前言

代數(shù)是數(shù)學的通用語言，而這本小書的目的是要闡明代數(shù)是關于什么的。支配代數(shù)的法則源于數(shù)的特性；我們的主題之一就是，算術與代數(shù)的法則及實踐，有多少是一小部分反映了普通整數(shù)常見性質(zhì)之基本法則的結(jié)果。

本書前半部分敘述了代數(shù)的大部分內(nèi)容，這些已經(jīng)是中學數(shù)學持續(xù)了數(shù)代人的主要教學內(nèi)容，以求解線性方程以及二次方程中的未知數(shù)為基礎。這些讀者會在前四章中讀到。近世代數(shù)誕生于為解決高于二次的方程而出現(xiàn)的爭論；本書的第一部分結(jié)束于第五章，這一章講述一般三次方程的求解，其根未必只是簡單的分數(shù)，而可能涉及通常所說的無理數(shù)和復數(shù)。

本書的下半部分引入該主題的現(xiàn)代視角；我們著眼于這樣的代數(shù)，即其并非基于數(shù)的一般性質(zhì)，而是涉及其他門類的數(shù)學對象。第六章的主題是余數(shù)的算術，提供了含有兩種運算的基本代數(shù)類型即環(huán)的若干實例。矩陣則是第七、八、九章的中心主題。矩陣的起源可以回溯至數(shù)千年前的古代中國；但這一主題直到19世紀中期才獲得關注，由此始點它已經(jīng)成長為計算的主要工具，應用遍及數(shù)學、物理及社會科學。然而，在純數(shù)學中，矩陣理論的歷史意義是它提供了數(shù)域之外另一類型代數(shù)的重要實例。最后一章介紹向量空間和有限域。

本書的敘述過程中簡要提及了代數(shù)的許多方面，而每一方面都很重要。我希望讀者在通讀本書時會看到各部分的拼圖聚合在一起，從而在整體上理解代數(shù)。現(xiàn)代抽象代數(shù)牢固地建立在被稱為群、環(huán)、域等結(jié)構(gòu)以及向量空間的基礎之上。隨著本書內(nèi)容的展開，讀者可以通過其中出現(xiàn)的示例來了解這些構(gòu)造。只有在此之后，才會以更正式的方式引入這些概念。這樣做的目的是，讀者既會對基礎數(shù)學的概況留下印象，又能品味并管窺廣闊代數(shù)世界的現(xiàn)代視角。

彼得·M. 希金斯

科爾切斯特，2015