1.5　條件概率與獨立性

條件概率是概率論中的重要概念，它考慮的是事件A發生條件下，事件B發生的概率。

1.5.1　條件概率

設A和B是兩個事件，P（A）＞0，稱事件A發生條件下事件B發生的概率為條件概率，記為P（B|A）。對于條件概率有以下公式：

容易驗證，條件概率滿足概率定義中的以下3個條件。

（1）非負性：對任何事件B，總有P（B|A）≥0。

（2）整體性：對于必然事件S，有P（S|A）=1。

（3）可列可加性：對兩兩互斥的事件B1，B2，B3，…，Bn，…，即Bi∩Bj=?（i≠j），有

這表明，對給定的隨機事件A，條件概率P（■|A）也是概率，故對概率成立的結論對條件概率也成立。

【例1-14】　設某機器的使用壽命超過10年的概率為0.8，超過20年的概率為0.5，求該機器在使用10年后，再使用10年損壞的概率。

解：設A={機器使用超過10年}，B={機器使用超過20年}，則所求的概率為

代碼如下：

     #第1章/1-7.py
     PA = 0.8
     PB = 0.5
     p = 1-PB/PA
     print('再使用10年損壞的概率為', p)

輸出如下：

     再使用10年損壞的概率為0.375

由條件概率的定義，可得如下乘法定理。設P（A）＞0，則有

容易把乘法定理推廣到多個事件。例如3個事件，不妨設A、B和C是隨機事件，并且P（AB）＞0，則有

一般而言，對于兩個隨機事件A和B，事先并不能假設A對B沒有影響，也就是說P（B|A）不一定等于P（B），但是如果兩個事件A和B相互獨立，則可以得出P（B|A）=P（B）的結論，這就是下面的隨機事件獨立性定義。

1.5.2　獨立性

設A和B是兩個事件，如果滿足

則稱事件A和B相互獨立，簡稱A和B獨立。

如果A和B相互獨立，則有下面的結論：

（1）如果事件A和B相互獨立，并且P（A）＞0，則P（B|A）=P（B）。

（2）事件的獨立性具有以下兩條性質：

（2.1）必然事件及不可能事件與任意事件互相獨立。

（2.2）在四組事件A與與B、A與與中，如果有一組事件相互獨立，則其余3組也相互獨立。

獨立性的概念也可推廣到多個事件的情況，下面以3個事件為例加以說明。設A、B和C是3個事件，如果同時滿足以下4個等式：

（1）P（A∩B）=P（A）P（B）

（2）P（A∩C）=P（A）P（C）

（3）P（C∩B）=P（C）P（B）

（4）P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）

則稱事件A、B和C互相獨立。

一般來講，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對于其中任意兩個，任意三個，…，任意n個事件的積事件的概率都等于各個事件概率之積，則稱事件A1，A2，…，An互相獨立。由此定義可得如下兩個結論：

（1）如果事件A1，A2，…，An互相獨立，則其中任意k個事件也是互相獨立的。

（2）如果事件A1，A2，…，An互相獨立，則將A1，A2，…，An換成它們的對立事件，所得的n個事件也獨立。

在解決實際問題的時候，一般憑經驗來判斷事件的獨立性，然后利用定義去求事件的概率。為了研究某些現象需要做一系列試驗，例如連續多次投擲同一枚硬幣；在一批產品中隨機抽取若干測試它們的使用壽命，這樣的試驗序列往往是相互獨立的，稱為獨立重復試驗。再例如，甲乙兩人患感冒，如果兩人的活動范圍沒有交集，就認為甲乙相互獨立，反之，如果甲乙兩人住在同一宿舍，則不能認為兩人互相獨立。

【例1-15】　甲乙兩人進行網球比賽，每局比賽甲獲勝的概率為p，p≥1/2。那么對于對甲而言，采用三局兩勝有利還是采用五局三勝有利？假設每局比賽相互獨立。

解：如果采用三局兩勝，則甲獲勝的可能性為“甲甲”“乙甲甲”“甲乙甲”3種，而且這3種結局互不相容，那么甲最終獲勝的概率為

p1=p2+2p2（1-p）

如果采用五局三勝制，甲要想勝利需要三場勝利，可能的獲勝局面是“甲甲甲”“甲乙甲甲”“甲甲乙甲”“乙甲甲甲”“甲甲乙乙甲”“甲乙甲乙甲”“乙乙甲甲甲”“乙甲甲乙甲”“乙甲乙甲甲”“甲乙乙甲甲”，且這10種結局互不相容，那么甲最終獲勝的概率為

p2=p3+3p3（1-p）+6p3（1-p）2

比較p1和p2的大小：

p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）

當p＞1/2時，p2大于p1，故當p＞1/2時，對甲來講采用五局三勝制更有利。

代碼如下：

     #第1章/1-8.py
     from sympy import *
     p = symbols('p')
     d = p ** 2 * (6 * p ** 3-15 * p ** 2 + 12 * p-3)
     print('提取公因式為', d.factor())

輸出如下：

     提取公因式為3 * p ** 2 * (p-1) ** 2 * (2 * p-1)