譯者序

作為數學的一個重要分支，微積分在物理學、天文學、生物學、經濟學等領域的應用日益顯現出其無可替代的價值。與此同時，微積分作為大學的一門基礎課程，卻常常令學生感到頭疼不已。哪怕是在像物理學這樣嚴重依賴微積分的專業，學生最初對微積分的反應也并不是贊嘆它有用，而是抱怨它難以入門。這是相當令人震驚和失望的。

由于微積分的基礎地位，這門課程通常會被安排在專業課程之前進行學習。在剛進入大學接觸微積分時，有的學生甚至發出了這樣的感慨：“微積分使我的人生變得艱辛了。”他們對此給出的理由是這門課程“太抽象”。等到在專業課上需要用到微積分這一武器時，學生本應已經擁有了整個武器庫，但他們看著“連續質量分布”“連續帶電體”等各種巴巴爸爸式的概念一籌莫展。學生通過專業課的學習逐漸習慣了微積分的應用后，又會如夢初醒般地體會到“微積分確實很有用，以前覺得不可能解決的問題現在都能解決了”，甚至對微積分產生了深深的敬意。

由此產生的啟示是：既然從應用中學習更能讓學生掌握微積分的基本原理，也更能讓學生體會到微積分的巨大作用，那么我們為什么不能一開始就通過實際應用來教授微積分呢？想來這大概是因為目前大多數微積分教科書和高等數學教科書出自數學家之手，而數學家往往追求證明的嚴密和體系的完整，而對于理論的應用不甚關心。所以，對于大多數不太關心證明過程而更注重實際應用的專業的學生而言，這些教科書常常顯得過于抽象，因而也就難以理解了。

相比之下，本書的主要作者西爾維納斯·菲利普斯·湯普森是英國的一位物理學家和科學史學家，他在電氣、機械、光學和X射線等領域都頗有造詣，做出過不少重要貢獻。本書正是一本注重實際應用的微積分啟蒙讀物，在1910年首次出版以后立即受到了全球讀者的歡迎，多次再版，銷量早已超過百萬冊。

本書從最基本的概念入手，對知識點進行詳細拆解，逐步引導讀者步入微積分的殿堂。作者始終強調化繁為簡，用簡潔的語言和生動的實例闡釋抽象的公式和定理，使讀者在閱讀過程中感受到微積分的魅力。例如，在講到二階小量時，他用時間和金錢舉例，通過具體的數值，讓讀者理解為什么像x?dx,x2?dx,ax?dx這樣的量不能忽略不計，但dx?dx是可以忽略不計的。在講到導數時，作者指出只是一個簡單的比例，也就是dy和dx都趨于無窮小時的比，并通過一架靠在墻上的梯子說明當x與y具有函數關系時的意義是什么。在此基礎上，作者繼續從幾何角度進行闡述：假設一個正方形的邊長為x，倘若將這個正方形的各個邊長都增加一個很小的量dx，從而放大這個正方形，那么該正方形的面積就從x2增大到了(x+dx)2，即增大了2x·dx+dx·dx，而其中dx·dx是一個二階小量，可以忽略。于是，讀者就逐漸理解了為什么。

書中的每一章都以這種方式拆解一個知識點，從真實的例子、函數圖像、幾何圖形等角度逐步深入。在每引入一個知識點后，作者都會及時地提供一些應用實例，幫助讀者理解剛剛學過的新知識。這些例子包括圓柱體的體積關于其半徑的變化率、費里輻射高溫計的靈敏度、復利計算、介質對光的吸收、放射性衰變等。這些實例使讀者不僅能加深對新技巧的理解，還能體會到相關技巧的用途，并得到一些實際操作經驗。

在大部分章的最后，作者還提供了一些與本章相關的練習題。這些練習題同樣注重應用，例如鐵棒的熱脹冷縮、白熾燈的發光強度隨電壓的變化、導線的電阻與溫度的關系、上升過程中氣球的運動、石塊落水后的運動等。讀者可以通過這些練習題鞏固新學的知識，并根據書后提供的答案來了解自己的學習情況。

雖然本書的涵蓋面廣，包括微分、積分、曲率、極值、微分方程等微積分的基本內容，但作者從結構上將這些知識詳細分解為23章，便于讀者階段性地學習。此次中譯本是根據1998年的修訂版譯出的，我國讀者非常熟悉的美國著名數學家、科普作家馬丁·加德納對此版做了全面的修訂和完善，撰寫了序言，并增加了預備知識（函數、極限和導數的概念），從而使本書更加適合從零開始學習微積分的讀者閱讀。在翻譯過程中，我們盡量貼近原著的表述方式和寫作風格，并做了少量注釋。

感謝人民郵電出版社的工作人員，他們的辛勤工作使得這部經典著作得以以中文版的形式與廣大中國讀者見面。感謝煙臺大學的朱用文教授，他不辭辛勞，認真細致地審閱了譯文，并提出了許多寶貴的建議。我們相信，《輕輕松松學會微積分》中文版的出版將有助于更多的中國讀者掌握微積分這一強大的工具，并將其應用于各自的領域之中。

涂泓 馮承天

2024年10月18日