2.13 連續隨機變量的期望

2.5節討論了離散隨機變量的期望.本節考慮連續的情況.

定義2.11 若X是連續的，其密度函數為f（x），則其期望（expectation）定義為

積分需要收斂.

期望是以連續函數f（x）為權重的x的加權平均.與離散情況類似，期望等于分布的重心.為說明這一點，取任意的密度函數，想象將其放置到有一個支點的木板上.當支點放在期望值處時，木板將會平衡.

例17 f（x）=1, 0≤x≤1.

例18 f（x）=exp（-x）, x≥0.驗證E[X]=1.分兩步，首先

利用分部積分，令u=x，v=exp（-x）.計算

故E[X]=1.

例19 時薪分布（圖2-5）.期望為23.92美元.檢查圖2-7中的密度圖.期望大約在灰色陰影區域的中間位置.該位置是重心，它平衡了左邊高的眾數和右邊的厚尾.

類似地，可定義變換的期望.

定義2.12 如果X的密度函數為f（x），則g（X）的期望為

例20 X～f（x）=1, 0≤x≤1.則.

例21 時薪對數分布（圖2-8）.期望值為E[log（wage）]=2.95.檢查圖2-8中的密度圖.由于曲線是近似對稱的，期望值近似為密度的中點.

與離散隨機變量類似，期望具有線性性質.

定理2.5 期望的線性性質對任意的常數a和b，都有

E[a+bX]=a+bE[X]

證明 設X是連續隨機變量.由且，得

■

例22 f（x）=exp（-x）, x≥0.利用變換Y=λX.由期望的線性性質和E[X]=1，得

E[Y]=E[λX]=λE[X]=λ

或者利用變量變換求解，2.11節已給出Y的密度為exp（-y/λ）的情況.直接計算可得

兩種方法均說明Y的期望為λ.