第2章 小量之間也有不同程度的差別

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算過(guò)程中必須處理各種不同程度的小量。

我們還必須認(rèn)識(shí)到，在什么情況下，我們可以將這些小量視為足夠微小，小到可以忽略不計(jì)的程度。這一切都取決于相對(duì)微小的程度。

在確定任何規(guī)則之前，讓我們先想想一些熟悉的情況。1小時(shí)有60分鐘， 1天有24小時(shí)，1周有7天。因此，1天有1440分鐘，1周有10080分鐘。

顯然，與1周相比，1分鐘是一個(gè)非常小的時(shí)間量。事實(shí)上，我們的祖先認(rèn)為它與1小時(shí)相比也很小，因此稱之為“1分鐘”，意思就是很小的一部分[2]，也就是1小時(shí)的。當(dāng)需要把時(shí)間進(jìn)一步細(xì)分成更小的分度時(shí)，他們將每分鐘再細(xì)分為60個(gè)更小的部分。在伊麗莎白女王的時(shí)代，他們稱之為“二階分鐘”（即分鐘的二階小量）。現(xiàn)在，我們把這個(gè)二階小量稱為“秒”[3]，但幾乎沒有人知道為什么這樣稱呼它們。

現(xiàn)在來(lái)想一想，與1天相比，1分鐘尚且如此之小，那么1秒豈不是更為渺小？

同樣，想想100美元與1美分的比較，1美分只是100美元的。1美分與100美元相比微不足道，因此它當(dāng)然可以被視為一個(gè)小量。但是，如果將1美分與1萬(wàn)美元比較，那么1美分相對(duì)于這個(gè)更大的金額并不會(huì)比1%美分相對(duì)于100美元更重要。在一位百萬(wàn)富翁的財(cái)富中，即使是100美元，相對(duì)而言也是微不足道的。

現(xiàn)在，如果我們確定任何一個(gè)小的數(shù)值分?jǐn)?shù)，將其作為我們出于某個(gè)目的而稱之為相對(duì)較小的那一部分，那么我們就可以很容易地指出其他一些分?jǐn)?shù)，它們是更高程度的小量。因此，在討論時(shí)間的情況下，如果我們將稱為一個(gè)小分?jǐn)?shù)，那么的（是一個(gè)小分?jǐn)?shù)的一個(gè)小分?jǐn)?shù)）就可以被視為一個(gè)二階小量[4][5]。如果出于某個(gè)目的，我們將1%作為一個(gè)小分?jǐn)?shù)，那么1%的1%即就會(huì)是一個(gè)二階的小分?jǐn)?shù)，而就會(huì)是一個(gè)三階的小分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗?%的1%的1%。

最后，假設(shè)出于某種非常精確的目的，我們把視為小分?jǐn)?shù)，而比它大的數(shù)不能被視為小分?jǐn)?shù)。如果有一臺(tái)最高級(jí)的精密計(jì)時(shí)器在一年中走快或走慢的誤差不能超過(guò)半分鐘，那么它必須保持的精度。現(xiàn)在如果出于這樣一個(gè)目的，我們將視為一個(gè)小量，那么的(即就會(huì)是一個(gè)二階小量，相比之下可以完全忽略不計(jì)。

于是我們看到，一個(gè)小量本身越小，其對(duì)應(yīng)的二階小量就越可以忽略不計(jì)。因此，在任何情況下，只要我們把一階小量本身取得足夠小，就有理由忽略二階、三階或更高階的小量。

但是必須記住，如果在我們的表達(dá)式中，這些小量作為因子去乘以另一個(gè)因子，而且另一個(gè)因子本身很大，那么這些小量就可能會(huì)變得很重要。即使是1美分，只要乘以幾百，也就會(huì)變得很重要。

在微積分中，我們用dx來(lái)表示x的一小部分。像dx,du和dy這樣的數(shù)學(xué)對(duì)象稱為微分，即在不同的情況下，它們分別表示x,u和y等的微分。（可以把它們分別讀作“d-x”“d-u”和“d-y”等。）即使dx是x的一小部分，并且dx本身相對(duì)較小，這也并不意味著像x?dx,x2?dx和ax?dx這樣的量可以忽略不計(jì)。但是dx?dx是可以忽略不計(jì)的，因?yàn)樗且粋€(gè)二階小量。可以舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，請(qǐng)考慮函數(shù)f(x) = x2。

讓我們把x看作一個(gè)量，它可以增加一個(gè)小量而變成x+dx，其中dx是增加的小量。這個(gè)增加后的量x+dx的平方為x2+2x?dx+(dx)2。第二項(xiàng)是不可忽略的，因?yàn)樗且粋€(gè)一階小量；而第三項(xiàng)是一個(gè)二階小量，因?yàn)樗?span id="nfy6ixp" class="italic">x2的一小部分的一小部分。所以，如果我們假設(shè)dx在數(shù)值上表示x的，那么第二項(xiàng)就會(huì)是x2的，而第三項(xiàng)就會(huì)是x2的。最后一項(xiàng)顯然不如第二項(xiàng)重要。如果我們更進(jìn)一步，假設(shè)dx僅表示x的，那么第二項(xiàng)就會(huì)是x2的，而第三項(xiàng)就是x2的。

從幾何角度來(lái)看，這可以描述如下：畫一個(gè)正方形（見圖1），我們用x表示它的邊長(zhǎng)。現(xiàn)在假設(shè)這個(gè)正方形的各邊都增加一個(gè)很小的dx，因此這個(gè)正方形就被放大了。這個(gè)放大的正方形由原來(lái)的正方形、頂部和右側(cè)的兩個(gè)矩形以及右上角的一個(gè)小正方形組成，其中原正方形的面積為x2，每個(gè)矩形的面積為x?dx（或加在一起為2x?dx），小正方形的面積為(dx)2，如圖2所示。在圖2中，我們將dx取為x的一個(gè)相當(dāng)大的部分，大約為。現(xiàn)在假設(shè)我們將這部分取為——大約是用一支尖頭鋼筆畫出的一條墨水線的寬度（見圖3），那么右上角的這個(gè)小正方形的面積只有x2的，幾乎看不見了。顯然，只要我們認(rèn)為增量dx本身足夠小，那么(dx)2就可以忽略不計(jì)。

讓我們舉一個(gè)例子。

假設(shè)一位百萬(wàn)富翁對(duì)他的秘書說(shuō)：“下周我會(huì)把我收到的所有錢的一小部分給你。”這位秘書又對(duì)他手下跑腿的男孩說(shuō)：“我會(huì)把我收到的所有錢的一小部分給你。”在這個(gè)例子中，一小部分是。如果這位百萬(wàn)富翁在接下來(lái)的一周內(nèi)收到1000美元，那么秘書就會(huì)收到10美元，男孩就會(huì)收到10美分。與1000美元相比，10美元是一個(gè)小量，而10美分確實(shí)是一個(gè)很小很小的量，是一個(gè)非常次要的量。但是，如果這個(gè)分?jǐn)?shù)不是，而是，那會(huì)出現(xiàn)什么分配不公的情況嗎？在這種情況下，當(dāng)百萬(wàn)富翁得到他的1000美元時(shí)，秘書只會(huì)得到1美元，而那個(gè)男孩只能得到1美分的！

詼諧的迪恩·斯威夫特[6]曾經(jīng)寫道：

博物學(xué)家觀察到一只跳蚤，

它的身上有一些更小的跳蚤以它為食，

而小跳蚤還有更小的跳蚤在咬它們。

這種情況會(huì)無(wú)窮無(wú)盡地進(jìn)行下去。

一頭牛可能會(huì)擔(dān)心一只普通大小的跳蚤——一只一階的小動(dòng)物，但它很可能不會(huì)擔(dān)心一只跳蚤身上的小跳蚤，因?yàn)樗鼈兪嵌A的小動(dòng)物，可以忽略不計(jì)。即使跳蚤身上的小跳蚤很多，對(duì)牛來(lái)說(shuō)也算不上什么。