1.什么是函數

在數學中，尤其是在微積分中，沒有任何其他概念比函數這個概念更基本。1673年，德國數學家和哲學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（他獨立于艾薩克·牛頓發明了微積分）在一封信中首次使用了這個詞。從那時起，這個詞的含義逐漸得到擴展。

在傳統微積分中，函數被定義為兩個變量之間的一種關系，它們之所以稱為變量是因為它們的值是變化的。假設x和y為變量，如果x的每個值恰好都與y的一個值相關聯，那么我們就說y是x的函數。習慣上，用x表示自變量（independent variable），用y表示因變量（dependent variable），因為y的值取決于x的值。

正如湯普森在第3章中所說明的那樣，排在英文字母表最后的幾個字母傳統上用來表示變量，而英文字母表中的其他字母（通常是前幾個字母，如a,b, c,…）用來表示常數。常數是方程中具有固定值的那些量。例如，在y=ax+b中，變量是x和y，而a和b是常數。如果y=2x+7，則常數為2和7。當x和y變化時，它們保持不變。

幾何函數的一個簡單例子是正方形的面積與邊長的相關性。在這種情況下，函數稱為一對一函數，因為它們之間的依賴關系是雙向的。正方形的邊長也是面積的函數。

正方形的面積等于邊長乘以邊長。要將正方形的面積表示為邊長的函數，可設y為面積，x為邊長，于是就可以寫出y=x2。當然，假設x和y是正的。

正方形的邊長與對角線之間的關系是一對一函數的一個稍微復雜一點的例子。正方形的對角線是一個等腰直角三角形的斜邊。根據畢達哥拉斯定理[1]，直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。在這種情況下，兩條直角邊是相等的。要將正方形的對角線表示為其邊長的函數，可設y為對角線，x為邊長，然后寫出，或者更簡單地寫成。要將邊長表示為對角線的函數，可設y為邊長，x為對角線，然后寫出，或者更簡單地寫成。

最常見的表示函數的方法是將因變量y替換為f (x)，這里的f是“function”（函數）的首字母。因此，y=f (x)=x2就意味著因變量y等于自變量x的平方。比如，對于y=2x-7，我們現在將其改寫成y=f (x)=2x-7。這意味著y是x的函數，它的值因表達式2x-7中x的值而定。該表達式的這種形式稱為x的顯（explicit）函數。如果表達式具有2x-y-7=0這一等價形式，則它稱為x的隱（implicit）函數，因為這個等式隱含了它的顯函數形式。通過重新排列該等式中的各項，可以很容易地從該式中得出顯函數形式。除了f (x)這個符號之外，我們經常也會使用其他符號。

如果我們希望給定y=f (x)=2x-7這個例子中x和y的值，則可以將x替換為任意值，比如6，于是寫出y=f (6)=2×6-7，從而得出因變量y的值為5。

如果因變量是單個自變量的函數，那么這個函數就稱為一元函數。我們熟悉的例子（都是一對一函數）有：一個圓的周長或面積與半徑的關系、一個球的表面積或體積與半徑的關系、一個數的對數與該數的關系。

正弦、余弦、正切和正割稱為三角函數。對數給出對數函數。指數函數是指自變量x在一個等式中充當指數的函數，如y=2x。當然，還有無數其他已經被命名的更復雜的一元函數。

函數可以依賴多個變量，這就是所謂的多元函數，其中的元數是指自變量的個數。同樣，例子不勝枚舉。直角三角形的斜邊隨它的兩條直角邊而定，這兩條直角邊不一定相等。（這個函數當然涉及三個變量，但它稱為二元函數，因為它有兩個自變量。）如果z是斜邊，x和y是兩條直角邊，那么根據畢達哥拉斯定理，我們知道。注意，這不是一個一對一函數。如果已知x和y，那么z的值就是唯一的，但如果已知z，那么x和y的值并不是唯一的。

二元函數還有另外兩個熟悉的例子，其中一個是三角形的面積是其底邊和高的函數，另一個是圓柱的表面積是其半徑和高的函數，它們都不是一對一函數。

一元函數和二元函數在物理學中無處不在。擺錘的周期是擺長的函數。落石所經過的距離和速度都是下落時間的（一元）函數。大氣壓是海拔高度的（一元）函數。子彈的動能是一個取決于其質量和速度的二元函數。導線的電阻是一個取決于其長度和圓形橫截面直徑的二元函數。

函數可以有任意多個自變量。三元函數的一個簡單例子是長方體形狀的房間的容積，它取決于房間的長、寬和高。四維超長方形的超體積是一個四元函數。

初學微積分的學生必須熟悉如何用笛卡兒坐標系中的一條曲線為一個具有兩個變量的等式建立模型。（這個坐標系是以發明它的法國數學家、哲學家勒內·笛卡兒的姓氏命名的。）自變量的值用水平的x軸上的點表示，因變量的值用豎直的y軸上的點表示。平面上的點表示x和y構成的有序數對。如果一個函數是線性的，即它的形式為y=ax+b，那么表示這些有序數對的圖像就是一條直線。如果函數不具有y=ax+b形式，那么它的圖像就不是一條直線。

圖Ⅰ是y=x2在笛卡兒坐標系中的圖像，它是一條拋物線。每條坐標軸上的點表示實數（有理數和無理數）,x軸為右正左負，y軸為上正下負。坐標系的原點（兩條坐標軸相交的位置）給出有序數對(0,0)。如果x是一個正方形的邊長，那么我們假設它既不是零也不是負數，因此相關的曲線就只是該拋物線的右半邊。假設這個正方形的邊長為3，有一個點從x軸上的3所對應的位置豎直向上移動到該曲線上，然后水平向左移動到y軸上，你就會發現3的平方是9。（我向讀者致歉，因為這些都是老掉牙的知識。）

如果一個函數涉及三個自變量[2]，那么它在坐標系中的圖像就必須擴展到一個具有x軸、y軸和z軸的三維空間中。我曾經聽說過一位教授（我已經不記得他的名字了）喜歡用一種夸張的方式向學生展示這個空間，他一邊沿左右方向來回奔跑一邊大喊“這是x軸”，然后一邊在中間的過道上沿前后方向來回奔跑一邊大喊“這是y軸”，最后一邊向上跳躍一邊大喊“這是z軸”。具有三個以上變量的函數需要一個具有三條以上坐標軸的笛卡兒坐標系。不幸的是，這位教授不能通過奔跑和跳躍來夸張地展示超過三維的坐標系。

注意圖Ⅰ中標注的“定義域”（domain）和“值域”（range）。近幾十年來，使函數的定義一般化已經成為一種時尚。自變量的取值范圍稱為函數的定義域，因變量的取值范圍稱為函數的值域。在笛卡兒坐標系中，定義域由橫軸（x軸）上的數組成，值域由縱軸（y軸）上的數組成。

定義域和值域可以是無限集，比如實數集或整數集；或者其中任意一個可以是有限集，比如實數的一部分。例如，溫度計上的數表示實數的一個有限區間。如果用溫度計測量水溫，那么相應的讀數位于水結冰的溫度和沸騰的溫度之間的那個區間。在這里，水銀柱的高度相對于水溫是一個單自變量的一對一函數。

在現代集合論中，我們不是用方程，而是用一組規則來描述函數。定義函數的這種方法可以推廣到完全任意的數集。指定這些規則的最簡單的方法是用一張一覽表來表示。例如，在圖Ⅱ中，左邊的8個數構成了某函數的定義域，而與其對應的右邊的4個數構成了值域，支配此函數的規則由箭頭表示。這些箭頭表明了定義域中的每個數都與值域中的單個數相對應。正如你所看到的，左邊的多個數可以指向右邊的同一個數，反之則不然。這種函數的另一個例子及其圖像如圖Ⅲ所示，它的定義域由平面上的6個孤立點組成。

因為左邊的每個數都恰好指向右邊的一個數，所以我們可以說右邊的這些數是左邊的這些數的函數。可以將右邊的這些數稱為左邊的這些數的“像”。這些箭頭稱為從定義域到值域的一個“映射”。也可以說這些箭頭定義了函數的“對應規則”。

對于在微積分中遇到的大多數函數，其定義域由單個實數區間組成。定義域可能是整個x軸，比如函數y=x2所表明的情況；也可能是一個有界的區間，比如y=arcsin x的定義域由所有滿足-1≤ x ≤1的x值組成；還可能在一側有界，而在另一側無界，比如的定義域包含了所有滿足x≥0的x值。如果可以在不從紙上提起筆的情況下畫出函數的圖像，那么我們將這樣的函數稱為“連續的”，否則就稱其為“不連續的”。（對于具有更復雜的定義域的函數，連續性的完整定義也是完全適用的，但這超出了本書的范圍。）

例如，剛才提到的三個函數都是連續的。圖Ⅳ給出了一個不連續函數的例子，它的定義域由所有實數組成，但它的圖像由無窮多段彼此不相連的部分構成。在本書中，我們將幾乎只關注連續函數。

注意，如果垂直于x軸的一條直線多次與一條曲線相交，那么這條曲線就不能表示一個函數，因為它將x軸上的一個數映射到y軸上的多個數。圖Ⅴ中的曲線顯然不是一個函數的圖像，因為垂直于x軸的虛線與它相交于三個點。（應該注意的是，湯普森并沒有使用“函數”這一現代定義。例如，第11章的圖30中的曲線未能通過這樣的檢驗，但湯普森仍認為它是一個函數的圖像。）

在函數的這種一般化的定義中，一個一元函數就是任意有序數對的一個集合，它使一個集合中的每一個數x都恰好與另一個集合中的一個數y配對。換言之，在這些有序數對中，x的取值不能重復，但y的取值可以重復。

從這個廣義的角度來看待函數，保險箱的組合密碼或打開一扇門所需按下的按鈕序列都是自然數的函數。要打開一個保險箱，必須把旋鈕來回轉動到一組隨機整數。比如，如果保險箱的組合密碼是2-19-3-2-19，那么這些數就是1,2,3,4,5的一個函數。它們代表為了打開保險箱必須按順序輸入的數。類似地，一把開啟彈子鎖的鑰匙上的那些小小的“峰”的高度是這把鑰匙長度方向上的位置的一個函數。

近年來，數學家進一步拓寬了函數的概念，使其包括了那些非數的東西。事實上，它們完全可以是任何東西，只要這些東西是一個集合中的元素。函數只不過是一個集合中的每個元素與另一個集合中的一個元素的相關性。這導致“函數”這個詞產生了各種各樣看起來很荒謬的用法。如果史密斯的頭發是紅色的，瓊斯的頭發是黑色的，而魯賓遜的頭發是白色的，那么頭發的顏色就是這三個人的函數。各個城鎮在地圖上的位置是它們在地球上的位置的函數。在一個正常的家庭中，腳趾的總數是家庭成員數的函數。不同的人可以有同一個母親，但沒有一個人會有一個以上的母親，這使得人們可以說母親是人的一個函數。正如一位數學家最近所說的，函數已經被推廣到了“上天入地”的程度。

有一種方法可以幫助我們理解以這種一般化的方式定義的函數，那就是想象一個有輸入口和輸出口的黑匣子。一個定義域中的任何元素，無論它是數還是其他東西，都會被放入這個黑匣子。輸出口將出現值域中的單個元素。這個黑匣子里的機械裝置通過使用控制函數的任何對應規則，神奇地提供了相關性。在微積分中，輸入和輸出幾乎總是實數，而黑匣子中的機械裝置則根據等式提供的規則運行。

由于函數的這種一般化的定義會導致一些怪誕的極端情況，現今的許多教育工作者，尤其是那些具有工程背景的教育工作者，都認為向初學微積分的學生介紹如此寬泛的函數定義既會造成困惑，也沒有必要。然而，越來越多的現代微積分教科書在用大量篇幅介紹這種一般化的定義。這些教科書的作者認為，將函數定義為從一個任意集合到另一個任意集合的映射是一個強大的、統一的概念，應該教給所有學習微積分的學生。

反對這種做法的那些人則認為微積分不應該涉及腳趾、城鎮和母親。它的定義域和值域應該一如既往地局限于實數，而其函數描述了連續的變化。

一個值得慶幸而令人驚訝的事實是，變幻莫測的奇妙宇宙的各條基本定律都建立在一些相對簡單的方程之上。如果不是這樣的話，我們對宇宙運作方式的了解肯定會比現在少，牛頓和萊布尼茨可能永遠不會發明（或發現？）微積分。