減的收斂級數，常常可以利用另外一些巧妙的方法來求其極限。下面有一個有趣的例子：

注意，此級數中各分數的分子構成了一個奇數數列，而分母則構成了一個加倍數列。這里用一種簡單的方法來求出它的極限。

首先將每一項都除以2，則有

用原級數減去這個級數，可得

注意，在括號內的1之后，接下去的級數就是我們的老朋友減半級數了，我們知道它收斂于1。用上式中右邊的第一個1加上括號里的運算結果2，得到3。由于3是x的一半，x就必定是6，即原級數的極限為6。

湯普森沒有花費太多時間討論級數及其極限。我在這里討論這些出于兩個原因：其一，這是我們適應極限概念的最佳方式；其二，當前的微積分教科書通常都有一些章節論述無窮級數及其在微積分的許多方面的應用。