2.6 離散隨機變量的有限期望

期望有定義的條件有“序列是收斂的”.包含這句話是因為有些序列是不收斂的，此時，期望是無限的或無法定義的.

例如，設X的支撐點為2k，k=1,2,···，且其概率質量函數為πk=2-k.因為

所以該概率函數是有效的.其期望為

這個例子可對應賭局中的圣彼得堡悖論（St. Petersburg paradox）.拋一枚公平硬幣K次直到正面朝上為止.設定玩家收益X=2K，即如果K=1，則玩家贏得2美元；如果K=2，則玩家贏得4美元；如果K=3，則玩家贏得8美元；以此類推.如上所示，收益的期望為無窮.這個游戲是個“悖論”，因為即便期望是無窮的，也很少有人愿意支付高價獲得隨機收益.[2]

圖2-3展示了該收益的概率質量函數.觀察圖中的概率是如何在右尾處緩慢衰減的.期望等價于重心，如果想象一個無限長的木板，以圖2-3的概率質量函數為砝碼，則不存在一個放置支點的位置，使木板平衡.無論支點放在哪里，木板都會向右傾斜.概率質量雖小但取值越來越大的點會占主導地位.

上述是一個期望無窮大的非收斂的例子.某些非收斂的例子中，都無法定義期望.假設修改圣彼得堡賭局的收益，使其支撐點為2k和-2k，每個點的概率為πk=2-k-1.則期望為

該序列既不收斂，也不是+∞或-∞.（猜測兩個無窮大的數相減可以抵消是誘人的，但并不正確.）在這種情況下，稱期望沒有定義或不存在.

期望的無窮性可能會導致經濟交易發生困難.假設X是由于意外災難導致的損失，如火災、龍卷風或地震.因此，X=0的概率很高，X為正且很大的概率很低.此時，風險規避（risk-adverse）型經濟主體會購買保險.理想的保險合同應對隨機損失X充分補償.在對稱或沒有摩擦的市場中，保險公司提供保費為預期損失E[X]的合同.然而，當損失是無窮時，就無法制定相應的合同.