第3章 關于相對增長

在整個微積分中，我們論述的都是不斷增長的量和增長率。我們把所有的量分為兩類：常數和變量。我們將那些具有固定值的量稱為常數，而且在代數上，我們通常用英文字母表開頭的那幾個字母表示它們，如a,b,c；而那些我們認為能夠增長或（如數學家所說）“變化”的量則稱為變量，我們用英文字母表中最后的那幾個字母來表示它們，如x,y,z,u,v,w，有時也用t。

此外，我們常常同時討論多個變量，并思考一個變量依賴另一個變量的方式。比如，我們認為炮彈達到的高度取決于達到該高度的時間。又如，我們考慮一個給定面積的矩形，如果任意增大它的長，那么會迫使它的寬如何相應地減小？再如，我們思考一架梯子，如果任意改變它的傾斜度，那么會導致它達到的高度如何變化？

假設我們有這樣兩個相互依賴的變量。由于這種依賴關系，一個變量的變化會帶來另一個變量的變化。讓我們將其中一個變量稱為x，而將另一個依賴它的變量稱為y。

假設我們使x發生變化，也就是說我們要么改變它，要么想象它被改變了——它被加上了一個我們稱之為dx的小量。這樣，我們就使x變成了x+dx。那么，由于x變化了，于是y也會隨之變化，它會變成y+dy。這里的小量dy在某些情況下可能是正的，而在另一些情況下可能是負的，而且它不會與dx一樣大（除了極少數情況）。

我們來舉兩個例子。

【例1】設x和y分別是一個直角三角形的底和高（見圖4），其斜邊與底的夾角固定為30°。假設在保持這個30°的角不變的情況下放大這個三角形，那么當底增大到x+dx時，高就變成了y+dy。這里，x的增大導致了y的增大。高為dy、底為dx的那個小三角形與原始三角形相似。很明顯，的值與的值相同。當斜邊與底的夾角為30°時，可以看出在這里有[7]

【例2】有一架長度固定的梯子AB，設x為梯子下端與墻的水平距離，y為它在墻上達到的高度，如圖5所示。那么，y顯然依賴x。很容易看出，如果我們拉動梯子的底端A，使其離墻更遠一點，那么頂端B就會降低一點。讓我們用科學的語言來說明這一情況：如果我們把x增大到x+dx，那么y就會變成y+dy，其中dy＜0。也就是說，當x獲得一個正的增量時，就會導致y得到一個負的增量。

確實是這樣，但此時的增量是多少？假設這架梯子的長度是這樣的：當底端A離墻19英寸時，頂端B離地恰好15英尺[8]。現在，如果你把梯子的底端再向外拉出1英寸，那么頂端會降低多少？將這些值全部換算成英寸：x=19英寸，y=180英寸。現在x的增量（即我們所說的dx）是1英寸，或者說x+dx=20英寸。

y會減小多少？新的高度會是y+dy。如果我們用畢達哥拉斯定理來計算這個高度，就能求出dy是多少。梯子的長度是

=181（英寸）。

很明顯，新的高度y+dy會滿足

(y+dy)2=1812-202=32361，

所以，

≈179.89（英寸）。

y是180英寸，因此dy=179.89-180=-0.11（英寸）。

由此可知，使x增大1英寸，就會導致y減小0.11英寸。因此，dy與dx之比可以表示為

我們很容易看出，（除了在一個特定位置以外）dy的大小與dx的大小是不同的。

通過微分學，我們正在尋找，尋找一個奇怪的東西、一個簡單的比，也就是當dy和dx都是無窮小時dy與dx之比。

這里需要注意的是，只有當y與x以某種方式相互關聯，從而只要x發生變化，y就會發生變化時，我們才能求出這個比。例如，在剛剛討論的第一個例子中，如果三角形的底x增大，那么它的高y也會增大。而在第二個例子中，如果梯子的底端與墻的距離x增大，那么梯子達到的高度y就會以相應的方式減小，一開始是緩慢地減小，但隨著x變大，高度y會減小得越來越快。在這兩種情況下，x與y之間的關系是完全確定的，可以用數學方式表達出來，分別是=tan 30°和x2+y2=l2（其中l是梯子的長度）。在這兩種情況下，則各自具有我們已知的含義。

如果x和之前一樣，是梯子底端與墻的距離，而y不是梯子達到的高度，而是墻的長度、墻上的磚塊數量或者墻建成的年數，那么x的任何變化自然都不會導致y的變化。在這種情況下，沒有任何意義，我們也不可能為它找到一個表達式。每當我們使用微分dx,dy,dz等時，其中就隱含了x,y,z等之間存在著某種關系，這種關系稱為x,y,z等的函數。例如，在上面給出的兩個例子中，表達式 tan 30°和都是x與y的函數。這兩個表達式隱含著（也就是包含著，但不明確顯示）用y來表示x或用x來表示y的方法。出于這個原因，它們稱為x和y的隱函數，可以分別寫成下列形式：

y=xtan 30°或，

或。

上面這些表達式明確地表示了用y來表示x或用x來表示y。因此，它們稱為x或y的顯函數。例如，x2+3=2y-7是x和y的隱函數，它可以寫成y=（x的顯函數）或[9]（y的顯函數）。我們看到，當x,y,z等發生變化時，無論每次有一個發生變化或者幾個一起變化，某種東西的值也會發生變化，這種東西就是x,y,z等的顯函數。正由于如此，顯函數稱為因變量，因為它的值取決于函數中其他變量的值，而其他變量則稱為自變量，因為它們的值不是由函數所取的值決定的。例如，如果u=x2 sin θ，那么x和θ都是自變量，而u是因變量。

有時，x,y,z等幾個變量之間的確切關系要么未知，要么不方便表述，已知的和方便表述的只有這些變量之間存在著的某種關系，因此我們不可能單獨改變x,y或z等而不影響其他的變量。在這種情況下，x,y,z等之間存在著一個函數，可用符號形式表示成F(x, y, z)（隱函數）或x=F(y, z),y=F(x, z), z=F(x, y)（顯函數）。有時也使用字母f 或?來代替F，因此y=F(x),y=f(x)和y=?(x)的含義都是一樣的，即y的值以某種沒有說明的方式取決于x的值。

我們將稱為y關于x的微分系數。對于這件非常簡單的事情，這是一個嚴肅的科學名稱。但是，當事情本身容易處理的時候，我們不會被嚴肅的名字嚇倒。我們不會感到害怕，只會簡短地咒罵一下這種取冗長拗口的名字的愚蠢行為。在放松了思想之后，我們要繼續討論這件簡單的事情本身，即[10]。

在學校里學習普通代數時，你總是在追尋一些被你稱為x或y的未知量，有時需要同時追尋兩個未知量。你現在必須學會以一種新的方式去追尋，要獵捕的狐貍現在既不是x也不是y。取而代之的是，你必須去尋找這只稱為的奇妙幼狐。求的值的過程稱為求導。不過，請記住，要求的是在dy和dx本身都是無窮小的情況下的值。這個導數的真正值是它在極限情況（即dy和dx都被認為是無窮小的情況）下趨近的近似值。

讓我們繼續學習如何求。

附注

絕不要陷入很多學生常犯的錯誤之中，認為dx的意思是d乘以x，因為d并不是一個因子，它的意思是“……的一小部分”或“……的一個微元”。我們將dx讀作“d-x”。

如果你在這方面得不到他人的指導，我在這里可以簡單地說一下。我們用下面的方式讀導數的符號：導數讀作“d-y-d-x”或“d-y比d-x”,讀作“d-u-d-t”或“d-u比d-t”。

我們稍后會遇到二階導數。它們看起來是這樣的：，讀作“d平方y比d-x平方”，意思是y關于x的求導運算已經（或必須）進行兩次。

表明一個函數的求導運算的另一種方法是在函數符號上加一個撇號。因此，如果y=F(x)，就意味著y是x的某個未指定函數。我們可以將寫成F′(x)。類似地，F″(x)表示原函數F(x)關于x進行兩次求導運算[11]。