1.6　全概率公式與貝葉斯公式

下面建立兩個重要的計算概率的公式：全概率公式與貝葉斯公式。

1.6.1　樣本空間的劃分

設事件集合A1，A2，…，An滿足以下兩個條件：

（1）Ai∩Aj=?，并且P（Ai）＞0對任意的1≤i，j≤n成立。

（2）。

則稱A1，A2，…，An為樣本空間S的一個劃分。這樣的事件集合也稱為完備事件組。如果A1，A2，…，An是樣本空間的一個劃分，則對于每次試驗，事件A1，A2，…，An中有且僅有一個發生。

1.6.2　全概率公式

設樣本空間為S，事件A1，A2，…，An是S的一個劃分，并且每個P（Ak）＞0，則對于任何一個事件B，有以下公式：

稱此公式為全概率公式。特別地，當n=2時，A和就是S的一個劃分，由全概率公式可得

【例1-16】　設有一批產品，其中甲公司生產的占60%，乙公司生產的占40%，甲公司產品合格率是95%，乙公司產品合格率為90%，求從這批產品隨機抽取一件為合格品的概率。

解：設A={抽取的是甲公司的產品}，則，設B={抽取產品合格}，根據所給的條件有

由全概率公式有

例1-16代碼如下：

     #第1章/1-9.py
     pA, pA_ = 0.6, 0.4
     pBA, pBA_ = 0.95, 0.9
     pB = pA * pBA + pA_ * pBA_
     print(pB)

輸出如下：

     0.9299999999999999
　　　　

【例1-17】　一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽出一個，抽出后不再放回，求第2次抽出的是次品的概率。

解：設A表示事件：第1次抽出的是正品；B表示事件：第2次抽出的是次品，則

根據題意，抽出后不再放回，可得

由全概率公式得

代碼如下：

     #第1章/1-10.py
     n_plus = 10
     n_minus = 2
     n = n_plus + n_minus
     PA = n_plus/n
     PA_ = 1-PA
     PB_A = n_minus/(n-1)
     PB_A_ = (n_minus-1)/(n-1)
     #全概率公式
     p = PA * PB_A + PA_ * PB_A_
     print('第2次抽出的是次品的概率為', p)

輸出如下：

     第2次抽出的是次品的概率為0.16666666666666666

1.6.3　貝葉斯公式

設樣本空間為S，事件A1，A2，…，An是S的一個劃分，并且每個P（Ak）＞0。設B為任意事件，并且P（B）＞0，則由全概率公式可得

以上公式稱為貝葉斯公式。貝葉斯公式也被稱為后驗概率公式或者逆概率公式，它表示在已知結果發生的情況下，求導致這一結果的某種原因的概率大小。

【例1-18】　四位工人生產同一種零件，產量分別占總產量的35%、30%、20%、15%，并且這四人生產產品的不合格率分別為2%、3%、4%、5%。從這批產品中任取一件，求

（1）它是不合格品的概率。

（2）已知是不合格品，它是第1個工人生產的概率。

解：設B={抽取產品不合格}，設Ai={抽取的產品是第i個工人生產的}，則

P（A1）=0.35，　P（A2）=0.3，　P（A3）=0.2，P（A4）=0.15

P（B|A1）=0.02，　P（B|A2）=0.03，　P（B|A3）=0.04，　P（B|A4）=0.05

（1）由全概率公式得

（2）由貝葉斯公式得

代碼如下：

     #第1章/1-11.py
     import numpy as np
     pA = np.array([0.35, 0.3, 0.2, 0.15])
     pBA = np.array([0.02, 0.03, 0.04, 0.05])
     pB = (pA * pBA).sum()
     print('它是不合格品的概率:', pB)
     print('它由第1個工人生產的概率:', 0.35 * 0.02/pB)

輸出如下：

     它是不合格品的概率:0.0315
     它由第1個工人生產的概率:0.2222222222222222

【例1-19】　玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設各箱含0、1、2只殘次品的概率分別是0.8、0.1、0.1，一顧客要購買一箱玻璃杯，在購買時售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機查看4只，若無殘次品則買下整箱玻璃杯，否則退回。求

（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率。

（2）在顧客買下的一箱中，確實沒有殘次品的概率。

解：設事件A表示顧客買下所查看的一箱玻璃杯，事件Bi表示這一箱中恰好有i件殘次品。根據題意可知

（1）由全概率公式

（2）由貝葉斯公式

代碼如下：

     #第1章/1-12.py
     from scipy.special import comb
     PB0 = 0.8
     PB1 = 0.1
     PB2 = 0.1
     PA_B0 = 1
     PA_B1 = comb(19, 4)/comb(20, 4)
     PA_B2 = comb(18, 4)/comb(20, 4)
     #第(1)問
     p = PB0 * PA_B0 + PB1 * PA_B1 + PB2 * PA_B2
     print('顧客買下該箱玻璃杯的概率為', p)
     #第(2)問
     p = PB0 * PA_B0/p
     print('在顧客買下的一箱中, 確實沒有殘次品的概率為', p)

輸出如下：

     顧客買下該箱玻璃杯的概率為0.9431578947368422
     在顧客買下的一箱中, 確實沒有殘次品的概率為0.8482142857142857