第一章 數與代數

代數的背景故事

在我們的學生時代，黑板上出現的x與y，代表著這樣一個始點，于此數學跨越了算術的范疇，而通過獲取一種自有語言進入了更高的領域。邁進了代數的大門，數學這門學科由此發展出令人驚訝的力量，給我們展現了以其他任何方式都無法發現的內容?，F代科學以數學為基礎，而數學便是通過對代表著被關注量的符號進行代數運算而運作的。確切的物理關系通過代數這樣一種工具被揭示出來，包括最著名的質能方程E = mc2，以及許多其他方程。就像愛因斯坦的狹義相對論中出現的這則等式一樣，方程式都是以實驗為基礎的物理模型的結果。盡管如此，這種關系本身就是通過代數來表達的。代數賦予如下重要的結論以威力，即能量與質量是一回事兒；而這就是位于底層的代數無可置疑的正確性。代數構成了所有現代系統化研究的基礎。盡管這些研究的成果可以被融合進科學軟件之中，但若沒有代數，進步是不可能的。

“algebra”（代數）一詞源于阿拉伯語詞匯“al-gebr”，意思是“折斷部分的復位”。11世紀時，或許正是伊斯蘭世界代表著數學領域最復雜巧妙的文明。不過，那時還沒有見于現代文本中那種類型的代數運算；中世紀的數學寫作是修辭式的，一切都用言語描述，這種風格遍及馬可 · 波羅所處的世界。我們也許能辨別出的一種代數，直到17世紀才出現。紙張的稀缺可能阻礙了數學符號體系的自然發展；不過也應該意識到，古代學者面對著諸多遮蔽了算術之根本數學面貌的障礙。我們在執行代數運算時會引入任意符號，最常見的是x和y，用來表示確定而未知的數，并根據算術法則對這些符號進行處理。無論數x與y可能是什么，支撐我們所做的一切的理由是，在我們運算中出現的關系是真實的，因為它們是我們初始假設及適用于所有數的法則的結果，與其特定的數值無關。用代數符號來表示未知量是一種便利的縮簡；誠然簡潔肯定有助于推理，但代數真正的力量源于符號賦予闡釋的普適性，這使得它們能以一種強有力的方式被運用，而這種方式是詞匯無法單獨勝任的。

為了認識到代數的潛力，我們要能以無限制的方式移動我們的符號，即自如地利用算術運算，特別是成對的基本運算：加法與減法、乘法與除法。為此，我們需要一套適用的計數系統。比如，我們如果認為負值毫無意義而加以拒絕，或者進一步從根本上不把零看作一個數，便會受到妨礙而自我否定代數所賦予的探索未知量的世界的自由。我們認為代數世界的存在是當然的。不要說在其被恰當地理解及得以發展之前，甚至在其開始被窺視之前，就有大量的困惑需要清除。過去的智者會震驚于現代的某位學生能夠輕松地用代數來徹底地解決問題；而在他們看來這些問題是不可能的，甚至可能是難以清晰描述的。比如，學校中的代數便足以證明整數的平方根如 或 ，要么是另一個整數，要么根本不是分數。古希臘學者為這個問題付出了巨大的努力，并且運用他們所掌握的幾何方法來證明大到 的一些特定平方根不是分數。然而，這個平常的問題難倒了他們。不過，這個問題和其他許多超越古人所及范圍的問題，完全可以為牛津大學出版社通識讀本系列的讀者所理解，正如你即將讀到的那樣。

計數系統

為了駕馭代數的力量，我們需要一套滿足其需求的計數系統。部分要求是，自由地運用適合于任意數或未知數的符號來執行四個基本的算術運算。但是，普通的自然數集合就這一點來說是有缺陷的。1， 2， 3， …這些由計數產生的數被稱為自然數；因為一旦我們開始對事物進行計數，這些數或大或小自然而然地就出現了。自然數的集合用?表示，?對于加法運算和乘法運算是封閉的。這意味著假如我們由兩個自然數出發，可以把它們相加或相乘，而結果始終是一個自然數。不過，減法則是另一回事兒。減法是一個數減去另一個數，是加法的反向運算或逆運算，而數學家更樂意用后者來表述。就像3 — 5這樣的算術題中的減法運算，把我們從?中帶了出來，而進入人們平常所說的負整數的范圍。出現這種困難時，我們不會放棄，而是采取如下態度，即我們的計數系統目前不夠完備，應該擴展，使得我們的計算能繼續下去。

數的典型范例遍布高等數學及工程的所有領域，即通常所說的復數域，由?表示。從?一路到?的旅程很長，直到19世紀才真正完成。在此之前，關于不同于自然數的數，對其真實性、意義及有效性還有許多哲學上的煩惱。不過，我們將毫不遲疑地介紹所需類型的數。

說到此處，我們首先為?關聯零這個數，用0來表示，即使得任何數加上或減去后數值都不會改變的那個數。必須承認0并不是我們有時稱之為自然數的正整數中的一員；不過，0仍然是個數，因而有必要在我們的算術系統中找到其自身的位置。接下來，我們為每個正數引入一個負的鏡像；例如， —6便是6的負“搭檔”。

盡管對于這門學科的發展并非必需，不過要描繪并解釋數的行為，通常最簡單的方式是想象數沿著數軸排列。這是一條水平線，整數就被置于沿線長等間距的點上。我們把0放在中間，正整數以自然升序向右行進，而負整數則占據零左側的鏡像位置。

所有整數的集合，如該集合的名稱那樣，包括正整數、負整數以及零，用符號?表示；而?代表有理數的集合，由所有分數及對應的負數組成。集合?包含于?，因為整數n即等于有理數n/1。（我們說，?是?的子集；同樣，?是?的子集。）不過，像3/9和7/21這樣的兩個有理數被認為是相等的，因為二者都可化簡為相同的分數，即1/3。任何正有理數都有唯一的表達式，即約分至最簡項的分式a/b，這里的a和b除了1之外沒有別的公約數。有理數也可以描繪成按其自然順序分布在數軸上，稠密而均勻地在整個數軸上展開。

一個數m（或正或負）加一個正數n，我們就從m出發，在數軸上向右移動n個點位，而減n則是左移n個點位。在集合?中，每個數n都有一個相反數 —n，我們現在用這個性質把減法定義為與負數相加。我們聲明，減去任何數n，即指加上其相反數—n，所以加上一個負數—n，就是在數軸上左移n個點位。那么，要減去一個負數—n，我們就加上它的相反數n。換句話說，要減去負數—n，我們就在數軸上右移n個點位。

這種觀察事物的方式，對于如下這樣的算式

（—1）+4 = 3， 6+（—11） = —5， （—8）+6 = —2， 1 —（—9） = 1+9 = 10，

便得出了熟悉的求和結果，正如圖1所示那樣。

圖1　數軸上的加法與減法

以上式子中，—1及其他負數前后的括號并不是必需的；但被引入是為了避免以一個運算符來開啟一個算式，或是為了避免比如“+”和“—”兩個運算符間的沖突。之所以有這樣做的必要，是因為我們賦予了“—”兩個略微不同的含義：既用于表示取一個整數的相反數，此時是作用在單一數上的運算符；也用來表示減法，這時是作用在有著特定順序的兩個數上的運算符。

至此，我們尚未提及任何你可能稱之為代數法則的內容，來解釋我們的算術是如何運作的。針對我們這些法則的合理解釋，更確切地說，是取決于將減法的概念擴展至已按自然的線性方式排列的整個整數集合。我們在第二章中來探究支配算術運算的法則，并解釋這些法則是如何擴展的，以便當我們從一個計數系統轉到一個包括前者但更大的系統時，這些法則仍然適用。

數的因數分解

盡管一個整數除以另一個整數通常會得到一個并不屬于整數的分數，但用一個整數除以另一個整數還是有可能得到一個整數的；而這是如何發生的，以及什么時候會發生，相關性質是很重要的，并且在我們將要遇到的其他代數系統如多項式中也會出現類似的問題。因此，我們現在就來說說整數除法的主要性質。我們要開始使用冪記號（比如把2×2×2寫作23），還有“小于”號（<）和“小于等于”號（≤）（例如，4 < 7及—3 < 2，正如各個實例中那樣，數軸上的第一個數都在第二個數的左側）。當我們知道正在處理字母比如a、b所表示的數的乘法時，通常就把乘號看作默認的而把算式寫成ab的形式，或者有時也寫作a · b，而不是a×b。我們傾向于回避繁瑣的乘號，所以有時也會把2×（—3）×4這樣的算式寫成（2）（—3）（4）。

我們有一個整數a及另一個整數b，若b能寫成b = ac，那么a就是b的因數1或除數，此處c本身也是一個整數（同理，那么c當然也是b的因數）。素數是像71這樣的整數，它恰有兩個正因數，一個必須是1，另一個則必須是該數本身。大于1而不是素數的整數稱為合數，因為它是由更小的因數組合而成的。例如，72 = 8×9。我們說8是72的因數，或者說8整除72，或者說72是8的倍數：我們有時把這種關系記作8|72，它僅是“8為72的因數”的簡略表述形式而已。盡可能一步步地對給定某數的因數進行分解，最終會得出該數的素數分解。對于上例，72 = 8×9 = 23×32。我們本可以用另一種方式求出72的素數分解，即72 = 6×12 = （2×3）×（4×3） = （2×3）×（2×2×3）；不過，將素因數從最小到最大重新排列，得到的是跟之前一樣的結果；于是我們說23×32是72的素數分解。“算術基本定理”告訴我們，任意自然數n的素數分解（用按升序排列的素因數來表示）是唯一的。這種唯一性可以由數的更為基本的性質，即“歐幾里得引理”2推導出來。該性質表明，若素數p整除a與b的乘積，記作p|ab，那么p或是a的因數或是b的因數（或者可能是二者的因數）?！皻W幾里得引理”的一個等價表述是，若a與b都不是素數p的倍數，那么它們的乘積ab也不是。這個性質盡管看起來合理可信，卻并非不言自明，而我們在這里也不打算證明歐幾里得引理。不過，我們稍后會在本節進一步解釋該引理為什么成立。（本書關于數的章節詳細闡釋了整數的所有性質，而這些性質于此都被認為是成立的。）

一個自然數a除以另一個自然數b，一般用如下方法。即要用b除a，我們就從a中將b輾轉減去多次，次數比如記作q，直到余項r < b。這樣，我們便有a = bq+r。這個算式是唯一的：q和r都只有唯一的值，使得該式成立；切記，我們要確保0≤r≤b —1。也有些特殊情況：比如，恰好當a < b時，q = 0，此時r = a。更有意思的是，正好當b|a時，r = 0，此時a/b = q。

來看一個有代表性的示例，若a = 72且b = 13，那么72 = 13×5+7，這樣我們有q = 5而r = 7。對于給定的a和b，來求算式a = bq+r的過程，被稱為“帶余除法”3。

我們在算術中首次遇到的一個基本代數思想，是關于兩個正整數a和b的最大公約數的，它也被稱為最大公因數4。顧名思義，a和b的最大公約數或最大公因數，就是a和b的公因數中最大的那個數d；因為a和b總有至少一個公因數，即1這個數，所以最大公因數必定存在。如果a和b兩個數的最大公因數是1，那么我們就說這兩個數互為素數5。例如，15 = 3×5與28 = 22×7便互為素數（盡管15和28本身并非素數）。不管怎么樣，剩下的問題就是我們可以如何計算給定兩個數的最大公因數。

最大公因數d可以通過比較a與b的素數分解來求出，因為d的素因數恰是a與b的公因數。不過，求解最大公因數還有更好的方法，被稱為“歐幾里得算法”，它不僅更快，而且還揭示了其他有用的關系。我們稍后會解釋該算法，但首先要關注公因數的某些基本性質。

比如，假設c是a和b的任意公因數，于是有a = ct及b = cs。接下來有任意一個數r，r = ax+by，其中x和y本身是整數（可能是負數或零），那么c也是r的因數。為了看得更清楚，我們找到并“提取”算式ax+by的公因數c，如下所示：

r = ax+by = ctx+csy = c（tx+sy）。（1）

由于tx+sy也是整數，所以c實際上就是r的因數。

（1）式的一個直接結論是，它適用于我們以r = a — bq來表示的帶余除法等式，因為它告訴我們，a和b的任意公因數也是r的因數。同理，由a = bq+r，可知b和r的任意公因數也是a的因數。因此，a和b的所有公因數的集合，等同于b和r的所有公因數的集合；特別地，a和b的最大公因數也是b和r的最大公因數。這讓我們能處理b與r這兩個數，而不是直接處理b和a。由于r < b，我們現在可以將帶余除法應用于（b，r）這對數并重復該過程，直到a和b的最大公因數出現，這就簡化了我們求解最大公因數的問題。這一過程被稱為“歐幾里得算法”6。

現在讓我們用上述算法來處理a = 189和b = 105這兩個數。每一步，我們給要計算的兩個數標出下劃線，并用小的數去除大的數，且從一行算式列到下一行時就舍棄大的數。余數為0時，表明上一行的余數就是所求的最大公因數，我們即終止該過程：

189 = 1×105+84，

105 = 1×84+21，

84 = 4×21，

所以，189和105的最大公因數就是21（189 = 9×21， 105 = 5×21）。

這些算式本身是有用的，因為它們可以逆推，從而表示初始的兩個數a和b的最大公因數d。我們從倒數第二個算式開始，并考察d，這種情況下求得21 = 105 — 84。接著，我們依次用每個等式來消除中間的余數：本例中，第一個算式給出84 = 189 — 105，于是最后我們有

21 = 105 — （189 — 105） = 2×105 — 1×189。

此外，有些有趣的理論成果，我們將在第六章來討論。本節中，我們之前證明了a和b的任意公因數c也是任何形如ax+by的數之因數；由于a和b的最大公因數d可以表示成這種形式，即可通過倒推“歐幾里得算法”的運算過程來求出，那么可知a和b的任何公因數c整除它們的最大公因數d。進一步說，a′ = a/d及b′ = b/d有一個最大公因數1，因為比如假設t是a′和b′的一個公因數，那么a′ = ta″且b′ = tb″。我們要證明t = 1。（上撇號的使用是種提醒我們自己的方式，即a′和a″是a的因數：當然，任何新符號都可以使用。）前面的等式意味著a = da′ = dta″以及b = db′ = dtb″，由此可知dt是a和b的一個公因數。然而，由于d是a和b的最大公因數，于是有t = 1，而a′和b′實際上就互為素數。在我們的題例中，a = 189，b = 105，而d = 21；用這個最大公因數來做除法運算，便有189/21 = 9及105/21 = 5，而9和5沒有公因數（除1之外）。

兩個數a和b的最大公因數可以用ax+by這種形式來表示，這一事實處于眾多與數相關的代數證明的中心位置，而“歐幾里得引理”只是許多例子中的一個。

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1　亦稱“因子”“約數”?！g注（以下未注明的皆為譯注）

2　該引理通常也被稱為“歐幾里得第一定理”。

3　原文“Division Algorithm”字面即“除法算法”，數學上通常稱作“帶余除法”。

4　漢譯也作“最大公因子”。

5　西文中“prime”一詞，漢譯也作“質數”。所以，“互為素數”也稱“互為質數”，有時也簡作“互素”“互質”。

6　漢譯更一般地也作“輾轉相除法”。