3.什么是導數

在第3章中，湯普森非常清楚地說明了什么是導數，以及如何計算導數。不過，在我看來，對導數做一些簡要的評論會有一定的幫助，這可能會使第3章更容易理解。

讓我們從芝諾的跑者開始。假設他在一條100米長的路上以10米/秒的速度奔跑。這里的自變量是時間，用笛卡兒坐標系的x軸表示；因變量是跑者和起點之間的距離，用y軸表示。因為這個函數是線性的，所以跑者的運動圖像是一條向上傾斜的直線，從坐標系的原點一直延伸到對應于x軸上的10秒和y軸上的100米的點（見圖Ⅷ）。如果我們所說的距離是指跑者和終點之間的距離，那么圖Ⅷ中的直線就會向另一個方向傾斜（見圖Ⅸ）。

任意給定一個時間點，讓我們看看這位跑者此時的速度。因為我們處理的是一個簡單的線性函數，所以我們不需要微積分就能知道他每一瞬間都在以10米/秒的速度前進。這個函數的方程為y=10x。注意，這條直線的斜率為10，這是用任一點到起點的距離（以米為單位）除以跑者到達這一點所用的時間（以秒為單位）來度量的。在每一瞬間，跑者經過的米數都是所用秒數的10倍。在整個跑步過程中，他的瞬時速度顯然是10米/秒。

考慮x軸上的一個任意點，然后在坐標系中將其豎直向上移動到以米為單位的對應位置，你會發現移動的距離總是所用的時間的10倍（只考慮數值，略去單位）。當閱讀這本書時，你會學到函數的導數只不過是另一個函數，它描述的是因變量相對于自變量變化的變化率。在這種情況下，跑者的速度始終保持不變，因此y=10x的導數就是10。它告訴你兩件事：（1）在任何時刻，跑者的速度都是10米/秒；（2）這個函數圖像上的任何一點的斜率都是10。這兩點可以推廣到變量y相對于變量x以恒定速率變化的所有線性函數。如果一個函數是y=ax，那么它的導數就是常數a。

正如我說過的，你不需要微積分就能知道這一切，但是對于線性函數，通過計算導數也能得到正確的結果。知道這一點也是很好的。

導數的一個更簡單的例子是完全靜止的跑者。這個例子太顯而易見了，我們不需要任何思考，更不用說使用微積分了。假設跑者跑了10米以后就停了下來，那么此后的情形對應的函數就是y=10。該函數的圖像是一條水平直線，如圖Ⅹ所示。這條直線的斜率為零，這就相當于說跑者停下來的那個點和起點之間的距離相對于時間的變化率為零。這個函數的導數為零。即使在這種極端情況下，微積分仍然適用也是令人欣慰的。一般而言，任何常數函數的導數都是零。

當函數是非線性的時候，微積分就不再那么不值得一提了。考慮y=x2這個簡單的非線性函數，湯普森用它來開始他關于導數的那一章。對這個函數的最簡單的幾何解釋是它表示一個正方形的面積。現在讓我們看看它是如何應用于正方形的增大的。

想象有一頭怪物生活在平面國[15]，那是一個二維平面。它出生時是一個邊長為1、面積也為1的正方形，然后以穩定的速率增大。我們希望知道，在任何時刻，正方形的面積相對于邊長增大的速率是多少。

這頭怪物的面積當然就是其邊長的平方，因此我們必須考慮的函數是y=x2，其中y是面積，x是邊長。（它的圖像就是前面圖Ⅰ中的那條拋物線的一半。）正如你將從湯普森所寫的內容中學到的，這個函數的導數是2x。這告訴我們什么？這告訴我們，在任一給定時刻，這頭怪物的面積增大的速率都等于其邊長增大的速率的2x倍。

假設這頭怪物的邊長以每秒3個單位的速率增大。它的邊長從1個單位開始增大，到10秒末，它的邊長會達到31個單位。此時，x的值為31。上面的導數表明，這頭怪物的面積相對于邊長以2x的速率增大，而當其邊長為31個單位時，其面積相對于邊長的增量為62個平方單位/單位。當正方形的邊長達到100個單位時，其面積相對于邊長的增量為200個平方單位/單位。

這些數表示正方形的面積相對于邊長的增大率。對于正方形的面積相對于時間的增大率，我們還必須將這些數乘以3。因此，當正方形的邊長為31個單位時（10秒后），它的面積會以每秒186個平方單位的速率增大，即3 × 2 × 31=186；當正方形的邊長為100個單位時，其面積增大的速率為每秒600個平方單位，即3 × 2 × 100=600。

假設這頭怪物是一個棱長為x的立方體，而x以每秒2個單位的穩定速率增大。立方體的體積y等于x3。函數y=x3的導數是3x2。這告訴你，立方體體積（以立方單位為單位）增大的速率是其邊長增大的速率的3x2倍。因此，當立方體的棱長x為10個單位時，其體積相對于棱長的增量為300個立方單位/單位，即3 × 102=300。它的體積增大的速率是每秒600個立方單位，即2 × 3 × 102=600。

盡管湯普森避免將導數定義為比值的極限，但情況顯然就是這樣。舉例來說，這個不斷增大的正方形的邊長以每秒1個單位的速率增大時，我們可以將它的面積在2秒及以后的一系列時刻的增大情況制成表格（見表Ⅱ）。

從2秒到2.1秒的平均增大速率為

從2秒到2.01秒的平均增大速率為

從2秒到2.001秒的平均增大速率為

這些平均值顯然在逼近極限6。因此，面積相對于時間的導數就是一個無限的比率數列的極限，該數列收斂于6。簡單地說，導數是函數的因變量相對于自變量的增大速率的增大速率。從幾何角度來看，它確定了一條函數曲線上任何指定點的切線的精確斜率。導數的代數定義與幾何定義之間的等價性是微積分最美妙的方面之一。

我希望這些預備知識能幫助你為學習后面的內容做好準備。

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[1].畢達哥拉斯定理，即我們所說的勾股定理，在西方相傳由古希臘的畢達哥拉斯首先證明，而在中國相傳于商代就由商高發現。——譯者

[2].原著有誤，此處應為三個變量。——譯者

[3].芝諾（約前490—前430），古希臘數學家、哲學家，他提出了一系列關于運動不可分性的哲學悖論。——譯者

[4].關于無窮機器，請參閱我的《輪子、生命和其他趣味數學》（Wheels, Life, and Other Mathematical Amuse‐ments,1983年）第4章“?和超任務”（Alephs and Supertasks），以及那一章引用的參考文獻。——M.G.

[5].級數是一個等比級數，其首項，公比，因此部分和。——譯者

[6].約翰·伯努利（1667—1748），瑞士數學家、物理學家，在微積分、天體力學、流體力學等方面做出了重要貢獻。伯努利家族共產生了11位數學家。——譯者

[7].伯特蘭·羅素（1872—1970），英國哲學家、數理邏輯學家，1950年諾貝爾文學獎獲得者，分析哲學的創始人之一。——譯者

[8].威廉·詹姆斯（1842—1910），美國本土第一位哲學家和心理學家，也是教育學家、實用主義的倡導者。——譯者

[9].查爾斯·皮爾斯（1839—1914），美國通才，早年為化學家，他在數學、研究方法論、科學哲學、知識論和形而上學領域都進行了改革，并創建了作為符號學分支的邏輯學，也是美國當代實用主義的奠基人。——譯者

[10].亞伯拉罕·魯賓遜（1918—1974），德裔美國數學家，非標準分析的奠基人。——譯者

[11].假如討論的數是k=0.ababab…，那么100k=ab+k，于是有(100-1)k=ab，即。同理，可討論其他情況。——譯者

[12].參見《從代數基本定理到超越數：一段經典數學的奇幻之旅（第二版）》，馮承天著，華東師范大學出版社，2019年。——譯者

[13].參見《優雅的等式：歐拉公式與數學之美》，戴維·斯蒂普著，涂泓、馮承天譯，人民郵電出版社， 2018年。——譯者

[14].新世界出版社于2009年出版。——譯者

[15].這一典故出自埃德溫·A．阿博特的《平面國：一部多維的羅曼史（雙語版）》（Flatland:A Romance of Many Dimensions），該書首次出版于1884年，已成為科幻小說的經典之作。此書有多個中譯本，近期的雙語版由高等教育出版社于2022年出版，涂泓譯，馮承天譯校。——譯者