2.5 期望

隨機變量X的期望（expectation）E[X]是度量分布集中趨勢的常用指標.期望是一種以概率為權重的加權平均.期望也被稱為分布的期望值（expected value）、平均值（average）或均值（mean）.本書更傾向于使用“期望”或“期望值”，因為它們是最清楚的.通常將期望寫為E[X]，E（X）或EX.有時使用記號E[X]或E[X].

定義2.5 對支撐為{τj}的離散隨機變量X，其期望為

若該序列是收斂的（收斂的定義見附錄A.1節）.

重要的是理解雖然X是隨機的，但E[X]是非隨機的.期望是分布的固定特征.

例1 令X=1的概率為p，X=0的概率為1-p，則其期望為

E[X]=0×（1-p）+1×p=p

例2 擲公平骰子，其期望為

例3 令，k為非負整數.這個概率分布的期望為

例4 受教育年限.圖2-2b中概率分布的期望為

E[X]=8×0.027+9×0.011+10×0.011+11×0.026+12×0.274+13×0.182+14×0.111+16×0.229+18×0.092+20×0.037=13.9

因此，受教育年限的均值大約是14.

期望是分布的重心（center of mass）.把圖2-2中的概率質量函數想象成一組重量，將其放在一個支點支撐的木板上.為了使木板平衡，支點需要放在期望E[X]處.再以重心的視角觀察圖2-2會很受啟發，泊松分布的重心在1處，受教育年限的重心是14.

同樣，可定義期望的變換.

定義2.6 對支撐為τj的離散隨機變量X，g（X）的期望為

如果該序列是收斂的.

應用變換時，可以通過簡化記號減少混亂.例如，記為E|X|而不是E[|X|]，記為E|X|r而不是E[|X|r].

期望具有線性性質.

定理2.1 期望的線性性質（linearity of expectation）.對任意的常數a和b，都有

E[a+bX]=a+E[X]

證明 由期望的定義得

由于且.

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